2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体（容山、罗定邦、乐从等7校）高一下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体（容山、罗定邦、乐从等7校）高一下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.

【详解】.

故选：B

2．复数的模是（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算化简，通过模长公式求解即可.

【详解】，，所以的模为.

故选：B

3．如图，已知是的中线，点在边上，且，则向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】以为基底，通过向量的线性运算，把用基底表示.

【详解】由，则

则.

故选：D.

4．已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，再结合高为2，可求出斜高，从而可求出其表面积.

【详解】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，

所以侧面的斜高为，则，

上下底底面面积分别为，

所以该四棱台的表面积为，

故选：C.

5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由三角形面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式化简可得结论.

【详解】由三角形面积公式可得，，

由，，化简得，

由正弦定理得，，

即，

得， ，

由，则，的形状为直角三角形.

故选：B

6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据体积和高求得底面正方形边长，根据正四棱柱特征求出半径，结合球的表面积公式求解即可.

【详解】正四棱柱高为8，体积为64，

所以底面积为8，则底面正方形边长为，

所以正四棱柱的对角线长、即球的直径为，

所以球的半径为，球的表面积.

故选：

7．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间的函数解析式是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】结合三角函数图像的特征和性质，将实际问题转化为对应参数求解；

【详解】根据题意设，，

因为某摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，

所以，该摩天轮最低点距离地面高度为9，

所以，解得：.

因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要21

所以，解得，

因为时，，

故，即，

解得：.

所以.

故选：B

8．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．-1

【答案】C

【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.

【详解】

如图所示，因为，且，所以垂直且平分，

则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,

则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，

只需考虑点E在边上的运动情况即可，

因为，，知，即，

则，

①当点E在边上运动时，设，则，

则,

当时，最小值为；

②当点E在边上运动时，

设,则,

则

，

当时，的最小值为；

综上，的最小值为；

故选：C．

【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.

二、多选题

9．若复数满足（其中复数是虚数单位），的共轭复数为，则（    ）

A．复数的虚部为-4

B．复数在复平面内对应的点在第一象限

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据复数的四则运算结合复数的相关概念逐项分析判断.

【详解】因为，

所以，可得复数的共轭复数为，

对于选项A：复数的虚部为4，故A错误：

对于选项B：复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故B正确；

对于选项C：，故C正确；

对于选项D：，故D正确；

故选：BCD.

10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先由三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，然后由函数图象关于原点对称，可得，再结合的范围可得答案.

【详解】向左平移个单位长度得：，该图象关于原点对称，

，解得，

又当时，，当时，.

故选：AC.

11．中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装，现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则下列结论正确的是（    ）

A．该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有8个

B．该鲁班锁的各个面中为正八边形的面有8个

C．若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为

D．若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁体积为

【答案】AC

【分析】由直观图可判断A，B；用割补法计算每个正八边形的面积，可判断C；正方体的体积减去八个三棱锥的体积，可判断D．

【详解】从图（1）的鲁班锁和图（2）的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有8个，表面为正八边形的面有6个，故A正确，B错误，

如图为正八边形的平面图，易得，

分别过点作，垂足分别为，

，

，

则，

则每个正八边形的面积为，

所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为，故C正确

鲁班锁的体积，可以看成正方体的体积减去八个三棱锥的体积得到，

正方体体积为，小三棱锥的体积为：，

鲁班锁的体积为：，故D错误.

故选：AC

12．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则（    ）

A．与能构成一组基底

B．

C．在向量上的投影向量为

D．若在线段（包括端点）上，且，则取值范围

【答案】BCD

【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线，从而判断A选项的正误；

可求出向量的坐标，根据坐标即可判断B选项的正误；

根据投影向量的计算公式即可判断C选项的正误；

根据在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断选项D．

【详解】连接AF，因为°，，

因为，现，

故.

以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

则，

，且，

故，

故，

所以与平行，不能构成一组基底，错误；

，

，故，B正确；

又，所以，

即在向量上的投影向量为，C正确；

若在线段（包括端点）上，设，

所以，

，

由，可得，则，

所以，D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：本题考查了通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，基底的定义，投影向量的定义及计算公式，共线向量基本定理．

三、填空题

13．已知，则           .

【答案】2

【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式直接计算作答.

【详解】因，所以.

故答案为：2

14．已知向量满足，且，则          .

【答案】

【分析】由平方可得，再根据计算即可.

【详解】因为.所以，

所以，所以，

所以，

又，所以.

故答案为：.

15．已知分别为三个内你的对边，若，且，则          .

【答案】

【分析】先利用余弦定理求出角，再利用正弦定理即可得解.

【详解】，

由余弦定理得，，

，故，

，

由正弦定理得，，

所以.

故答案为：.

16．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则        ．

【答案】

【分析】根据给定条件作出图形，利用正弦定理结合同角公式、差角的正弦公式求解作答.

【详解】依题意，作出图形，如图，

，则，

在中，由正弦定理得：，即，

于是得，

所以.

故答案为：

【点睛】思路点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型，再求解作答．

四、解答题

17．已知函数.

(1)求；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用诱导公式化简计算即可；

（2）根据二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解.

【详解】（1）原式

，

；

（2）因为，即，

所以.

18．已知向量满足且的夹角为60°.

(1)若，求实数的值；

(2)求与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可结合数量积的运算律与定义即可求解，

（2）根据夹角公式即可求解.

【详解】（1）

.

解得.

（2）.

.

故与的夹角余弦值为

19．如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；

(2)试求圆柱侧面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用相似比可求出圆柱的高，则剩余部分体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积即可，

（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，设，利用相似比可表示出圆柱的底面半径，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值，方法二：设圆柱底面半径为，然后利用相似表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值.

【详解】（1）因为圆锥的底面半径，高.

所以圆锥的母线长、

圆锥体积.

设圆柱的高，则，所以，

圆柱体积，

剩余部分体积为，

（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中，设，

设圆柱底面半径为，则，即

设圆柱的侧面积为

当时，有最大值为，

方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中，

设圆柱底面半径为，则，即

设圆柱的侧面积为

当时，有最大值为.

20．已知分别为三个内角的对边，且.

(1)求；

(2)若为的中点，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理并化简得到，再由辅助角公式求出答案；

（2）由余弦定理求出，从而得到周长.

【详解】（1）由正弦定理得，，

化简得，又，所以，

所以，即，又，所以.

所以，故；

（2）由（1）知，，

由余弦定理得①，

又，在中，由余弦定理得②，

在中，由余弦定理得③，

②+③得④，由①④得，所以，

所以，故的周长为.

21．已知函数在区间上的最大值为2.

(1)求的值和求取得最大值时的取值集合；

(2)若对任意的恒成立，求实数约取值范围.

【答案】(1)；取得最大值时，的取值集合为

(2)

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，得，然后由，求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其最大值，则可求出的值，由可求得取得最大值时的取值集合；

（2）方法一：记，则问题转化为，在上恒成立，令，然后利用二次函数的性质列不等式组可求得结果，方法二：记，则问题转化为，在上恒成立，令，则由对勾函数的性质可求得结果.

【详解】（1）解：

，

，

∴，

∴函数的最大值为，

，

，

令，解得，

即时，函数取得最大值

（2）解法一：记，则

由恒成立，可知，在上恒成立

令的图象开口向上，对称轴为，

要使在上恒成立，

只需，

解得，

所以实数的取值范围是.

解法二：记，则

由恒成立，可知，在上恒成立

即恒成立，

因为，所以，

令，因为在上单调递减，在上单调递增

又.

当时，不等式恒成立.

所以实数的取值范围是

22．已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

(1)求点到点的距离；

(2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

【答案】(1)

(2)当时，三角形面积最小，最小值为

【分析】（1）连接，在中利用余弦定理计算可得；

（2）由可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最小值.

【详解】（1）连接，在中，

因为，

所以，又、，

由余弦定理得，

所以，即点到点的距离为.

（2）由，

，

，

化简得或（舍去），当且仅当，

即、时取等号，

，

故当时，三角形面积最小，最小值为.