2021-2022学年广东省佛山市顺德区容山中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省佛山市顺德区容山中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若角的终边上一点的坐标为，则(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，

∴，

故选：C.

2．复数（为虚数单位）的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的定义判断.

【详解】由复数的定义可得，复数的虚部为.

故选：D

3．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出的值，然后利用两角差的正弦公式求解即可.

【详解】因为，，所以，

所以，

故选：A

4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算到的距离，结合图形即可得出结论．

【详解】，，

到的距离，

当时，三角形无解，

当时，三角形有一解，

当时，三角形有两解，

当时，三角形有一解．

故选：．

5．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（       ）

A．平行 B．相交且垂直

C．相交成60° D．异面直线

【答案】C

【分析】把展开图还原成正方体可得的位置关系．

【详解】把展开图恢复成如图所示的正方体，

其中，为等边三角形，所以．

故选：C.

6．关于有以下命题，其中正确的个数 （　　）

①若，则;②图象与图象相同;③在区间上是减函数;④图象关于点对称.

A．1 B．0 C．3 D．2

【答案】C

【分析】由结合的性质分别判断即可.

【详解】由，.

若，则.①错误.

.②正确.

当时，，在区间上单调递减. 故在区间上是减函数.③正确.

当时，，关于对称. 图象关于点对称. ④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦型函数的性质.属于基础题.熟练掌握的相关性质是解本题的基础.

7．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率π．若胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用金字塔的高表达出正方形边长，再用锥体体积公式进行求解.

【详解】设正方形边长为a，则，解得：，

则该金字塔的体积为．

故选：D

8．将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的平移关系求出的解析式，结合函数的单调性和零点关系建立不等式组进行求解即可．

【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，

则，

由，，解得，，

故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为，

函数在区间上单调递增，

，解得，得，

令，得，，解得，，

故最大的负零点为，

的最大负零点在区间上，

，解得，

综上可得，即，

故选：C．

二、多选题

9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（       ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小

【答案】ABC

【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；

【详解】解：依题意球的表面积为，

圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．

圆锥的侧面积为，所以B选项正确．

圆锥的表面积为，

圆柱的表面积为，所以D选项不正确．

故选：ABC

10．给出下列命题中，正确的是（       ）

A．存在实数，使

B．存在实数，使

C．函数是偶函数

D．若，是第一象限的角，且，则

【答案】BC

【分析】A由正弦的倍角公式直接判断；B由辅助角公式进行判断即可；C通过诱导公式及余弦函数的性质即可判断；D直接取特殊值判断即可.

【详解】对于，由，得，矛盾，错误；

对于，由，得，即成立，正确；

对于，，显然是偶函数，正确；

对于，取，，，是第一象限的角，且，但，错误．

故选：BC．

11．在中，若，则角的值可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用余弦定理边化角可整理得到，结合可得结果.

【详解】，，

又，或.

故选：BC.

12．已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，则函数的单调递减区间可以为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先求出最小正周期，得到，结合平移后为偶函数得到，再代入检验判断出单调递减区间.

【详解】由题意得：最小正周期，所以，解得：，所以，故，又为偶函数，所以，，解得：，，因为，所以，，解得：，，所以，此时，所以，当时，，此时符合要求，A正确；

当时，，满足要求，B正确；

当时，，不合题意，C错误；

当时，，符合题意，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设，则___________ .

【答案】

【分析】根据复数模的计算公式计算可得；

【详解】解：因为，所以；

故答案为：

14．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是________．

【答案】12

【分析】由直观图还原原几何图形，求出面积.

【详解】由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边，

∴．

故答案为：12．

15．棱长为的正方体的8个顶点在同一个球面上，则这个球的体积与表面积的比值为________

【答案】1

【分析】正方体的外接球的直径就是其对角线，用求球半径即可求解.

【详解】解：该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为，则，

故答案为：1

【点睛】考查正方体的外接球体积和表面积的求法，基础题.

16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.

【答案】

【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.

【详解】因为，，

所以，，

所以，

又因为，

所以，

由正弦定理得：，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，

解得.

故答案为：

四、解答题

17．函数的部分图象如图：

(1)求解析式；

(2)写出函数在上的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.

（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.

【详解】(1)由图象知，所以，又过点，

令，由于，故所以.

(2)由，

可得，

当时，

故函数在上的单调递减区间为.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求b；

(2)求sinA的值；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求得，然后利用余弦定理求得.

（2）利用余弦定理求得，然后求得.

（3）结合二倍角公式、两角差的正弦公式求得.

【详解】(1)由于，所以，所以，

由余弦定理得.

(2)由余弦定理得，

由于，所以.

(3)由（2）得,

所以，，

所以.

19．已知函数﹒

(1)求函数的最小正周期；

(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域.

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求解；

(2)利用图像变换求出g(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求g(x)值域﹒

【详解】(1)(1)

，

∴的最小正周期为；

(2)(2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，

再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，

由，得，∴，

∴在上的值域为﹒

20．已知长方体，，分别为和的中点，．

(1)求三棱锥体积；

(2)求证：平面平面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由平面，可得结合题干条件，即得解；

（2）先证明平面，平面，结合面面平行的判断定理，即得证

【详解】(1)由题意可知：平面，，为的中点，

，，

，

；

(2)∵ABCD-A1B1C1D1是长方体

∴AD//BC且AD=BC

∵点E、F分别为CC1和BB1的中点

∴EF//BC且EF=BC

∴AD//EF且AD=EF

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AF//DE

∵平面，平面

∴平面

又，分别是线段，的中点

平面，平面

平面

又

平面平面．

21．已知中，角所对的边分别为，满足 ．

(1)求的大小；

(2)如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可求得，从而得解；

（2）由（1）可推得为等边三角形，在中，由余弦定理可求得，再根据和，可推出四边形的面积，最后由角和正弦函数的性质即可得解．

【详解】(1)由正弦定理知，，

，

，

即，

，，

，．

(2)由（1）知，，

，为等边三角形，

在中，由余弦定理知，

，

而，

，

四边形的面积，

，，，

当即时，取得最大值，为，

故四边形面积的最大值为．

22．直三棱柱中，已知，，.

（1）若为的中点，求三棱锥的体积，并证明：平面；

（2）将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如下图所示两种方案沿阴影面进行切割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料.根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并求出这个较大的表面积和说明理由.

【答案】（1），证明见解析;（2）按方案2会使留下的木料表面积较大，这个较大的表面积为，理由见解析.

【分析】（1）由三棱锥的结构特征易知是直角三角形，即可求，再由结合棱锥的体积公式求三棱锥的体积，连接交直线于点，易知，根据线面平行的判定即可证结论.

（2）根据不同的方案确定体积较大的一块，再由棱锥表面积的求法求留下的木料表面积，应用作差法比较不同切法所留木料表面积的大小，即可得答案.

【详解】（1）由题设，易知是直角三角形，

∴，则，

证明：连接交直线于点，则点为的中点，又为的中点，

∴，又面，面，

∴平面.

（2）按方案1切割：由，故体积较大的一块是四棱锥，其表面积，

在中，，

∴，则为为直角的直角三角形，其面积，

∴；

按方案2切割：由，故体积较大的一块是四棱锥，其表面积，

在中，，则为等腰三角形，其面积，

∴，

综上，，故，

∴按方案2会使留下的木料表面积较大，这个较大的表面积为.