数学5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

课时跟踪检测 （十七）  函数的极值

1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(　　)

A．两个极大值，一个极小值

B．两个极大值，无极小值

C．一个极大值，一个极小值

D．一个极大值，两个极小值

解析：选C　由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.

2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)

A．0,1，－1  B．

C．－  D．，－

解析：选B　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0.所以当x＝时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点，选B.

3．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：选D　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．

4．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　)

A．－2  B．2

C．0  D．1

解析：选A　f′(x)＝＋a，若f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝2＋a＝0，解得a＝－2.

5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)

A．(2,3)  B．(3，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(－∞，3)

解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．

6．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为________．

解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.

答案：1，－3

7．函数y＝的极大值为__________，极小值为__________．

解析：y′＝，令y′>0得－1<x<1，

令y′<0得x>1或x<－1，

∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.

答案：1　－1

8．能说明“若f′(0)＝0，则x＝0是函数y＝f(x)的极值点”为假命题的一个函数是________．

解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反．函数f(x)＝x3，当x＝0时，f′(0)＝2×02＝0，但是f(x)＝x3在R上单调递增，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．

答案：f(x)＝x3或f(x)＝1(答案不唯一)

9．设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，

从而f′(x)＝62＋b－，

即f′(x)的图象关于直线x＝－对称，

则－＝－，即a＝3.

由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.

(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值，为f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值，为f(1)＝－6.

10．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

(1)求a和b的值；

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，

f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.

所以g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，

所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，

于是函数g(x)的极值点可能是1或－2.

当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．

当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．

所以g(x)的极值点为－2.

1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－4处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

解析：选C　由函数f(x)在x＝－4处取得极小值，可得f′(－4)＝0，且导函数f′(x)从左侧趋近－4时，f′(x)<0；从右侧趋近－4时，f′(x)>0.故函数y＝xf′(x)从左侧趋近－4时，xf′(x)>0；从右侧趋近－4时，xf′(x)<0.结合所给的选项可知选C.

2．[多选]已知直线y＝a与函数f(x)＝x3－x2－3x＋1的图象相切，则实数a的值为(　　)

A.  B．－1

C．8  D．－8

解析：选AD　f′(x)＝x2－2x－3，

令x2－2x－3＝0，可得x＝3或x＝－1.

经分析可知，它们是函数f(x)的极值点．

由直线y＝a与函数f(x)＝x3－x2－3x＋1的图象相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切．由x＝3或x＝－1可得函数的极值为－8或.

故实数a的值为－8或.

3．若函数f(x)＝x2ln x(x>0)的极值点为α，函数g(x)＝xln x2(x>0)的极值点为β，则有(　　)

A．α>β  B．α<β

C．α＝β  D．α与β的大小不确定

解析：选A　因为α，β分别为f(x)，g(x)的极值点，f′(x)＝2xln x＋x，g′(x)＝2ln x＋2，所以2αln α＋α＝0,2ln β＋2＝0，解得α＝e－，β＝e－1，所以α>β.

4．已知函数f(x)＝2x3－(6a＋3)x2＋12ax＋16a2(a<0)只有一个零点x0，且x0<0，求实数a的取值范围．

解：f′(x)＝6(x－1)(x－2a)，a<0，

当x<2a或x>1时，f′(x)>0；当2a<x<1时，

f′(x)<0.故f(x)的极小值为f(1)＝16a2＋6a－1，

因为函数f(x)只有一个零点x0，且x0<0，

所以16a2＋6a－1>0，又a<0，则a<－.

故实数a的取值范围为.

5．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b在x＝－2处有极值．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间[－3,3]上有且仅有一个零点，求实数b的取值范围．

解：(1)f′(x)＝x2－2ax，

由题意知f′(－2)＝4＋4a＝0，解得a＝－1.

∴f′(x)＝x2＋2x.令f′(x)>0，得x<－2或x>0；

令f′(x)<0，得－2<x<0.

∴f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(0，＋∞)，

单调递减区间是(－2,0)．

(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2＋b，

f(－2)＝＋b为函数f(x)的极大值，f(0)＝b为函数f(x)的极小值．

∵函数f(x)在区间[－3,3]上有且只有一个零点，

∴或或

即或或

解得－18≤b<－，

即实数b的取值范围是.