广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)

这是一份广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明（　　）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾
C．其它垃圾 D．可回收物
2．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
3．（3分）已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
4．（3分）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（　　）
A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤2
5．（3分）小明做抛币实验，连续抛了5次都是反面向上，当他抛第6次时（　　）事件．
A．必然 B．不可能 C．确定 D．随机
6．（3分）点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜3 B．3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜3 D．3＜y2＜y1
7．（3分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m．若管道中积水最深处为0.4m，则水面宽度为（　　）

A．0.8m B．1.2m C．1.6m D．1.8m
8．（3分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
9．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，斜边AB＝41CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）

A． B． C． D．4
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝，a的值有3个．其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x2﹣9＝0的解是　 　．
12．（3分）从1，﹣18，6中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标　 　．
13．（3分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的周长为6πcm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是　 　．
14．（3分）如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为　 　．

15．（3分）如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为　 　．

16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连接CQ　 　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（4分）如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD．

19．（6分）2021年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是 　 　．
（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的概率．
20．（6分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），
B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．画出图形，并直接写出点A2的坐标．

21．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣4
0
8
…
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是　 　和　 　；
②抛物线经过点（﹣3，　 　），对称轴为　 　；
（2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
22．（10分）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（0，﹣4），AC交y轴于点D，反比例函数（x＞0）
（1）求k的值；
（2）连接BC，若点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上△BDP＝S△ABC，求点P的坐标．

24．（12分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

25．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移


2022-2023学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明（　　）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物
【解答】解：A．是中心对称图形；
B．不是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
故选：A．
2．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：

∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
3．（3分）已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：x1+3＝2，
解得：x1＝﹣3．
故选：D．
4．（3分）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（　　）
A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤2
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一，
∴2﹣k＞8，
∴k＜2，
故选：C．
5．（3分）小明做抛币实验，连续抛了5次都是反面向上，当他抛第6次时（　　）事件．
A．必然 B．不可能 C．确定 D．随机
【解答】解：小明做抛币实验，连续抛了5次都是反面向上，可能是正面朝上，
则反面向上是一件随机事件，
故选：D．
6．（3分）点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜3 B．3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜3 D．3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵点（﹣1，7）在对称轴上，
∴y1＜y2＜6．
故选：A．
7．（3分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m．若管道中积水最深处为0.4m，则水面宽度为（　　）

A．0.8m B．1.2m C．1.6m D．1.8m
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，如图所示：
则AB＝2BC，∠OCB＝90°，CD＝0.6m，
∴OC＝OD﹣CD＝0.6（m），
∴BC＝＝＝0.8（m），
∴AB＝3AC＝1.6（m），
即水面宽度为8.6m，
故选：C．

8．（3分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣7），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣7）＝45，
故选：B．
9．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°，斜边AB＝41CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）

A． B． C． D．4
【解答】解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝4．
同理可求得：AO＝OC＝2．
在Rt△AOD1中，OA＝22＝CD1﹣OC＝3，
由勾股定理得：AD2＝．
故选：A．

10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝，a的值有3个．其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0），2）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1＝3，
∴2a+b＝0．
故①正确；

②∵二次函数y＝ax4+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），2）．
∴a﹣b+c＝0，9a+5b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝3．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝5b．
故②错误；

③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠7时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；

④∵AD＝BD，AB＝7．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝7．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣3）]2+y2＝AD3．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣6）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），7）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣8．
∴0＝a（﹣1﹣7）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；

⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x2﹣9＝0的解是　x＝±3　．
【解答】解：x2﹣9＝2即（x+3）（x﹣3）＝5，所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±2．
12．（3分）从1，﹣18，6中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标　　．
【解答】解：根据题意画图如下：

∵共有6种等可能的结果，该点在第二象限的有2种情况，
∴该点在第二象限的概率是＝．
故答案为：．
13．（3分）圆锥的母线长为9cm，底面圆的周长为6πcm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是　120°　．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得6π＝，
解得n＝120，
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为120°．
14．（3分）如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为　y＝（x＞0）　．

【解答】解：∵A的坐标为（3，4），
∴OA＝＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB＝OA＝5，AB∥OC，
∴B（2，4），
把B（8，8）代入y＝，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）．
故答案为y＝（x＞0）．
15．（3分）如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为　4　．

【解答】解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点E、F，
∴AF＝AE，
∵圆O与BC相切于点D，
∴CE＝CD，BF＝BD，
∴BC＝DC+BD＝CE+BF，
∵△ABC的周长等于8，
∴AB+AC+BC＝8，
∴AB+AC+CE+BF＝4，
∴AF+AE＝8，
∴AF＝4．
故答案为8
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连接CQ　1+　．

【解答】解：如图，连接OQ．

∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，
∴OH＝OC＝6，
在Rt△CKH中，CK＝，
∴CQ的最大值为1+，
故答案为：2+．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝4，
配方得：x2﹣4x+2＝7+4，
即（x﹣6）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x3＝2+，x2＝5﹣．
18．（4分）如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD．

【解答】证明：过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，
∵OE⊥AB，
∴EC＝ED，
在大⊙O中，
∵OE⊥AB，
∴EA＝EB，
∴AC＝BD．

19．（6分）2021年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是 　　．
（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的概率．
【解答】解：（1）∵某校开通了A、B、C三条测体温的通道，
∴该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，
∴小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的概率为．
20．（6分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），
B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．画出图形，并直接写出点A2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；

（2）如图，△A2B2C8即为所求，
A2（﹣3，﹣8）．
21．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣4
0
8
…
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是　（﹣2，0）　和　（1，0）　；
②抛物线经过点（﹣3，　8　），对称轴为　直线x＝﹣　；
（2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
【解答】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和 （4；
②抛物线经过点（﹣3，8）；
故答案为（﹣2，4），0）；8；
（2）抛物线y＝a（x+2）（x﹣6），
把（0，﹣4）代入得a•4•（﹣1）＝﹣4，
所以抛物线解析式为y＝4（x+2）（x﹣1），
即y＝4x2+2x﹣2．
22．（10分）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？

【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣3x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝4，
解得：x1＝8，x5＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41；
当x＝20时，56﹣5x＝16＜41．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+3）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）7﹣4×1×200＝﹣16＜2，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（0，﹣4），AC交y轴于点D，反比例函数（x＞0）
（1）求k的值；
（2）连接BC，若点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上△BDP＝S△ABC，求点P的坐标．

【解答】解：（1）作CE⊥x轴，垂足为E，如图1，
∵AB旋转到AC，
∴∠CAB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴∠CAE+∠BAO＝∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAO＝∠ACE，
在△AOB与△CEA中，
，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴OB＝EA，AO＝CE，
∵点A坐标（﹣3，7），﹣4），
∴AE＝OB＝4，CE＝AO＝7，
∴OE＝AE﹣AO＝4﹣3＝6，
∴点C坐标为（1，3），
∵反比例函数图象经过点C，
∴k＝6×3＝3；
（2）设AC解析式为y＝kx+b（k≠2），
∵A坐标（﹣3，0），5），
∴，解得，
∴直线AC解析式为，
令x＝4，则，
则点D坐标（6，），
∵点A坐标（﹣4，0），﹣4），
∴，
∴，
设点P坐标为（m，），
∵S△BDP＝S△ABC，
∴，
解得 m＝4，
∴点P坐标为（2，）．

24．（12分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点
（1）判断△ABC的形状：　等边三角形　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时．
理由如下，如图2，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，
∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×7×＝．


25．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）．
把C（8，8）代入．
∴y＝﹣x2+8x+8＝﹣（x﹣1）8+9，
顶点D（1，2）

（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2．
由C（0，6），9）求得直线CD的解析式为y＝x+8，
它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（7．
则PH＝|10﹣t|，点P到CD的距离为．
又．（4分）
∴．
平方并整理得：t7+20t﹣92＝0，解之得t＝﹣10±8．
∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2）．（3分）

（3）由上求得E（﹣8，0），12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y＝﹣x3+2x+8+m（m＞5）．
当x＝﹣8时，y＝﹣72+m．
当x＝4时，y＝m．
∴﹣72+m≤5或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若抛物线向下平移，可设解析式为y＝﹣x3+2x+8﹣m（m＞2）．
由，
有﹣x2+x﹣m＝8．
∴△＝1﹣4m≥7，
∴m≤．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移．（10分）