2022-2023学年浙江省嘉兴市八校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省嘉兴市八校联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】解:因为，，

所以.

故选：B

2．设命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：命题：，为全称量词命题，

则为：，.

故选：C

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性，结合充要条件的定义即得．

【详解】因为是增函数，

所以“”“”，“”“”，

可得“”是“”的充要条件．

故选：C．

4．已知，，试比较a，b，c的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将､､与0､1相比较，即可得到结论.

【详解】∵，

，

，

∴.

故选：B.

5．函数的零点一定位于区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.

【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，

，，，

根据零点存在性定理，，

所以零点一定位于区间.

故选：C

6．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，排除两个选项，再根据函数值的正负排除一个，得正确选项．

【详解】函数的定义域是，，为偶函数，排除CD选项，

，排除B，

故选：A．

7．定义，如，则函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数与的图象可得的图象，从而求出其最大值．

【详解】作出函数与的图象，根据定义可得的图象如图所示，

由，解得，

所以函数的最大值为．

故选：B．

8．令表示不超过的最大整数，例如，，，若函数，则函数在区间上所有可能的取值的和为（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】D

【分析】根据函数新定义，分情况讨论，分别求出和的值，进而计算的函数值，即得．

【详解】因为表示不超过的最大整数，

所以当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，，则，则，，此时，

函数在区间上所有可能取值的和为.

故选：D．

二、多选题

9．下列有关幂函数的结论中，正确的是（    ）

A．的图象都经过点

B．的图象可能会出现在第四象限

C．当时，在是增函数

D．当时，在是减函数

【答案】ACD

【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得.

【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确；

若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象，

从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误；

当时，在是增函数，故C正确；

当时，在是减函数，故D正确.

故选：ACD.

10．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】CD

【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；

对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；

对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；

对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.

故选：CD

11．已知集合，，若，则的取值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】BC

【分析】分、两种情况讨论即可.

【详解】因为，，且，

①当，则，，

则，所以；

②当，则，

则，所以.

故选：BC

【点睛】本题考查的是由集合相等求参数，考查了分类讨论的思想，较简单.

12．已知函数则方程的根的个数可能为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】ABC

【分析】由已知，先画出函数的图像，然后再讨论方程的根的个数，从而确定“”的解的个数，进而做出判断.

【详解】由已知，函数，如图所示：

①方程的根最多三个：，

此时的根为0个或1个或两个，

的根为两个；的根为两个，

即方程的根的个数可能为4，5，6个；

②方程的根为两个时：或，

此时的根为0个或2个；的根为两个，

即方程的根的个数可能为2，4个；

③方程的根为一个时：,

此时的根为0个,

方程的根的个数为0个,

综上，根的个数可能为0,2,4,5,6个.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图像的对称性，分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

三、填空题

13．函数的定义域为_____________.

【答案】

【分析】根据函数解析式可得，解不等式即可.

【详解】由，则，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．函数恒过定点______.

【答案】

【分析】由指数函数恒过即可求解．

【详解】函数恒过定点，即与无关，只需即可，所以  

所以恒过定点

故答案为

【点睛】本题考查指数函数恒过定点这一性质，比较基础．

15．已知正实数，满足，且，则____________.

【答案】4

【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.

【详解】由，可得，

则，即，

整理得，

解得或，

当时，，则

当时，，则，

综上，.

故答案为：4.

16．已知为实数，，.当时，则的取值集合为_________________.

【答案】

【分析】解方程确定集合，再根据真子集的定义求解参数值．

【详解】时，，，不合题意，

时，，若，则，满足题意；

时，，若，（舍去），若时，不合题意．

所以的取值集合是．

故答案为：．

四、解答题

17．设全集，集合，.

(1)求集合；

(2)求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数函数的单调性即得；

（2）化简集合，然后根据补集及交集的定义运算即得.

【详解】（1）由，可得，

所以；

（2）由题可得，，

所以

18．已知指数函数在上单调递减.

(1)记的取值范围为集合，求；

(2)若，且是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数函数的单调性求解即可；

（2）原问题可转化为真包含于，建立不等式求解即可.

【详解】（1）因为指数函数在上单调递减，

所以，解得，

故.

（2）因为是成立的充分不必要条件，

所以真包含于，

则，解得.

故实数的取值范围为.

19．已知幂函数（为常数）的图象经过点.

(1)求的解析式；

(2)设，

（ⅰ）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；

（ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)（ⅰ）单调递增，证明见解析；（ⅱ）

【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得解；

（2）（ⅰ）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；

（ⅱ）由（ⅰ）函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.

【详解】（1）解：幂函数的图象经过点，

，解得，

；

（2）解：由（1）可得，

（ⅰ）在上单调递增，

证明：设任意的且，

，

，，，

，

函数在区间上单调递增；

（ⅱ）在上恒成立，

又在区间上单调递增，所以，

所以，

的取值范围是．

20．已知是定义在上的奇函数，且时，.

(1)求；

(2)当时，求函数的解析式；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质，再令，即可得解；

（2）设求出，再根据奇函数的性质计算可得；

（3）判断函数的单调性，再根据奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，

所以，令，则，所以；

（2）解：因为是定义在上的奇函数，且时，，

设，则，则，又，

所以，即当时，；

（3）解：由（1）（2）可得，

所以函数图象如下所示：

即在，上单调递增，

则不等式等价于，

所以或或，

解得或或，

所以实数的取值范围为.

21．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足：

(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?（利润=总收入-总成本）

【答案】(1)；

(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

【分析】（1）分与两种情况，求解出利润P表示为月产量x的函数即得；

（2）分与两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.

【详解】（1）当时，，

故，

当时，，

故，

故；

（2）当时，，

故当时，取得最大值，最大值为25000；

当时，单调递减，故，

综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

22．已知函数.

(1)求函数的定义域及值域；

(2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由二次根式的被开方数非负可得出关于的等式，由此可求得函数的定义域；

（2）令，由题意可知关于的方程在上有两个不同的实数根，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，，解得，

所以函数的定义域为，

因为，所以函数的值域为；

（2），由得

令，可得，

所以原方程可化为，

即方程在上有两个不同的实数根，

记，所以，

解得，

所以当时，方程有两个不同的实根.