北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用测试题

【特供】2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-2课时练习

一．填空题

1．已知，，则______．

2．△ABC中，，，则=_____．

3．已知，则________.

4．若，则_____________．

5．已知，，且，，则________.

6．求值：_________．

7．_________.

8．______.

9．求值：=_______

10．已知，则的值为________

11．已知，则的值为______.

12．在锐角△ABC中．a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，则tanA的取值范围是________

13．已知tan(5π﹣α)＝﹣，tan(β﹣α)＝1，则tanβ＝_______.

14．已知，则________.

15．在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求出，然后，展开计算即可.

详解：因为，，所以

所以

故答案为：

【点睛】

解决本类问题的基本思想是用已知角和特殊角来表示所求角.

2．【答案】

【解析】三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此

考点：正余弦定理

3．【答案】

【解析】设,再换元得,再利用和差角公式求解即可.

详解：设,则,所以,

又

故答案为

【点睛】

本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.

4．【答案】2

【解析】，，，即，

.所以答案应填：．

考点：和差角公式．

5．【答案】

【解析】根据同角三角函数关系式及已知条件，分别求得及， 由，利用正弦差角公式展开即可求得的值，再由即可得.

详解：因为，，且，，

所以由同角三角函数关系式可得，

，

则

，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的简单应用，正弦差角公式的展开式及应用，属于基础题.

6．【答案】

【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式进行化简求值.

详解：依题意原式

.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查诱导公式．两角差的正弦公式，属于基础题.

7．【答案】

【解析】题设中的三角函数值可转化为，逆用两角和的余弦可求给定的三角函数式的值.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异．函数名的差异．结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

8．【答案】

【解析】根据，得，代入要求的式子即可得出答案.

详解：解：因为，

所以，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，考查计算能力与公式的灵活应用，属于基础题.

9．【答案】

【解析】根据，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.

详解：

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.

10．【答案】

【解析】由两角差的正切公式计算．

详解：由题意．

故答案为：．

【点睛】

本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

11．【答案】

【解析】由题易得，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】利用正弦定理的边角互化可得，进而可得，即，再根据△ABC为锐角三角形求出的范围即可求解.

详解：由

，

所以，解得，

所以，又，

解得，

综上所述，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了正弦定理的边角互化．两角和与查=差的正弦公式，需熟记公式，属于中档题.

13．【答案】

【解析】由题意结合诱导公式可得，转化条件为，再由两角和的正切公式即可得解.

详解：因为，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了诱导公式及两角和的正切公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】等式平方相加得到，解得答案.

详解：由平方相加得，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15．【答案】

【解析】设，与两式平方相加化简可得，再利用余弦函数的值域得到当且仅当，即，t取得最大值，从而得到角A，B，再根据，求得边a，b，然后利用等面积法求解.

详解：设，又

所以则，

所以，

当且仅当时，，

即当，

即时，取最大值，

又因为，

所以在△ABC中，，

设△ABC内切圆的半径为r，则，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查两角和与差的三角函数，平方关系，余弦函数的值域以及三角形的内切圆问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.