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广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题（解析版）
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这是一份广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题（解析版），共29页。
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1． 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则A∩B=（ ）
A. ∪[2，+∞） B. C. D.
2. 在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40 B. C. 80 D.
6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A B. C. D. 2
7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在上的值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
8. 已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟
10. 是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1 B. C. D. 1
11. 如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
12. 已知、、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，若，则___________．
14. 若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
15. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为___________.
16. 已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18. 已知数列前n项和为
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2），求λ的最大值．
19. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
20. 已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
21. 已知函数
（1）当时，求函数最小值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实根，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4—4；坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
【选修；不等式选讲】
23. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1． 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则A∩B=（ ）
A. ∪[2，+∞） B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合，然后由交集定义计算．
【详解】由已知，
∴．
故选：C．
2. 在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.
【详解】解：由可得，
由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.
故选：B.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解.
【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长为的正方体内挖去一个底面半径为，高为的圆锥，
由正方体和圆锥的体积计算公式可得：
，
故选：.
4. 已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线方程可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，
又因为，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，
又因为双曲线的右焦点为，所以，故，
所以该双曲线的方程为.
故选：A.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40 B. C. 80 D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【详解】的展开式的通项，
令，解得，
所以，所以项的系数为，
故选：A
6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意得，即，
，，
，
故选：B.
7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在上的值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【解析】
【分析】化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.
【详解】，
因为，故不是对称轴，故A错误.
，不是的一个对称中心，
故B错误.
当时，，故，
所以，即在上的值域为，
故C正确.
的图象向右平移后对应的解析式为，
当时，此时函数对应的函数值为，而，
故与不是同一函数，故D错误.
故选：C.
8. 已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合可求的值.
【详解】如图，
设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知,,
又，所以，
设，因为，所以，
则.
所以,，又,可得,所以，
所以,
可得,即.
故选：.
9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A. 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果.
【详解】将所给数据代入得，，
即，所以
当水温从75°C降至45°C时，满足，
可得，即分钟.
故选：A.
10. 是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数定义得，及即可求值
【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
11. 如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，最小值为1
故选：B
12. 已知、、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，由题中条件可得出，，，再利用函数的单调性可得出、、的大小，再结合函数在上的单调性及指数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，若，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出的值，进而求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，，则，
故答案为：.
14. 若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．
【详解】由正弦定理得，
是三角形内角，则或，
若，则不合题意，舍去，故，，
．
故答案为：．
15. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为___________.
【答案】2.8
【解析】
【分析】求出的值，以及用表示出，代入线性回归方程得到关于的方程，解出即可.
【详解】，，
，
，
解得.
故答案为：2.8.
16. 已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量的线性运算知在的延长线上，且，由此可确定点在以为顶点的三个面内．然后在三个面（正方形）内分别确定轨迹，求得轨迹长度得结论．
【详解】，则在的延长线上，且，
由正方体性质知平面，当在平面上时，平面，，由得，因此点轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的，弧长为，从而知点在以为顶点的三个面内．
当在棱上时，，，
因此点在面时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的圆弧，圆弧的圆心角为，弧长为，同理点在面内的轨迹长度也为，
所以所求轨迹长度为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）① 填表见解析；②不能
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；
(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.
【小问1详解】
解：由题中表格可得2×2列联表如下
阅读爱好者
非阅读爱好者
合计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
合计
75
25
100
由题意得,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．
【小问2详解】
解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，
则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．
[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，
所以，X的取值为0，1，2，
所以X的分布列为；
X
0
1
2
P
所以X的数学期望是．
18. 已知数列的前n项和为
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2），求λ的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．
【小问1详解】
，∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以数列是以为首项和公差的等差数；
【小问2详解】
由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又满足上式，
∴，
因为，
所以，
所以，
记，
又在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以的最大值为．
19. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且点为的中点
【解析】
【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）分析可知，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：连接，为等边三角形，为的中点，则，
因为点在底面上的射影为点，则平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，.
【小问2详解】
解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，所以，与底面所成的角为，
则、、，设点，其中，
，，设平面的法向量为，
则，取，则，
，设平面的法向量为，
则，取，则，
由已知可得，可得，
，解得，即点.
因此，当点为的中点时，二面角的余弦值为．
20. 已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）已知两点坐标代入椭圆方程联立解得得椭圆方程；
（2）设直线，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，代入求得的关系，确定直线过焦点，从而可得焦点三角形的周长．
【小问1详解】
将，B（，）代入椭圆C：中，
，解得，
故椭圆C方程为；
【小问2详解】
设直线，
由，
得
，
又，
故
由k，得，得，
故或．
①当时，直线l，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线l，过定点，即直线l过左焦点，此时，符合题意．
所以△FPO的周长为．
【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，一般设出交点坐标，设出直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，再把这个结果代入题中其它条件，从而得出相应的结论．
21. 已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实根，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导函数的符号分析；
（2）根据结论反向推导，构造函数证明即可.
【小问1详解】
由题知： ，其定义域为（0，+∞），∴ ，
令 ，则 ，∴． 在上单调递增，
∴ ，∴ ，
设 ，得 ， ，得 ，
所以h(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减，
；
【小问2详解】
设 ，
设，则，易知 在R上单调递增，
要使方程有两个不同的实根，而函数 只存在1个零点，设为 ，
所以方程 在上存在2个根，设为，且，则且 ，
所以即，要证，即证，
即证：
， ，
设 ，设，所以 ，
所以在（0，1）单调递减，，即，
故，所以即；
综上，.
【点睛】本题第二问难度较大，需要反向推导，思考的含义，以及如何使用函数表达，再考虑构造函数，运用导数求导.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4—4；坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对曲线C极坐标方程变形后，利用求出答案；
（2）将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用的几何意义求弦长.
【小问1详解】
变形，
即，
因为，故，
即；
【小问2详解】
变形为，
与联立得：，
故，
故.
【选修；不等式选讲】
23. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）2； （2）或.
【解析】
【分析】（1）首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；
（2）利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可.
【小问1详解】
化简得，
当时,,
当时等号成立,所以的最小值为2;
【小问2详解】
由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立.
又因为,
当且仅当时,等号成立.
所以
或
或.
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1． 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则A∩B=（ ）
A. ∪[2，+∞） B. C. D.
2. 在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40 B. C. 80 D.
6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A B. C. D. 2
7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在上的值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
8. 已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟
10. 是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1 B. C. D. 1
11. 如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
12. 已知、、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，若，则___________．
14. 若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
15. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为___________.
16. 已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18. 已知数列前n项和为
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2），求λ的最大值．
19. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
20. 已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
21. 已知函数
（1）当时，求函数最小值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实根，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4—4；坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
【选修；不等式选讲】
23. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1． 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则A∩B=（ ）
A. ∪[2，+∞） B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合，然后由交集定义计算．
【详解】由已知，
∴．
故选：C．
2. 在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.
【详解】解：由可得，
由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.
故选：B.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解.
【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长为的正方体内挖去一个底面半径为，高为的圆锥，
由正方体和圆锥的体积计算公式可得：
，
故选：.
4. 已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线方程可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，
又因为，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，
又因为双曲线的右焦点为，所以，故，
所以该双曲线的方程为.
故选：A.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40 B. C. 80 D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【详解】的展开式的通项，
令，解得，
所以，所以项的系数为，
故选：A
6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意得，即，
，，
，
故选：B.
7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在上的值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【解析】
【分析】化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.
【详解】，
因为，故不是对称轴，故A错误.
，不是的一个对称中心，
故B错误.
当时，，故，
所以，即在上的值域为，
故C正确.
的图象向右平移后对应的解析式为，
当时，此时函数对应的函数值为，而，
故与不是同一函数，故D错误.
故选：C.
8. 已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合可求的值.
【详解】如图，
设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知,,
又，所以，
设，因为，所以，
则.
所以,，又,可得,所以，
所以,
可得,即.
故选：.
9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ）
A. 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果.
【详解】将所给数据代入得，，
即，所以
当水温从75°C降至45°C时，满足，
可得，即分钟.
故选：A.
10. 是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数定义得，及即可求值
【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
11. 如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，最小值为1
故选：B
12. 已知、、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，由题中条件可得出，，，再利用函数的单调性可得出、、的大小，再结合函数在上的单调性及指数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，若，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出的值，进而求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，，则，
故答案为：.
14. 若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．
【详解】由正弦定理得，
是三角形内角，则或，
若，则不合题意，舍去，故，，
．
故答案为：．
15. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为___________.
【答案】2.8
【解析】
【分析】求出的值，以及用表示出，代入线性回归方程得到关于的方程，解出即可.
【详解】，，
，
，
解得.
故答案为：2.8.
16. 已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量的线性运算知在的延长线上，且，由此可确定点在以为顶点的三个面内．然后在三个面（正方形）内分别确定轨迹，求得轨迹长度得结论．
【详解】，则在的延长线上，且，
由正方体性质知平面，当在平面上时，平面，，由得，因此点轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的，弧长为，从而知点在以为顶点的三个面内．
当在棱上时，，，
因此点在面时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的圆弧，圆弧的圆心角为，弧长为，同理点在面内的轨迹长度也为，
所以所求轨迹长度为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）① 填表见解析；②不能
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；
(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.
【小问1详解】
解：由题中表格可得2×2列联表如下
阅读爱好者
非阅读爱好者
合计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
合计
75
25
100
由题意得,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．
【小问2详解】
解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，
则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．
[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，
所以，X的取值为0，1，2，
所以X的分布列为；
X
0
1
2
P
所以X的数学期望是．
18. 已知数列的前n项和为
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2），求λ的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．
【小问1详解】
，∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以数列是以为首项和公差的等差数；
【小问2详解】
由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又满足上式，
∴，
因为，
所以，
所以，
记，
又在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以的最大值为．
19. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且点为的中点
【解析】
【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）分析可知，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：连接，为等边三角形，为的中点，则，
因为点在底面上的射影为点，则平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，.
【小问2详解】
解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，所以，与底面所成的角为，
则、、，设点，其中，
，，设平面的法向量为，
则，取，则，
，设平面的法向量为，
则，取，则，
由已知可得，可得，
，解得，即点.
因此，当点为的中点时，二面角的余弦值为．
20. 已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）已知两点坐标代入椭圆方程联立解得得椭圆方程；
（2）设直线，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，代入求得的关系，确定直线过焦点，从而可得焦点三角形的周长．
【小问1详解】
将，B（，）代入椭圆C：中，
，解得，
故椭圆C方程为；
【小问2详解】
设直线，
由，
得
，
又，
故
由k，得，得，
故或．
①当时，直线l，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线l，过定点，即直线l过左焦点，此时，符合题意．
所以△FPO的周长为．
【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，一般设出交点坐标，设出直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，再把这个结果代入题中其它条件，从而得出相应的结论．
21. 已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实根，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导函数的符号分析；
（2）根据结论反向推导，构造函数证明即可.
【小问1详解】
由题知： ，其定义域为（0，+∞），∴ ，
令 ，则 ，∴． 在上单调递增，
∴ ，∴ ，
设 ，得 ， ，得 ，
所以h(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减，
；
【小问2详解】
设 ，
设，则，易知 在R上单调递增，
要使方程有两个不同的实根，而函数 只存在1个零点，设为 ，
所以方程 在上存在2个根，设为，且，则且 ，
所以即，要证，即证，
即证：
， ，
设 ，设，所以 ，
所以在（0，1）单调递减，，即，
故，所以即；
综上，.
【点睛】本题第二问难度较大，需要反向推导，思考的含义，以及如何使用函数表达，再考虑构造函数，运用导数求导.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4—4；坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对曲线C极坐标方程变形后，利用求出答案；
（2）将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用的几何意义求弦长.
【小问1详解】
变形，
即，
因为，故，
即；
【小问2详解】
变形为，
与联立得：，
故，
故.
【选修；不等式选讲】
23. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）2； （2）或.
【解析】
【分析】（1）首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；
（2）利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可.
【小问1详解】
化简得，
当时,,
当时等号成立,所以的最小值为2;
【小问2详解】
由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立.
又因为,
当且仅当时,等号成立.
所以
或
或.
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