北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例课堂检测

【优质】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-2课堂练习

一．填空题

1．

如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=____________

2．如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是　  

3．
若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．

4．
已知向量与向量平行，其中， ，则         ．

5．
设向量与满足,则           ．

6．
如图所示，两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是___.

7．如图，在半径为2的圆中，为圆上的一个定点，为圆上的一个动点.若点．．不共线，且对恒成立，则__________．

8．在正△ABC内有一点M满足 ，且∠MCA=45°，则=_____

9．
在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且,则该三角形的面积等于_____.

10．
已知O为？ABCD的中心, =4e1, =6e2,则3e2-2e1=_____.

11．
已知，，与的夹角为，则在上的投影为          ．

12．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则？+？的取值范围是　　．

13．
已知外接圆的圆心为，且，则          ．

14．
如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是    N．

15．
已知向量满足，则与的夹角为____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】18

【解析】设平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点，则,所以,因为,所以,由此可得

点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的计算，属于中档题。将写为是解题的关键。

2．【答案】

【解析】根据题意，由于正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，设点A为原点，AB,AD分别是X轴和Y轴，则可知向量表示的为，利用平移法可知过点（0,0）取得最小值，过点（2,2）点取得最大值，故答案为

【考点】向量的几何运用

点评：主要是考查了向量的几何意义，属于基础题。

3．【答案】

【解析】

【分析】

连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用 三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．

【详解】

是所在平面内的一点，连接，
延长 至使，延长至使 ，
如图示： ，
连接，则四边形 是平行四边形（向量和向量 平行且模相等）
由于 ，所以，所以

在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故与的面积比

故答案为

【点睛】

本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．

4．【答案】

【解析】试题分析：由向量与向量平行得，∴．

考点：向量的平行．

5．【答案】5

【解析】

试题分析：因为，所以，所以．

考点：1．平面向量的坐标运算；2．平面向量的模．

6．【答案】10N

【解析】由题意知以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD.

其中||=10N，由∠ABC=120°，得∠ABD=60°.

所以△ABD为等边三角形，所以||=||=||=10N.

7．【答案】4

【解析】分析：两边平方，设=m，整理可得2t2﹣tm﹣（m-2）≥0，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．

详解：∵，

∴

两边平方可得：

2﹣2t+2t2≥2﹣2+2，

设=m，则有：2t2﹣tm﹣（m-2）≥0，

则有判别式△=m2-8（m-2）≤0，

化简可得（m﹣4）2≤0，即m=4，

即有=4，

故答案为：4.

点睛：本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

8．【答案】

【解析】解：过M作DM∥BC交AC于D，作EM∥AC交BC于E，

则

∴

在△CDM中，∠MCD=45°，∠CMD=15°，

∴

故答案为：．

9．【答案】

【解析】设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=.

10．【答案】 (答案不唯一)

【解析】3e2-2e1=

11．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以在上的投影为.所以答案应填：．

考点：向量的数量积的几何意义．

12．【答案】[﹣12，﹣4]

【解析】先求得的值，再运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P位于切点E和顶点时分别取得最值，即可得到取值范围，从而求得？+？的取值范围．

解：如图：设正四面体的边长为a，O为球心，由下图可得在可知，，

因为内切球半径为1，即，解得，所以AE=4，AO=3．

而又=AB？BD？cos（π﹣∠ABD）=cos=﹣12．

由题意M，N是直径的两端点，可得，，

∵=（+）？（+）=+？（+）+=﹣1=PO2﹣1，

由此可知，要求出则？+？的取值范围，只需求出 的范围即可．

再根据当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；当P位于A处时，OP取得最大值3．

综上可得，的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．

则的取值范围是[0，8]．

再由？+？=？﹣12，知？+？的取值范围是[﹣12，﹣4]，

故答案为：[﹣12，﹣4]．

本题考查向量在几何中的运用，考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．

13．【答案】

【解析】

试题分析：不妨设外接圆半径为，，两边平方得，即，故．

考点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值．由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为，也可以假设为，这个数会在后面运算过程中约掉．三个向量的和为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于余弦值的表达式，由此求得角的大小．

14．【答案】5

【解析】由题意知，物体G的重量与两条绳用力的合力的大小相等.

根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得.

∴=25+25+2×5×5×cos120°=25，

∴两条绳用力的合力的大小为5N ∴物体G的重量为5N．

考点：向量在功．动量的计算中的应用.

15．【答案】

【解析】

试题分析:因为,即,也即,所以与的夹角为,故应填答案.

考点：向量的数量积公式及运用．