第01讲 集合与逻辑-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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【考点梳理】
【考点1】集合的有关知识
1． 集合的概念
把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。
集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性；
集合的分类：有限集，无限集，空集；
常用数集：正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集；
集合的表示法：列举法和描述法。
2. 子集与真子集
子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或；
真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作
相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作；
空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；
任何集合是其自身的子集，即；
子集的传递性：若，则；
若，则或；
相等的集合中的所含元素完全相同；
连接元素与集合的符号有：和；
连接集合与集合的符号有：，，等；
含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。
3. 集合的运算
交集：；
并集：；
补集：
交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并
集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同；
交集的性质：，，，，；
并集的性质：，，，，；
，；
集合的运算满足分配律：
，；
补集的性质：

摩根定律：
，
【考点2】命题
命题：能够判断真假的陈述句叫命题。
分类：真命题和假命题
命题和命题 真命题
假命题
如果，并且，那么记作，叫做与等价
【考点3】充分条件、必要条件与充要条件的概念
【考点4】反证法
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解题方法和技巧】
1.集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
2、充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
3、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
【考点剖析】
【考点1】集合的有关知识
题型一:集合的概念
一、填空题
1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________.
3．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知集合A={a，|a|，a-2}，若，则实数a的值为_____.
4．（2020·上海·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）设M是由满足下列性质的函数构成的集合：在定义域内存在，使得成立，已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中属于集合M的函数是____________.（写出所有满足要求的函数的序号）
5．（2019·上海市金山中学高三期中）已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.
二、解答题
6．（2019·上海市行知中学高三阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知集合，若，求实数的值.
题型二：集合的表示方法
一、填空题
1．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_________.
2．（2021·上海师大附中高三阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
3．（2020·上海闵行·一模）已知集合，则__________.
题型三：集合之间的关系
_
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
2．（2022·上海·高三专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·上海市崇明中学高三期中）已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）（多选）集合，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集B．对任意，不是的子集
C．存在，使得不是的子集D．存在，使得是的子集
三、填空题
5．（2022·上海市七宝中学高三期中）设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________
6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合，.若，则_______.
7．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知集合，，且，则实数的值是___________．
8．（2022·上海·模拟预测）设集合，，若，则实数________
题型四：集合的运算
一、单选题
1．（2022·上海·模拟预测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
2．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知集合，，则_____________．
3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集，集合，，则___________.
4．（2022·上海交大附中高三开学考试）设全集，集合，在______
三、解答题
5．（2022·上海·高三专题练习）已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求实数的值；
题型五：空集
一、单选题
1．（2020·上海·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中错误结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
2．（2020·上海市建平中学模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是________
题型六：集合新定义
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（ ）.
A．44B．110C．132D．143
2．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
二、填空题
3．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．
三、解答题
4．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
题型七：集合的应用
一、单选题
1．（2019·上海市市北中学高三期中）设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足: 对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．（2020·上海市崇明中学高三期中）从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①，；②若，则.共有___________种不同的选择.
3．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）若集合且下列四个关系：①；②；③；④中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组的个数是________．
4．（2020·上海·高三专题练习）向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:
①若为“类集”,则集合也是“类集”;
②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;
③若都是“类集”,则也是“类集”;
④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
5．（2022·上海·高三专题练习）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是________.
6．（2020·上海市行知中学高三开学考试）设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是________．
【考点2】命题
题型八：命题
一、单选题
1．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）已知与皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题P：“对任意，恒成立”，命题Q：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）
A．命题P真，命题Q真B．命题P真，命题Q假
C．命题P假，命题Q真D．命题P假，命题Q假
2．（2022·上海·高三专题练习）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、多选题
3．（2021·上海·模拟预测）假设“物理好数学就好是真命题”，那么下面哪句话成立（ ）
A．物理好数学不一定好B．数学好物理不一定好
C．数学差物理也差D．物理差数学不一定差
三、填空题
4．（2021·上海市吴淞中学高三期中）命题“如果，那么”的否命题是___________.
5．（2022·上海·高三专题练习）能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.
6．（2022·上海·高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）
【考点3】充分条件、必要条件与充要条件
题型九：充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知向量，“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
2．（2021·上海市金山中学高三期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3．（2021·上海中学高三期中）已知，则“对任意”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
5．（2022·上海·高三专题练习）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
6．（2022·上海·高三专题练习）“”是“”的_________________条件．
【考点4】反证法
题型十：反证法
一、单选题
1．（2022·上海交大附中模拟预测）设是定义在非空集合上的函数，且对于任意的，总有．对以下命题：
命题：任取，总存在，使得；
命题：对于任意的，若，则．
下列说法正确的是（ ）
A．命题均为真命题
B．命题为假命题，为真命题
C．命题为真命题，为假命题
D．命题均为假命题
二、解答题
2．（2021·上海市向明中学高三期中）若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”.
(1)若数列为“数列”且，求的值；
(2)求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值.
3．（2020·上海·华师大二附中高三阶段练习）若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.
（1）求的生成数列的项数；
（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；
（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2008·上海·高考真题（理））如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海徐汇·一模）已知且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2021·上海嘉定·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
4．（2021·上海金山·一模）已知a､，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
5．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知全集，集合，，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．
8．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p