第04讲：圆锥曲线中的向量问题（一）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

这是一份第04讲：圆锥曲线中的向量问题（一）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义，文件包含圆锥曲线专题复习第四讲向量问题一解析版docx、圆锥曲线专题复习第四讲向量问题一原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
第三讲：向量问题（一）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.   【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、向量的数量积若，则  2、向量的数乘若，则时，  3、向量的线性运算若，则时，.       【考点剖析】考点一：向量数量积例1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．     变式训练1：已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，点的坐标为，且，求实数的值. 
变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若点在双曲线上，试求的值.         例2．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值． 
变式训练3：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程；(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.       变式训练:4：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.  
例3．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.           变式训练5：已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 
变式训练6：在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线过圆的圆心且与圆交于两点，点为上一个动点，求的最小值．        例4．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.  
变式训练7：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．         变式训练8：已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围. 
考点二：向量的数乘例1．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.        变式训练：1已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆C的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的一般方程.  
变式训练2：已知抛物线，准线方程为.(1)求抛物线的标准方程；(2)若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.        变式训练3：若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 
考点三：双向量数乘例1．已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值.      变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.  
变式训练2：如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程．（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．       变式训练3：已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l交y轴于点，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由； 
考点四：向量的线性运算例1．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的取值范围；(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.      变式训练1：已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．
变式训练2：已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．        变式训练3：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.(1)求椭圆C的方程；(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.  
考点五：向量的线性运算（范围）例1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.（1）求曲线的方程；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.     变式训练1：已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围． 
 【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；（2）向量的数量积，数乘，线性运算；（3）不等式的求解和导数单调性求解范围；2、易错点：向量的表示及其运算；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.   【过关检测】1．已知椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．
2．已知抛物线：上的点到焦点的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．        3．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和的值；(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值. 
4．已知椭圆，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点，，点，证明:为定值.          5．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值. 
6．已知椭圆的长轴长是6，离心率是.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.         7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程. 
8．已知双曲线的方程为（），离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.        9．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.  
10．设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.        11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上且到双曲线渐近线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且满足，求直线的方程.  
12．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.      13．已知定圆，动圆过点，且和圆相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由. 
14．已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.