第05讲：圆锥曲线中的向量问题（二）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

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第四讲：向量问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、垂直
当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）
2、向量模长
当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.
3、定角
求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.
4、直角，锐角和钝角
当为直角时，则；
当为锐角时，则；
当为钝角时，则；


【考点剖析】
考点一：已知垂直求参
例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，且求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意可得：，
即，又由，即，
所以，，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）易知直线的斜率不为且可能不存在，
故设直线的方程为，
代入椭圆方程整理可得：，
设、两点坐标为，，
则有，，

，
由，则有，
，
整理可得：，所以，
所以直线的方程为.

变式训练1：已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
解析：（1）由已知得

所以椭圆标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线，得,，此时不满足；
设直线方程为，设､，
联立方程组
，
，，
，，
所以，
化简得，
，
化简得，
解得或，
直线的方程是
故直线的方程为或.

变式训练2：在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或

解析：(1)设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.

所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，

因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.

变式训练3：已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）由题意可得
解得．
故抛物线的方程为．
（2）设，．
联立整理得．
由题意可知，则，．
因为，所以，
则，
即，整理得，
解得．
故直线的方程为．

考点二：垂直（证明）
例1．已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.

解析：（1）∵椭圆：的焦点坐标为，
∴，即．
∴抛物线C的方程为：．
（2）联立方程组消去x，整理得．
∴．
∴，即,
∴,
∴．

变式训练1：已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
（2）由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即

，即.

变式训练2：已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.
【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）证明见解析.
解析：（1）由抛物线经过点，得，即.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.
将代入，消去得，
显然，设，，
则，.
∵，∴是线段的中点，设，
则，，
∴，又轴，所以垂足的坐标为.
则，，
所以，所以.

变式训练3：已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由抛物线：可得抛物线焦点，
设直线的方程为：，、，
由可得，
所以，，
所以，
即，解得，
抛物线的方程为；
（2）设直线过点且与抛物线相切，直线方程为：，
由消去可得，
由直线与抛物线相切可得：，
即，解得或，
因为，
所以过点且与抛物线相切的直线.

考点三：向量模长相等（垂直）
例1．设椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的右顶点为，若直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且满足，求原点到直线距离的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)依题意，因为，所以，
将代入椭圆，则可解得，
所以椭圆E的方程为．
(2)由（1）知，设，，
由知，，
即，
①当直线垂直轴时，，且，
故，故或2（舍去），此时点到的距离为；
②当直线的斜率存在时，设
联立方程，得，
由得，且，
由得，
将代入上式可得，
即，，所以（舍去）或，
显然，则点到的距离，
综上，点到的距离最大值为．

变式训练1：设椭圆过两点，O为坐标原点
(1)求椭圆E的方程;
(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)；(2)证明见解析，
解析：(1)因为椭圆E: （a，b>0）过两点，
所以，解得，得，所以椭圆E的方程为.
(2)由（1）知，设
由可知，，所以，  
即：
所以  （※）
联立直线和椭圆方程，消去y，得：
由所以  
代入方程※，可得，即得
所以，所以，
所以，直线l 的方程为
所以，过定点或，根据题意，舍去
所以，直线过定点
变式训练2：已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线过，且与交于两点（异于的两个顶点），直线与直线的交点分别为．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)双曲线一条渐近线方程为，
焦点，则焦点到准线的距离，
由F到渐近线的距离为可知：，
由渐近线方程为知：，故，
所以双曲线方程为：；
(2)设直线l的方程为，
联立，整理得：，
设，而,
则，
所以，，
假设存在实数t，使得，则,
故由方程：,令得，
同理方程：,令得，
所以，
即，
则，
即，解得，
故存在实数，使得.

变式训练3：已知椭圆：，焦点为､，过轴上的一点（）作直线交椭圆于两点.
(1)若点在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与轴不重合的直线，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)①；②；(2)
解析：（1）①由椭圆：知，，所以，
根据椭圆的定义知，多边形的周长为：.
②设，则
=，其中，
令，
①当，即时，，
②当即，，
③当即，，
综上：.
（2）存在直线l，使得成立.理由如下：
设直线l的方程为，
由得.
，化简得.
设，，则
，.
若成立，
即，等价于.
所以.
，
，
，
化简得，即，
代入中，，恒成立，
所以或，
所以实数m的取值范围是.

考点四：定角（直角）
例1．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）由题意可得，，，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设直线的方程为：，
则过原点的直线且与直线平行的直线为，
因为是直线与的交点，所以，
因为直线的方程与椭圆方程联立：
，整理可得：，
可得，，
即，因为，
直线的方程为：，
联立，解得：，由题意可得，
所以，，
所以，即，所以，即为定值；

变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小．
【答案】(1)；(2)∠PFQ＝90°
【分析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可．
(1)
由题意得
解得a＝2，c＝1，
从而，
所以椭圆C的方程为．
(2)
当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），
则，，故，即∠PFQ＝90°．
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．
联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
直线MA的方程为，
令x＝4，得，即，同理可得．
所以，．
因为
0，所以∠PFQ＝90°．
综上，∠PFQ＝90°．

变式训练2：已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由已知可得，解得，故椭圆的方程为.
(2)因为直线与圆相切，且直线的方程为，
所以，即，
联立，整理得，
，
设、，则，.
故，
则，故.

变式训练:3：设分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆的上顶点，是等边三角形，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的分别是椭圆和圆上的两个动点，且直线与轴平行，直线分别与轴交于，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）是等边三角形，
，
，
，
椭圆的方程为；
（2）设点坐标，点坐标，
直线方程为，
坐标为，
直线方程为，
坐标为，
，，
，
分别在椭圆和圆上，
，，
，
.

考点五：锐角和钝角
例1．已知点在椭圆上，的离心率为．
（1）求的方程；
（2）设过定点的直线与交于不同的两点，且为锐角，求的斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）点在椭圆上，，
又椭圆的离心率为，，
由解得，
轨迹；
（2）依题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设，，
，化简整理有：，
得或，
且，，
由为锐角，

，
，
，
或，
直线的斜率的范围是.

变式训练1：已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.
（1）求椭圆的焦点坐标；
（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2
∴
即可得：，
∴焦点坐标为.
（2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0),
联立，消去的：
∴
∴

∵为锐角，∴，即
∴
解得：.
∴实数的范围

变式训练2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为．直线：与椭圆交于不同的两点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值．
（3）若为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
解析：（1）四边形的面积为，周长为，
又，解得，，故椭圆的方程为；
（2）将代入椭圆方程，整理得①，
，解得，
设、，由方程①，得，②，
又③，
，
即，
解得，显然满足，故；
（3）由（2）知，为锐角，即，
解得，又，，∴．

变式训练3：已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）由题意可得，所以，
，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，
所以的方程为．
联立，得，
因为直线与椭圆交于两个不同的点，
所以，解得．
设，，则，．
因为为钝角等价于，且，
所以
，即，且，
所以直线在轴上的截距的取值范围：．
因为直线在轴上的截距，
所以的取值范围是：．



【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；
（2）线段垂直的向量数量积点乘为零；
（3）直角，锐角和钝角的向量表示；
2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.


【过关检测】
1．已知抛物线，点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵点在抛物线上，
∴，即，
∴抛物线的方程为；
(2)设，，，，联立，得，△，得，，，
又，则，
，
或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，
综上：的值为．
2．已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由已知得，，而，解得，
椭圆的方程为；
（2）设直线方程为
代入得，
化简得
由，
得，，

设，则，，
则
设，则，则，
所以在轴存在使.
，


，所以在.
3．已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.
(1)求抛物线的方程和焦点的坐标；
(2)抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.
【答案】(1)抛物线的方程为，焦点坐标为；(2)存在，且
解析：(1)将代入得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
(2)存在，理由如下：
直线的方程为，
或，即.
抛物线的准线，设，
，即
，
所以.
即存在点使.

4．已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线相交于两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求实数值.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意，抛物线的焦点，可得双曲线的，
设双曲线方程为，可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由直线，联立方程组，可得，
当时，即，解得且，
由韦达定理：，
设，由，可得，
即，
代入可得，整理得，解得.

5．已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，为坐标原点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意知，圆与轴的交点分别为，则抛物线的焦点为，所以，
所以抛物线方程为；
(2)证明：设直线为，联立方程，有，
所以，
所以，
所以.
6．已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，
故C的方程为：；
（2）设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．

7．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆左、右顶点，、分别为椭圆上、下顶点，且四边形的面积为.
（1）求椭圆的方程；
2）过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由题设得，，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）由于过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，
则直线不与轴重合，可设直线的方程为，设点、，
联立方程，化简得，
显然点在椭圆的内部，.
由韦达定理可得，，
又 ，，同理，

，
，因此，.



8．设椭圆过，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2)或.
解析：(1)∵椭圆过，两点，
∴，解得，
∴椭圆E的方程为；
(2)由题可得，设，
由，得，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，
∴，整理得，
∴，
∴，即，
解得或，满足，
当时，过点D，不合题意，
∴，又直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，
∴，
∴或，
∴直线l的方程为或.

9．设椭圆的离心率为，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点到直线l距离的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)依题意，因为，所以，
将代入椭圆，则可解得，
所以椭圆E的方程为．
(2)由（1）知，设，，
由知，，
即，
①当直线垂直轴时，，且，
故，故或2（舍去），此时点到的距离为；
②当直线的斜率存在时，设
联立方程，得，
由得，且，
由得，
将代入上式可得，
即，，所以（舍去）或，
显然，则点到的距离，
综上，点到的距离最大值为．

10．已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意有，  
解得  
所以由题得椭圆方程为
（2），
当直线斜率时，显然不合题意  
当时，设直线：
联立直线与椭圆
有
设，，，  

因为为钝角，所以.
  
，且
综上，k的取值范围是.

11．如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
（1）求的值；
（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若为钝角，求直线的斜率的范围．
【答案】（1） （2）．
解析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；
（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，，，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，
由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，
所以，
最后由，与不共线，
即且
化为，
即，且，
解得，