【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第21讲 特殊三角形（含解析）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第21讲 特殊三角形（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为 （ ）
A．17B．22C．17或22D．14或22
2．如图，在中，，边BC的垂直平分线交于D，连结，下列说法不一定正确的是 （ ）
A．B．C．D．
3．满足下列条件的中，不是直角三角形的是 （ ）
A．两个内角互余B．
C．D．
4．如图，在中，，，，点D为的中点，则 的长为
（ ）
A．4.8B．5C．6D．8
5．如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是 （ ）
A．是等腰三角形，B．折叠后和一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．和一定是全等三角形
二、填空题
6．等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______．
7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C与半圆圆心重合，点B在半圆上，边、分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为、、，则为_______．
8．如图，为等边三角形，，则________°．
9．把两块形状不同的直角三角板按如图放置，，，，过点A作于点M，交于点N，连接，若，则的长为______．
10．如图，在中，，平分，交于点，且．若，则___________．
三、解答题
11．如图，在中，，，延长至，恰好使得，．
(1)求：的度数；
(2)求证：为等边三角形．
12．已知：如图，，、分别是、的中点．
求证：，．
13．如图，在中，D、E分别是的中点，，F是上一点，连接，，若，求的长度．
14．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．
(1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”）
(2)如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数．
15．已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），连接并延长交边于点，连接．
(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，当时，求证：；
(3)若是等腰三角形，求的长．
16．【问题背景】如图1，，均为等边三角形．求证：；
【解决问题】为等边三角形，点D在边AB上，点E是边AC上一个动点（不与点A，点C重合），以DE为边作等边．
①如图2，若点D与点B重合，点G在BA延长线上，且．试探索线段CF，AG，AB之间有何数量关系？并证明你的结论；
②如图3，若的边长为5，．求AD的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，判断出腰和底边，再进行计算即可．
【解析】解：当等腰三角形的腰长为时，，三边构不成三角形，不符合题意；
∴等腰三角形的腰长为，
∴它的周长为；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系．利用三角形的三边关系，判断出等腰三角形的腰长和底边长，是解题的关键．
2．C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解析】解：由题意可得，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．C
【分析】由直角三角形内角和为，求得三角形的每一个内角，即根据每一个选项给出的比例关系，从而求解出四个选项中所给的每个三角形的内角度数，最后根据直角三角形进行判断即可．
【解析】A：∵两个内角互余，∴另一个角为，∴是直角三角形，故A选项不符合题意；
B：∵，，∴，∴，∴是直角三角形，故B选项不符合题意；
C：∵，，∴，∴不是直角三角形，故C选项符合题意；
D：∵，，∴，，，∴是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟记三角形的内角和为以及直角三角形的判定条件是有一个角为是解本题的关键．
4．B
【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解析】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据矩形及折叠得到，，，，即可得到，，即可判断A，B，C，D．
【解析】解：∵四边形是矩形，且沿对角线折叠，
∴，，，，
∴，
∴，
∴A，C，D正确，
故选B，
．
【点睛】本题考查矩形的折叠，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是根据折叠得到全等．
6．或
【分析】分的角为顶角和底角两种情况讨论即可作答．
【解析】解：当的角为底角时，此时顶角为；
当的角为顶角时，此时顶角为；
即该三角形的顶角为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的知识，主要分类讨论是解答本题的关键．
7．##24度
【分析】连接．可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解析】解：连接．
可得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到和的度数是解题的关键．
8．30
【分析】根据等边三角形性质得出，根据等腰直角三角形性质得出，利用两角和求出，利用等腰三角形性质可得的度数，即可．
【解析】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：30．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的性质，掌握等边三角形性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的性质是解题关键．
9．
【分析】过M作于E，根据，，得到，结合，得到，根据勾股定理求出，根据，得到，
即可得到，即可得到，根据，，即可求出，从而得到，，最后根据勾股定理即可得到答案．
【解析】解：过M作于E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
在中根据勾股定理可得，
，
在中根据勾股定理可得，
，
故答案为，
．
【点睛】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半，等腰三角形性质及勾股定理，解题的关键是作出辅助线求得，，．
10．12
【分析】根据平分，得出，根据，得出，从而得出，根据，得出，根据含角的直角三角形的性质，得出，即可得出答案．
【解析】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握性质，求出．
11．(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得，再根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的外角性质解答即可；
（2）因为在中，，所以欲证等边三角形，只需证明．
【解析】（1）解：在中，，
，
，，
，，
是的外角，
，
设，则，
，
在中，
，
即：，
，
故；
（2）由（1）得，，
，
是等边三角形
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
12．详见解析
【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得结论．
【解析】证明：如图所示，连接，，
，是的中点，
中，，
中，，
，
又是的中点，
．
综上所述，，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
13．
【分析】先根据三角形的中位线定理求出，再求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【解析】解：∵D、E分别是的中点，
，
，
，
，
，点E是的中点，
．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．(1)假；
(2)存在，；
(3)或．
【分析】（1）等边三角形中不存在“和谐分割线”；
（2）作的平分线交于点，则为“和谐分割线”，求出的长即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，，解得；②当时，，解得．
【解析】（1）解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，
等边三角形存在“和谐分割线”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：
作的平分线交于点，如图
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
过点作交于，如图，
，
，，
，
．
（3）解：①当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练综上等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质，理解定义，分类讨论，数形结合是解题的关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得，从而得到是等边三角形，进而得到，可得到，再由勾股定理求出，即可求解；
（2）证明，可得，从而得到，再根据等腰三角形的判定，可得，即可；
（3）分三种情况讨论：当时；当时，过点D作于点M；当时，过点Q作于点E，即可．
【解析】（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵，
∴，
∴，
此时点Q，B重合，不符合题意，舍去；
当时，如图，过点D作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点Q作于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，二次根式的化简，全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．问题背景：见解析；解决问题：①，证明见解析；②．
【分析】问题背景：根据等边三角形的性质得出，，，进而得出，证明，即可得出结论；
解决问题：①过点G作交的延长线于H，先证明是等边三角形，进而得出，再证明，得出，证明，进一步证明，推出，根据，即可得出结论；
②连接，根据等边三角形和三角形内角和定理，平角的定义得出，设，根据已知可得，推出，，可得出，根据等边三角形的性质可得．
【解析】问题背景：
证明：∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
解决问题：
①，证明如下：
过点G作交的延长线于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，D与点B重合，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．