高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理练习题

【精品】3.1.1 基本计数原理-3课时练习

一．单项选择

1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（    ）

A．37种 B．1848种 C．3种 D．6种

2．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（    ）

A． B． C． D．

3．张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（    ）

A．7种 B．12种 C．14种 D．24种

4．将个5不同的篮球放入2个不同的收纳筐中，则不同放法种数有（    ）

A．20 B．25 C．30 D．32

5．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（    ）

A．23 B．24 C．32 D．33

6．甲．乙．丙．丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲．乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（    ）

A． B． C． D．

7．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要]求每个盒子内放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为（ ）

A． B． C． D．

8．1000末位有3个“0”，问：末位有（    ）个“0”.

A．3 B．4 C．5 D．6

9．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（    ）

A．16种 B．12种 C．9种 D．6种

10．汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（    ）．

A． B． C． D．

11．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）

A． B． C． D．

12．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：，为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就，某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1，4，1，5，9，2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位（整数部分3不变），那么得到的数字大于3. 14的概率为（    ）

A． B． C． D．

13．某校教学大楼共有四层，每层均有三个楼梯，一学生由一层到四层的走法有（    ）

A．9种 B．18种 C．27种 D．81种

14．随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法，为了辟谣并宣讲正确的预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（    ）

A．12种 B．14种 C．16种 D．32种

15．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（     ）

A． B． C． D．

16．经过选拔有5位同学进入猜谜背古诗朗读共三项的决赛，每人三个赛项均参与，每个赛项只有唯一一个冠军.则不同的夺冠种数是（    ）

A． B． C． D．

17．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B？C？D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3？5？6？8？9中选择，其他号码只想在1？3？6？9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（    ）

A．180种 B．360种 C．720种 D．960种

18．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）

A．24种 B．28种 C．32种 D．36种

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】利用分类加法原理，分类进行求解.

详解：取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单.

2．【答案】B

【解析】根据分步乘法计数原理，由题中条件，可直接得出结果.

详解：由题意，每名旅客可选择方案有3种，

因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查计数原理的简单应用，属于基础题型.

3．【答案】A

【解析】根据分类加法计数原理求解即可.

详解：由分类计数原理可知，张先生从本地到上海的出行方案可以是坐动车前往，或者坐飞机前往，

共有种．

故选：A.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理，是基础题.

4．【答案】D

【解析】每个篮球都有2种不同的放法，由分步计数原理可得结果.

详解：由题意可知，每个篮球都有2种不同的放法，则由乘法原理可得共有2×2×2×2×2=25=32种放法，

故选：D

【点睛】

此题考查的是排列组合中的分步计数原理，属于基础题.

5．【答案】D

【解析】先判断出，按顺序排在前四个位置中的三个位置，，，且一定排在后四个位置，然后分排在前四个位置中的一个位置与不排在前四个位置中的一个位置两种情况讨论，利用分类计数加法原理可得结果.

详解：不妨设代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，

根据甲依次撞击到树枝；乙依次撞击到树枝；丙依次撞击到树枝；丁依次撞击到树枝；戊依次撞击到树枝可得，

在前四个位置，，，且一定排在后四个位置，

（1）若排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法；

（2）若不排在前四个位置中的一个位置，则按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，

由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有种.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.

6．【答案】A

【解析】优先排甲．乙，在排丙丁即可。

详解：每人只能选择一个景点且甲．乙不能同去一个景点，甲有3种，乙有两种，丙．丁各有3种，共54种。故选A

【点睛】

排数问题一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步，特殊元素优先考虑。

7．【答案】D

【解析】运用分步计数原理求解:第一步,先在个球中取出个球放入与其同编号的盒子中,有种可能；第二步,再将余下的个球放入不同盒子中有种可能,如可有或两种放法.由分步计数原理可得种可能,故应选D.

考点：分步计数原理的运用.

8．【答案】B

【解析】根据一个因数2与一个因数5相乘，会在乘积的末尾增加1个0，另外同时连续的自然数相乘，因数2足够多，只需考虑因数5的个数即可.

详解：因为一个因数2与一个因数5相乘，会在乘积的末尾增加1个0，

所以连续的自然数相乘，因数2足够多，只需考虑因数5的个数.

因数有一个5的：40，45，

因数有二个5的：50，

所以因数5一共有4个.

故选：B

【点睛】

本题主要考查乘法计算的应用，还考查了理解辨析，分析推理的能力，属于基础题.

9．【答案】B

【解析】分析：分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解即可.

详解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：

当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；    ^

当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；

因此，不同的放球方法有12种，故选B.

点睛：本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

10．【答案】A

【解析】用乘客选车站的方法．

详解：根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有种可能的下车方式．

故选：A．

【点睛】

本题考查分步计数原理，确定事件的完成方法是解题关键．

11．【答案】D

【解析】详解：分以下三种情况讨论，

（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有

个元素；

（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；

（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；

综上所述，集合共有个元素.故选D.

【考点定位】

本题考查分类计数原理，属于较难题.

12．【答案】D

【解析】由题意将从小数点后的6位数字中随机选取两个数字做为小数点后的前两位可分为选出两个1．选出一个1和没有选出1三种情况，结合分步乘法．排列．组合的知识可求得总的数字个数，求出符合要求的数字个数后，利用古典概型概率公式即可得解.

详解：由题意从小数点后的6位数字中随机选取两个数字做为小数点后的前两位，可分为以下情况：

①选出两个1，共可组成1个数字；

②选出一个1，共可组成个不同数字；

③没有选出1，共可组成个不同数字；

所以共可组成个不同的数字；

其中小于等于3.14的数字有：3.11．3.12．3.14，共3个，则大于3.14的数字个数为18，

故所求概率.

故选：D.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了古典概型概率的求解及运算求解能力，合理分类．分步是解题关键，属于中档题.

13．【答案】C

【解析】分析可得从一层到二层，从二层到三层，从三层到四层都有3种走法，然后再利用分步计数原理求解.

详解：由题意得：从一层到二层有3种走法，

同理从二层到三层有3种走法，从三层到四层有3种走法，

所以学生由一层到四层的走法有种，

故选：C

【点睛】

本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.

14．【答案】C

【解析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，由加法原理计算可得答案.

详解：根据题意，分2种情况讨论：

①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有种选法；

②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有种选法；

则一共有1+15＝16种选法.

故选：C．

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，属于基础题．

15．【答案】A

【解析】根据分步乘法计数原理，即可得答案.

详解：每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法.

故选：A.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题.

16．【答案】C

【解析】用分步乘法计数原理求解，用冠军选人的思路完成这件事．

详解：完成这件事分三步：第一步猜谜冠军有5种可能，第二步背古诗冠军有5种可能，第三步朗读冠军有5种可能，共有夺冠种数种．

故选：C．

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，解题关键确定完成一件事的方法，是分类完成还是分步完成，注意分类与分步的区别．

17．【答案】D

【解析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码？第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，车主第一个号码在数字3？5？6？8？9中选择，共5种选法，

第二个号码只能从字母B？C？D中选择，有3种选法，

剩下的3个号码在1？3？6？9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，

则共有5×3×64=960种，

故选：D.

【点睛】

本题考查排列？组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A43种，属于基础题.

18．【答案】B

【解析】第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有种分法，将剩余的本小说，本诗集分给剰余个同学，有种分法，那共有种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有种情况，将剩余的本小说分给剩余个人，只有一种分法，那共有：种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的个人，有种分法，那共有：种，综上所述：总共有：种分法，故选B.

考点：1．分布计数乘法原理；2．分类计数加法原理.

【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”．“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.