章末质量检测(二) 直线和圆的方程

这是一份章末质量检测(二) 直线和圆的方程，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )
A．6 B．1
C．2 D．4
2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，eq \r(5)
C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，eq \r(5)
3．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0
5．若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
6．直线l：y＝kx－1与曲线eq \f(y－2,x－1)＝eq \f(1,2)不相交，则k的取值是( )
A.eq \f(1,2)或3 B.eq \f(1,2)
C．3 D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
7．过点P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )
A.eq \f(28,5) B.eq \f(12,5)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,5)
8．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)所作的圆的切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( )
A．m∥l B．m⊥l
C．m与圆相离 D．m与圆相交
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
11．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的值可能是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
12．以下四个命题表述正确的是( )
A．直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)
B．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋eq \r(2)＝0的距离都等于1
C．曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点(1,2)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若直线l1：ax＋y＋2a＝0与l2：x＋ay＋3＝0互相平行，则实数a＝________.
14．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
15．已知点A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为________．
16．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
18．(本小题满分12分)
直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)
已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4eq \r(3)，求l的方程．
20．(本小题满分12分)
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
21．(本小题满分12分)
已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)若|AB|＝2eq \r(2)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求过点P(4,4)的圆C的切线方程．
22．(本小题满分12分)
已知以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(3,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O.
(1)设直线3x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，设B(0,2)，且P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PQ|－|PB|的最大值及此时点P的坐标．
章末质量检测(二) 直线和圆的方程
1．解析：由题意知kAB＝eq \f(m＋4,－2－3)＝－2，∴m＝6.故选A.
答案：A
2．解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为eq \r(5).故选D.
答案：D
3．解析：圆C1的圆心C1(－2,2)，半径为r1＝1，圆C2的圆心C2(2,5)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝eq \r(2＋22＋5－22)＝5＝r1＋r2.∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．故选C.
答案：C
4．解析：结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－eq \f(1,2)，直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.故选A.
答案：A
5．解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.故选A.
答案：A
6．解析：曲线eq \f(y－2,x－1)＝eq \f(1,2)表示直线x－2y＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线l：y＝kx－1与曲线eq \f(y－2,x－1)＝eq \f(1,2)不相交，即直线l与x－2y＋3＝0平行或直线l过点(1,2)，所以k的取值为eq \f(1,2)或3.故选A.
答案：A
7．解析：直线l1的斜率k＝－eq \f(a,3)，l1∥l，
又l过P(－2,4)，∴l的直线方程为y－4＝－eq \f(a,3)(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0.
又直线l与圆相切，
∴eq \f(|2a＋3×1＋2a－12|,\r(a2＋9))＝5，
∴a＝－4
∴l1与l的距离为d＝eq \f(12,5).故选B.
答案：B
8．解析：将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心C(－1,2)，半径r＝eq \r(2).∵圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，∴直线2ax＋by＋6＝0过圆心，将x＝－1，y＝2代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即a＝b＋3.∵点(a，b)与圆心的距离d＝eq \r(a＋12＋b－22)，∴由点(a，b)向圆C所作切线长l＝eq \r(d2－r2)＝eq \r(a＋12＋b－22－2)＝eq \r(b＋42＋b－22－2)＝eq \r(2b＋12＋16)≥4，当且仅当b＝－1时切线长最小，最小值为4.故选C.
答案：C
9．解析：直线OP的斜率为eq \f(b,a)，直线l的斜率为－eq \f(a,b)，直线l的方程为：ax＋by＝a2＋b2，
又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2＞r2，故m∥l，
圆心(0,0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq \f(r2,|r|)＝|r|，故m与圆相交．故选AD.
答案：AD
10．解析：由x2＋y2－4x＝0得(x－2)2＋y2＝4
P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P点，圆心C，两切点构成正方形
PC＝2eq \r(2)即(x－2)2＋y2＝8
P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝eq \f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)
计算得到－2eq \r(2)≤k≤2eq \r(2)，故选AB.
答案：AB
11．解析：根据题意，设圆G与圆N关于x的轴对称，点Q′与点Q关于x轴对称，
圆N的方程(x＋4)2＋(y－2)2＝1，其圆心(－4,2)，半径r＝1；
则圆G的圆心为(－4，－2)，半径r′＝1，
则G的方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
又由Q为圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，则Q′在圆G上，
则有|AP|＋|AQ|＝|AP|＋|AQ′|，
又由|AP|＋|AQ′|的最大值为|MG|＋R＋r′＝eq \r(102＋52)＋3＝5eq \r(5)＋3，
最小值为|MG|－R－r′＝eq \r(102＋52)－3＝5eq \r(5)－3，
故有5eq \r(5)－3≤|AP|＋|AQ|≤5eq \r(5)＋3，
分析选项：只有CD的数值在区间[5eq \r(5)－3,5eq \r(5)＋3]上；
故选CD.
答案：CD
12．解析：A中，直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)得
m(x＋3)＋3x＋4y－3＝0
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0,3x＋4y－3＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝3))，即直线恒过定点(－3,3)，故A错误；
B中，圆心C(0,0)到直线l：x－y＋eq \r(2)＝0的距离d＝1，圆的半径r＝2，故圆C上有3个点到直线l的距离为1，故B正确；
C中，曲线C1：x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，
曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0，即
(x－2)2＋(y－4)2＝20－m，
两圆心的距离为eq \r(－1－22＋0－42)＝5＝1＋eq \r(20－m)，解得m＝4，故C正确；
D中，因为点P为直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1上一动点，设点P(4－2t，t)，
圆C：x2＋y2＝4的圆心为C(0,0)，
以线段PC为直径的圆Q的方程为
(x－4＋2t)x＋(y－t)y＝0，
即x2＋(2t－4)x＋y2－ty＝0
故直线圆Q与圆C的公共弦方程为：
x2＋(2t－4)x＋y2－ty－(x2＋y2)＝0－4，
即(2t－4)x－ty＋4＝0，此直线即为直线AB，经验证点(1,2)在直线(2t－4)x－ty＋4＝0上，即直线AB经过定点(1,2)，故D正确．
答案：BCD
13．解析：由两直线平行的条件A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,3a－2a≠0，))得a＝±1.
答案：±1
14．解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
15．解析：kAB＝eq \f(3－4,3－2)＝－1
∴kl＝1
又AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(7,2)))，
∴直线l的方程为y－eq \f(7,2)＝x－eq \f(5,2)
即x－y＋1＝0
答案：x－y＋1＝0
16．解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.
答案：x2＋y2－x－2y＝0
17．解析：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，
所以点(m，－1)在l1、l2上，将点(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.
又因为m＝1，把(1，－1)代入l1，所以n＝7.
故m＝1，n＝7.
(2)要使l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,m×－1－2n≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
(3)要使l1⊥l2，则有m·2＋8·m＝0，得m＝0.
则l1为y＝－eq \f(n,8)，由于l1在y轴上的截距为－1，
所以－eq \f(n,8)＝－1，即n＝8.
故m＝0，n＝8.
18．解析：方法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，
并且满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x0＋y0＋3＝0，,3－2－x0－54－y0－5＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－2，,y0＝5，))
因此直线l的方程为eq \f(y－2,5－2)＝eq \f(x－－1,－2－－1)，
即3x＋y＋1＝0.
方法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋k＋2＝0，,4x＋y＋3＝0，))得x＝eq \f(－k－5,k＋4).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋k＋2＝0，,3x－5y－5＝0，))得x＝eq \f(－5k－15,5k－3).
则eq \f(－k－5,k＋4)＋eq \f(－5k－15,5k－3)＝－2，
解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
方法三 两直线l1和l2的方程为
(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，
整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：
(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程．
19．解析：
如图所示，|AB|＝4eq \r(3)，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2eq \r(3)，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.则点C(－2,6)到直线l的距离公式：
eq \f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq \f(3,4)，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
20.
解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，
线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).
由于平行四边形的对角线互相平分，
故eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2).从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上的情况)．
21．解析：(1)由题意，线段AB的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1，
∴该直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
(2)圆x2＋y2－4x－2y＋m＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝－m＋5.
∵|AB|＝2eq \r(2)，
∴圆心到直线的距离为eq \r(－m＋5－2)＝eq \r(3－m).
∵圆心(2,1)到直线的距离d＝eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴eq \r(3－m)＝eq \r(2)，
∴m＝1.
(3)由题意，知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4.则点P(4,4)在圆外，过点P的圆C的切线有两条．
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0.
由圆心到切线的距离等于半径，得eq \f(|2k－1－4k＋4|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(5,12)，所以所求切线的方程为5x－12y＋28＝0.
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x＝4.
综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0.
22．解析：(1)∵|OM|＝|ON|，
∴原点O在线段MN的垂直平分线上．
设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线．
∵直线MN的方程是3x＋y－4＝0，
∴直线OC的斜率k＝eq \f(\f(3,t),t)＝eq \f(3,t2)＝eq \f(1,3)，解得t＝3或t＝－3，
∴圆心为C(3,1)或C(－3，－1)．
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10或(x＋3)2＋(y＋1)2＝10.
由于当圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝10时，圆心到直线3x＋y－4＝0的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去．
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
(2)由题意可知|PQ|－|PB|≤|BQ|，当B，P，Q三点共线时，等号成立．
又B，C，Q三点共线且|BQ|＝|BC|＋|CQ|时|BQ|最大，
此时|BQ|＝|BC|＋eq \r(10)＝2eq \r(10).
∵B(0,2)，C(3,1)，∴直线BC的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋2，
∴直线BC与直线x＋y＋2＝0的交点的坐标为(－6,4)．
故|PQ|－|PB|的最大值为2eq \r(10)，此时点P的坐标为(－6,4)．