2022-2023学年北京市房山区高一上学期期中学业水平调研数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市房山区高一上学期期中学业水平调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由交集定义直接求解.

【详解】因为，所以.

故选：A

2．若命题，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合命题的否定的定义改写即可

【详解】“”改“”，再否定结论，故为：.

故选：B

3．已知命题三角形是等腰三角形，命题三角形是等边三角形，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的定义，即可得出结论.

【详解】等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，

“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件.

故选:B.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.

4．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】采用列举法可直接求解

【详解】对A，，但，故A错误；

对B，，但，故B错误；

对C，，故C正确；

对D,，但，故D错误.

故选：C

5．已知，则m和n的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作差比较可得.

【详解】因为，

所以.

故选：A

6．函数的值域为M，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】理解值域具体含义即可.

【详解】由可知，函数值域为3的整数倍减1的值，当时，，故C项正确，其余选项均不符合.

故选：C

7．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】，，，，

因为在上递减，

所以在上递减，

又，

所以函数的零点所在的区间为，

故选：D

8．下列函数中在其定义域单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合每一个函数特征和增函数定义判断即可.

【详解】对A，为反比例函数，在上单增，但不符合增函数定义；

对B，为减函数；

对C，对称轴为，在不单调；

对D，，可画出函数图象，如图：

由图可知，函数为增函数.

故选：D

9．如图，是边长为2的等边三角形，点E由A沿线段向B移动，过点E作的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解.

【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以当时，设直线与交点为，当点在中点左侧时，，，此时函数为下凸函数；当点在中点右侧时，，此时左侧部分面积为：，此时函数为上凸函数，C项符合.

故选：C

10．已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆．

①；

②；

③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．

则集合的真分拆的种数是（    ）

A．4 B．8 C．10 D．15

【答案】A

【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.

【详解】根据真分拆定义，当集合只有一个元素时，有四个元素，此时只能是；当集合有两个元素时，有三个元素，此时包括、、，因为与为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.

故选：A

二、填空题

11．函数的定义域是_______．

【答案】

【解析】根据解析式的形式可得函数的定义域.

【详解】由题设可得即，故函数的定义域为，

故答案为：.

12．不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】利用分式不等式的解法求得正确答案.

【详解】，，

解得或，

所以不等式的解集为.

故答案为：

13．函数在上的最大值等于_____________．

【答案】8

【分析】先求出二次函数对称轴，再结合定义域与二次函数增减性即可求出函数最值.

【详解】，函数对称轴为，开口向下，故在单减，.

故答案为：8

14．若a，b同时满足下列两个条件：

①；②．

请写出一组a，b的值____________．

【答案】或其他任意合理答案

【分析】根据不等式的性质，判断a和b的正负及绝对值的大小即可.

【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使

即与异号，显然应使，

当时，需使，则，可取；

当时，需使，则，可取.

综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.

故答案为：或其他任意合理答案.

15．已知函数，给出下列四个结论：

①的定义域为；

②对任意实数x，有；

③在上单调递减；

④存在，对任意有．

其中所有正确结论的序号是_____________．

【答案】①②④

【分析】可直接判断①正确；求出函数奇偶性可判断②正确；结合对勾函数性质可判断③错误；由函数增减性可判断④正确

【详解】由可知，①正确；

，，故函数为奇函数，②正确；

，时，当且仅当时取到，结合对勾函数性质可知函数在单减，单增，

故当时，在单增，单减，，故③错误；

当时，故，④正确.

故答案为：①②④

三、双空题

16．偶函数在上单调递减、且，则_____________；满足的x的取值范围是___________________．

【答案】     2    

【分析】结合偶函数性质直接可求；由函数增减性和偶函数对称性可直接求出x的取值范围.

【详解】函数是偶函数，故；因为在单减，故在单增，

当时，即,由单调性可得，解得

故答案为：2；

四、解答题

17．已知全集为，集合．

(1)求；

(2)求；

(3)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由交集定义可直接求解；

（2）由补集定义可直接求解；

（3）由建立不等式即可求解.

【详解】（1）因为，所以；

（2）；

（3）因为，故

18．关于x的不等式的解集为．

(1)当时，求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；

（2）等价转化为即可.

【详解】（1）当时，，解得，故；

（2）若等价于对于无解，即，，解得.

19．已知函数．

(1)求的零点；

(2)判断的奇偶性，并说明理由；

(3)证明在上是减函数．

【答案】(1)

(2)偶函数，见详解

(3)证明见详解

【分析】（1）令解方程即可；（2）结合奇偶性定义直接证明；（3）由减函数定义证明即可

【详解】（1）由可得，故函数的零点为；

（2）定义域为，，，故函数为偶函数；

（3）设，则

，

因为，所以，所以，

故在上是减函数.

20．某养殖场要建造一个长方体无盖养殖水池，其容积为．深为．已知池底每平方米的造价为15元，池壁每平方米的造价为12元、那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

【答案】长宽一样都为40米时；总造价最低为元

【分析】设池底长为，表示出总造价关于解析式，结合基本不等式即可求解.

【详解】由题可知，底面积为，设池底长为，则宽为，前后壁造价为：，左右壁造价为：，底面造价为：，

故总造价，，

当且仅当时取到等号.

故使水池长宽一样都为40米时总造价最低，为元.

21．已知函数

(1)画出的图象，直接写出方程的解集；

(2)若方程至少有两个不等的根，直接写出t的取值范围；

(3)若，且，求的最大值，

【答案】(1)图见详解；

(2)

(3)

【分析】（1）由分段函数画出图象即可；

（2）采用数形结合法，建立不等式即可求解；

（3）令，代换出，得到，再令，结合二次函数最值即可求解.

【详解】（1）如图：当时，由，得；当时，由得，故的解集为；

（2）如图所示，若方程至少有两个不等的根，则；

（3）假设，由（2）图可知，要使，且，

可令，即，

，化简得，由图可知，应取，

所以，令，则，，

此时，

当时，.