北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.1 导数的加法与减法法则完美版ppt课件

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1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则.2.能利用导数公式和加法法则与减法法则求函数的导数.
我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的和、差的导数呢？
一、导数的加法与减法法则及其简单应用
二、求较复杂函数的导数
三、导数的加法与减法法则的应用
(1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？
(3)Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝ ，[f(x)－g(x)]′＝ .
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
注意点：[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
例1　求下列函数的导数：(1)y＝x4＋x3＋cs x－ln 5；
解　y′＝(x4＋x3＋cs x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cs x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x.
(2)y＝ln x－sin x；
(3)y＝5x＋lg2x－3.
反思感悟　应用加法、减法法则求导时的关注点(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式.(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.
跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝lg x－ex；
(2)y＝x7＋tan x；
(3)y＝sin x＋cs x－3x.
解　y′＝(sin x＋cs x－3x)′＝(sin x)′＋(cs x)′－(3x)′＝cs x－sin x－3xln 3.
例2　求下列函数的导数：
解　∵y＝1＋sin x，∴y′＝cs x.
反思感悟　应用加法、减法法则求导数的两种技巧(1)分拆函数，函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式.(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导.
跟踪训练2　求下列函数的导数：
例3　曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
延伸探究　直线l为曲线f(x)＝x3＋x－16的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
解　设切点为(x0，y0)，
又因为直线l过点(0,0)，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.即直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
反思感悟　求切线方程时的关注点(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的.(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：①切点坐标满足曲线方程；②切点坐标满足对应切线的方程；③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.
跟踪训练3　函数f(x)＝x4－x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为A.y＝－x－1 B.y＝－x＋1C.y＝x－1 D.y＝x＋1
解析　f(1)＝0，切点坐标为(1,0)，f′(x)＝4x3－3x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－3×12＝1，切线方程为y－0＝x－1，即y＝x－1.
1.知识清单：(1)导数的加法与减法法则.(2)利用导数的加法与减法法则求函数的导数.(3)利用导数的加法与减法法则解决与切线有关的问题.2.方法归纳：公式法、待定系数法.3.常见误区：公式记忆混乱.
1.函数y＝x2＋ex＋2的导数为A.y′＝2x＋ex＋2 B.y′＝2x＋exC.y′＝2x2＋ex D.y′＝2x＋exlg e
2.下列四组函数中导数相等的是A.f(x)＝2与g(x)＝2xB.f(x)＝－sin x与g(x)＝cs xC.f(x)＝2－cs x与g(x)＝－sin xD.f(x)＝1－x2与g(x)＝－x2＋4
解析　选项D中，f′(x)＝(1－x2)′＝－2x，g′(x)＝(－x2＋4)′＝－2x.
解析　∵f′(x)＝－sin x－cs x，
4.已知f(x)＝xα＋ln x，若f′(1)＝－1，则α＝_____.
2.(多选)若对任意实数x，恒有f′(x)＝4x3，则此函数可以为A.f(x)＝－1－x4 B.f(x)＝x4－2C.f(x)＝x3－2 D.f(x)＝x4＋1
3.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是
解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，
A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y－7＝0C.3x－2y＋1＝0 D.3x－2y－7＝0
即3x－2y＋1＝0.
5.若点P在曲线f(x)＝ln x＋ax上，且在点P处的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是A.(－∞，2] B.(－∞，2)C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
解析　设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，
6.已知f(x)＝x2＋ ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是
∴f′(x)＝2x－sin x.易知f′(x)＝2x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.当x>0时，2x－sin x>0，故选C.
7.已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为______.
解析　g′(x)＝f′(x)＋1，所以g′(1)＝f′(1)＋1＝14.
9.求下列函数的导数：(1)y＝x2＋2x；
解　y′＝(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2.
＝(x－2)′－(x－1)′＋(x2)′＝－2x－3＋x－2＋2x
10.设f(x)＝x3＋x2＋ax＋b的导数f′(x)满足f′(1)＝6，f(2)＝15，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
解　∵f(x)＝x3＋x2＋ax＋b，∴f′(x)＝3x2＋2x＋a，令x＝1，得f′(1)＝3＋2＋a＝6，∴a＝1，令x＝2，得f(2)＝8＋4＋2＋b＝15，∴b＝1，∴f(1)＝1＋1＋1＋1＝4.∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－4＝6(x－1)，即6x－y－2＝0.
11.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
解析　∵f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于
解析　由f(x)＝f′(e)＋ln x，
解析　f′(x)＝cs x＋3x2，∴f′(－x)＝cs(－x)＋3(－x)2＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，∴f′(2 021)－f′(－2 021)＝0.
13.已知函数f(x)＝sin x＋x3＋4，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(2 021)－f′(－2 021)的值为_____.
14.已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x－1，则过点(0,0)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为_____.
解析　因为点(0,0)不在函数y＝f(x)的图象上，所以点(0,0)不是切点.
由f(x)＝－x3＋x2－2x－1，可得f′(x)＝－3x2＋2x－2，
解得x0＝1，故切线有1条.
15.若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝ln x＋b的切线，则b等于A.－1 B.1 C.2 D.e
解析　函数y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为k＝e0＝1，则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x；
即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值6.