高中4.1 导数的加法与减法法则学案

这是一份高中4.1 导数的加法与减法法则学案，共10页。学案主要包含了求较复杂函数的导数，导数的加法与减法法则的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则.2.能利用导数公式和加法法则与减法法则求函数的导数．
导语
我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的和、差的导数呢？
一、导数的加法与减法法则及其简单应用
问题 已知f(x)＝x，g(x)＝eq \f(1,x).
(1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示 f′(x)＝1，g′(x)＝－eq \f(1,x2).
(2)你能利用导数的定义求y＝Q(x)＝x＋eq \f(1,x)，H(x)＝x－eq \f(1,x)的导数吗？
提示 ∵Δy＝(x＋Δx)＋eq \f(1,x＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝Δx＋eq \f(－Δx,xx＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝1－eq \f(1,xx＋Δx)，
∴Q′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(1,xx＋Δx)))＝1－eq \f(1,x2).
同理，H′(x)＝1＋eq \f(1,x2).
(3)Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示 Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
知识梳理
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
注意点：
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋x3＋cs x－ln 5；
(2)y＝ln x－sin x；
(3)y＝5x＋lg2x－3.
解 (1)y′＝(x4＋x3＋cs x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cs x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x.
(2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝eq \f(1,x)－cs x.
(3)y′＝(5x＋lg2x－3)′＝(5x)′＋(lg2x)′－3′＝5xln 5＋eq \f(1,xln 2).
反思感悟 应用加法、减法法则求导时的关注点
(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式．
(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝lg x－ex；
(2)y＝x7＋tan x；
(3)y＝sin x＋cs x－3x.
解 (1)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝eq \f(1,xln 10)－ex.
(2)y′＝(x7＋tan x)′＝(x7)′＋(tan x)′＝7x6＋eq \f(1,cs2x).
(3)y′＝(sin x＋cs x－3x)′＝(sin x)′＋(cs x)′－(3x)′＝cs x－sin x－3xln 3.
二、求较复杂函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x)－\f(1,x2)))；
(2)y＝1＋2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2).
解 (1)∵y＝x＋2－eq \f(1,x)，∴y′＝1＋eq \f(1,x2).
(2)∵y＝1＋sin x，∴y′＝cs x.
反思感悟 应用加法、减法法则求导数的两种技巧
(1)分拆函数，函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式．
(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(eq \r(x)＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－1))；
(2)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3))).
解 (1)∵y＝－eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))，
∴y′＝＝－eq \f(1,2\r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x))).
(2)∵y＝x3＋1＋eq \f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq \f(2,x3).
三、导数的加法与减法法则的应用
例3 曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
答案 2x－y＝0
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝eq \f(1,x)＋1，
所以切线的斜率为eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1.
所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
延伸探究 直线l为曲线f(x)＝x3＋x－16的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解 设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
所以直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又因为直线l过点(0,0)，
所以0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
整理得xeq \\al(3,0)＝－8，即x0＝－2.
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
即直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
反思感悟 求切线方程时的关注点
(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
①切点坐标满足曲线方程；
②切点坐标满足对应切线的方程；
③切线的斜率是函数在此切点处的导数值．
跟踪训练3 函数f(x)＝x4－x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
答案 C
解析 f(1)＝0，切点坐标为(1,0)，
f′(x)＝4x3－3x2，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－3×12＝1，
切线方程为y－0＝x－1，
即y＝x－1.
1.知识清单：
(1)导数的加法与减法法则．
(2)利用导数的加法与减法法则求函数的导数．
(3)利用导数的加法与减法法则解决与切线有关的问题．
2．方法归纳：公式法、待定系数法．
3．常见误区：公式记忆混乱．
1．函数y＝x2＋ex＋2的导数为( )
A．y′＝2x＋ex＋2 B．y′＝2x＋ex
C．y′＝2x2＋ex D．y′＝2x＋exlg e
答案 B
2．下列四组函数中导数相等的是( )
A．f(x)＝2与g(x)＝2x
B．f(x)＝－sin x与g(x)＝cs x
C．f(x)＝2－cs x与g(x)＝－sin x
D．f(x)＝1－x2与g(x)＝－x2＋4
答案 D
解析 选项D中，f′(x)＝(1－x2)′＝－2x，g′(x)＝(－x2＋4)′＝－2x.
3．已知函数f(x)＝cs x－sin x，f′(x)为函数f(x)的导函数，那么f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1－\r(3),2) B.eq \f(\r(3)－1,2)
C．－eq \f(1＋\r(3),2) D.eq \f(1＋\r(3),2)
答案 C
解析 ∵f′(x)＝－sin x－cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3)＋1,2).
4．已知f(x)＝xα＋ln x，若f′(1)＝－1，则α＝________.
答案 －2
解析 ∵f′(x)＝αxα－1＋eq \f(1,x)，∴f′(1)＝α＋1＝－1，
∴α＝－2.
课时对点练
1．函数y＝(eq \r(x)＋1)(eq \r(x)－1)的导数等于( )
A．1 B．－eq \f(1,2\r(x)) C.eq \f(1,2x) D．－eq \f(1,4x)
答案 A
解析 因为y＝(eq \r(x)＋1)(eq \r(x)－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.
2．(多选)若对任意实数x，恒有f′(x)＝4x3，则此函数可以为( )
A．f(x)＝－1－x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3－2 D．f(x)＝x4＋1
答案 BD
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq \f(10,3).
4．曲线f(x)＝eq \f(1,\r(x))＋x2在(1，f(1))处的切线方程为( )
A．3x＋2y＋1＝0 B．3x＋2y－7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．3x－2y－7＝0
答案 C
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,\r(x))＋x2＝＋x2，
∴f′(x)＝(＋x2)′＝()′＋(x2)′
∴f′(1)＝eq \f(3,2).
又f(1)＝2，
∴所求切线的方程为y－2＝eq \f(3,2)(x－1)，
即3x－2y＋1＝0.
5．若点P在曲线f(x)＝ln x＋ax上，且在点P处的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，
因为f′(x)＝eq \f(1,x)＋a，
故f′(x0)＝eq \f(1,x0)＋a＝2，得a＝2－eq \f(1,x0)，
由题意知x0>0，所以a＝2－eq \f(1,x0)<2.
6．已知f(x)＝x2＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝x2＋cs x，
∴f′(x)＝2x－sin x.
易知f′(x)＝2x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.
当x>0时，2x－sin x>0，故选C.
7．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．
答案 14
解析 g′(x)＝f′(x)＋1，所以g′(1)＝f′(1)＋1＝14.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－3x，x<0，,－\f(1,x)－ln x，0答案 eq \f(1,4)或－eq \r(5)
解析 f′(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2－3，x<0，,\f(1,x2)－\f(1,x)，0若f′(a)＝12，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0解得a＝eq \f(1,4)或a＝－eq \r(5).
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋2x；
(2)y＝eq \r(x)－ln x；
(3)y＝eq \f(1－x,x2)＋x2.
解 (1)y′＝(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2.
(2)y′＝(eq \r(x)－ln x)′＝(eq \r(x))′－(ln x)′＝eq \f(1,2\r(x))－eq \f(1,x).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,x2)＋x2))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－\f(1,x)＋x2))′＝(x－2－x－1＋x2)′＝(x－2)′－(x－1)′＋(x2)′＝－2x－3＋x－2＋2x＝－eq \f(2,x3)＋eq \f(1,x2)＋2x.
10．设f(x)＝x3＋x2＋ax＋b的导数f′(x)满足f′(1)＝6，f(2)＝15，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解 ∵f(x)＝x3＋x2＋ax＋b，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋a，
令x＝1，得f′(1)＝3＋2＋a＝6，∴a＝1，
令x＝2，得f(2)＝8＋4＋2＋b＝15，∴b＝1，
∴f(1)＝1＋1＋1＋1＝4.
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－4＝6(x－1)，即6x－y－2＝0.
11．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－eq \f(1,4) C．2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
12．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于( )
A.eq \f(1,e) B．e C．－eq \f(1,e) D．－e
答案 A
解析 由f(x)＝f′(e)＋ln x，
得f′(x)＝eq \f(1,x)，
则f′(e)＝eq \f(1,e).
13．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋4，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(2 021)－f′(－2 021)的值为________．
答案 0
解析 f′(x)＝cs x＋3x2，
∴f′(－x)＝cs(－x)＋3(－x)2＝f′(x)，
∴f′(x)为偶函数，
∴f′(2 021)－f′(－2 021)＝0.
14．已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x－1，则过点(0,0)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为________．
答案 1
解析 因为点(0,0)不在函数y＝f(x)的图象上，
所以点(0,0)不是切点．
设切点为P(x0，－xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－2x0－1)，
由f(x)＝－x3＋x2－2x－1，
可得f′(x)＝－3x2＋2x－2，
则f′(x0)＝－3xeq \\al(2,0)＋2x0－2，
所以－3xeq \\al(2,0)＋2x0－2＝eq \f(－x\\al(3,0)＋x\\al(2,0)－2x0－1,x0)，
2xeq \\al(3,0)－xeq \\al(2,0)－1＝0，
解得x0＝1，故切线有1条．
15．若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝ln x＋b的切线，则b等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．e
答案 C
解析 函数y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为k＝e0＝1，则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x；函数y＝ln x＋b的导数为y′＝eq \f(1,x)，设切点为(m，n)，则eq \f(1,m)＝1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.
16．定义(mx)′＝m，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,x)))′＝－eq \f(n,x2)(m，n为常数)，若函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x－4y－12＝0，得y＝eq \f(7,4)x－3.
当x＝2时，y＝eq \f(1,2)，所以f(2)＝eq \f(1,2)，①
又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，且f′(2)＝eq \f(7,4)，②
由①，②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，))
故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋eq \f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0，得y＝－eq \f(6,x0)，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值6.