2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共40页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1. 下列图案是轴对称图形的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，2cm，3cm
C. 5cm，5cm，11cm D. 4cm，8cm，3cm
4. 某种生物孢子的直径为0.000 63m，用科学记数法表示为（　　）
A. 0.63×10﹣3m B. 6.3×10﹣4m C. 6.3×10﹣3m D. 6.3×10﹣5m
5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1)=x2-1 B. m2+m-4=(m+3)(m-2)+2 C. x2+2x=x(x+2) D. x2-5x+6=x(x-5) +6
6. 已知等腰三角形一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(　　)
A. 50° B. 80° C. 50°或80° D. 40°或65°
7 下列多项式中，完全平方式有（ 　 ）个
a2-4a+4，1+4a2，4b2+4b-1，a2+ab+b2
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 某农场开挖一条480m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖xm，那么所列方程正确的是（ ）
A. = 4 B. = 20
C. = 4 D. = 20
二、填 空 题（每小题3分，满分24分）
9. 若分式有意义，则的取值范围是_________.
10. 点P(－3，－4)关于x轴对称的点的坐标是______________．
11. 分式的最简公分母是_____________．
12. 某个正多边形有一个外角36°，则这个正多边形是 ___边形．
13. 计算：________．
14. 计算（π﹣3.14）0+=__________．
15. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．
16. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为___cm．

三、解 答 题（共72分）
17. 分解因式
（1）a3﹣2a2+a； (2)x4-16
18. 已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
19. 计算：
（1）（﹣a2）3•4a （2）2x（x+1）+（x+1）2．
20. 解方程：．
21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，.求证.

22. 先化简，再求值：，其中x=2．
23. （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′ B′ C′ （其中A′ ，B′ ，C′分别是A，B，C的对应点，没有写画法）；
（2）计算△ABC的面积．

24. 某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知，若由甲队先做天可完成总工程的，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成．
（1）求乙队单独完成这项工程需多少天?
（2）已知甲队每天的施工费用为0.8万元，乙队每天的施工费用为0.4万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两个工程队合作完成这项工程，则工程预算的费用是否够用？若没有够用，需追加预算费用多少万元?请给出你的判断并说明理由．



2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1. 下列图案是轴对称图形的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】解：个是轴对称图形；
第二个没有是轴对称图形；
第三个是轴对称图形；
第四个没有是轴对称图形．
故选B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】选项A. ,A错.
选项B. ,B错.
选项 C. ,C错.
选项D. ,正确.
故选D.
点睛：易错辨析
a+a=2a;
a-a=0,
a,
a
.
.
3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，2cm，3cm
C. 5cm，5cm，11cm D. 4cm，8cm，3cm
【正确答案】B

【详解】试题分析：A．1+2=3，没有能组成三角形；
B．3+2＞4，能组成三角形；
C．5+5＜11，没有能组成三角形；
D．4+3＜8，没有能组成三角形．
故选B．
考点：三角形三边关系．
4. 某种生物孢子的直径为0.000 63m，用科学记数法表示为（　　）
A. 0.63×10﹣3m B. 6.3×10﹣4m C. 6.3×10﹣3m D. 6.3×10﹣5m
【正确答案】B

详解】0.000 63 m =6.3×10﹣4m,故选B.
5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1)=x2-1 B. m2+m-4=(m+3)(m-2)+2 C. x2+2x=x(x+2) D. x2-5x+6=x(x-5) +6
【正确答案】C

【详解】根据因式分解的定义知选C.
6. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(　　)
A. 50° B. 80° C. 50°或80° D. 40°或65°
【正确答案】C

【分析】根据题意可分当50°是底角和50°作为顶角进行分类求解即可．
【详解】解：若50°是底角，则顶角的度数是180°-50°×2=80°，当50°作为顶角，
∴这个等腰三角形的顶角的度数是50°或80°，
故选C．
本题主要考查等腰三角形定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
7. 下列多项式中，完全平方式有（ 　 ）个
a2-4a+4，1+4a2，4b2+4b-1，a2+ab+b2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】A

【详解】a2-4a+4=(a-2)2，所以选A.
8. 某农场开挖一条480m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖xm，那么所列方程正确的是（ ）
A. = 4 B. = 20
C. = 4 D. = 20
【正确答案】C

【分析】设原计划每天挖xm，根据结果提前4天完成任务列方程即可．
【详解】解：设原计划每天挖xm，由题意得
= 4．
故选C．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
二、填 空 题（每小题3分，满分24分）
9. 若分式有意义，则的取值范围是_________.
【正确答案】x≠1

【详解】∵分式有意义，
∴，解得.
故答案为.
10. 点P(－3，－4)关于x轴对称的点的坐标是______________．
【正确答案】(-3，4)

【详解】试题分析：点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为：（﹣3，4）．故答案为（﹣3，4）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
11. 分式的最简公分母是_____________．
【正确答案】

【详解】试题分析：找分母各项的系数的最小公倍数，和相同字母的次数的项，故最简公分母为．
考点：最简公分母
12. 某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是 ___边形．
【正确答案】10

【分析】根据正多边形的外角和为360°，且正多边形的每一个外角都相等，用360°除以36°即可求得．
【详解】某个正多边形有一个外角是36°，

则这个正多边形是正10边形
故10
本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角和是360°是解题的关键．
13. 计算：________．
【正确答案】

【分析】利用平方差公式直接计算即可．
【详解】解：(2a-3b)(2a+3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2.
故答案为4a2-9b2.
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
14. 计算（π﹣3.14）0+=__________．
【正确答案】10

【详解】（π﹣3.14）0+=1+9=10.
故答案为10.
15. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．
【正确答案】5或4

【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．
故4或5．
此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用．
16. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为___cm．

【正确答案】18

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论．
【详解】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴CE+BE=AB=10cm．
∵BC=8cm，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm．
故18．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
三、解 答 题（共72分）
17. 分解因式
（1）a3﹣2a2+a； (2)x4-16
【正确答案】(1) =a（a﹣1）2；（2）

【详解】试题分析：(1)先提取公因式，再利用公式法因式分解.(2)利用两次平方差公式因式分解.
试题解析：
解：（1）a3﹣2a2+a =a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2
(2) ==
点睛：(1)完全平方公式.
(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=.
(3)常用等价变形：
,

.
18. 已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，作出ED的垂直平分线FG，则OC与FG的交点H即为工厂的位置．
【详解】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；
②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；
③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；
④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．
故点H即为工厂位置．

本题考查了线段垂直平分线的性质；角平分线的性质，利用其作图准确找出交点是解题的关键．

19. 计算：
（1）（﹣a2）3•4a （2）2x（x+1）+（x+1）2．
【正确答案】(1)-4a7; (2) 3x2+4x+1．

【详解】试题分析:（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式进行计算即可．
解：（1）原式=﹣a6•4a
=﹣4a7；
（2）原式=2x2+2x+x2+2x+1
=3x2+4x+1．
20. 解方程：．
【正确答案】x=200

【详解】试题分析：去分母，解分式方程.
试题解析：
解: ,
4800（x+50）=6000x,
x=200,
检验：将x=200代入x(x+50)≠0,
∴x=200是有方程的解.
21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，.求证.

【正确答案】见解析；

【分析】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵，
∴.
∵
∴
∴
在和中，

∴，
∴.
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质的应用，根据已知条件和平行线的性质得出三角形全等的条件是解决此题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中x=2．
【正确答案】；1

【分析】先因式分解，再约分，化简，代入求值．
【详解】解：原式=
＝
＝
当x=2时，原式＝
本题考查分式计算题，一般需要熟练掌握因式分解，通分，约分的技巧．
(1)因式分解一般方法：提取公因式:；公式法：, （平方差公式）；, （完全平方公式）；十字相乘法：(x+a)(a+b)= ．
(2)分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去．
注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式．
（3）通分：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子．
注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的次幂及单独字母的幂的乘积．
（4）易错示例：1+;．
23. （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′ B′ C′ （其中A′ ，B′ ，C′分别是A，B，C的对应点，没有写画法）；
（2）计算△ABC的面积．

【正确答案】①略；②5.5

【详解】试题分析：（1）分别求出A，B，C点关于y轴的对称点，A′ B′ C′.(2)先求矩形面积，再减去三个三角形面积.
试题解析：
①
②.
24. 某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知，若由甲队先做天可完成总工程的，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成．
（1）求乙队单独完成这项工程需多少天?
（2）已知甲队每天的施工费用为0.8万元，乙队每天的施工费用为0.4万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两个工程队合作完成这项工程，则工程预算的费用是否够用？若没有够用，需追加预算费用多少万元?请给出你的判断并说明理由．
【正确答案】（1）乙队单独完成这项工程需要180天；(2)工程预算的费用没有够用，需追加4万元

【详解】试题分析：(1)把总工作量看作1，可得到每个人的工作效率，工作量作为等量关系列方程.(2)两人共同工作，计算出费用与50比较.
试题解析：
解:（1）∵甲队做20天可完成总工程的,
∴甲队单独完成这项工程需60天
设乙队单独完成这项工程需要天，由题意得方程,
,
解之得x=180．
经检验：x=180．是所列方程的根且符合题意的，
∴乙队单独完成这项工程需要180天.
(2) 设甲﹑乙队单两队合作完成这项工程需要y天，由题意得方程,
y()=1,
解之得y=45,
需要的施工费用为（0.8+0.4）×45=54（万元）,
∵54＞50.
∴工程预算的费用没有够用，需追加4万元.














2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、仔细选一选
1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　)
A. B. C. D.
2. 长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 下面说法中正确的是（ ）
A. “同位角相等”的题设是“两个角相等” B. “相等的角是对顶角”是假命题
C. 如果，那么是真命题； D. “任何偶数都是4的倍数”是真命题
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件没有能为（ ）

A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD
5. 如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A. AE＝EC B. AE＝BE C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的没有同的等腰三角形的个数至多为（　　）


A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 如图，是平分线，是的平分线，与交于点．若，，则的度数为（　　）

A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）

A. 2 B. C. D.
10. 如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　）

A. B. C. D.
二、认真填一填
11. 命题“等腰三角形的两腰上的高线相等” 的逆命题是：_______________________．
12. 如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是__________．

13. 在直角三角形中，有两条边长分别是8和6．则斜边上的中线长是_____．
14. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，且，则__________．

15. 如图，在中，，，为中线，，垂足为，则__________，__________．

16. 有一组平行线，过点作于，作，且，过点作交直线于点，在直线上取点使，则为__________三角形，若直线与间的距离为，与间的距离为，则__________．

三、全面答一答解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17. 已知，如图，四边形 ABCD，∠A=∠B=Rt∠．

（1）尺规作图，在线段 AB上找一点 E，使得 EC=ED，连接 EC， ED（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）在图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，BC=，求 AD的长.
18. 如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
(1)求出AB边的长；
(2)你能求出∠C度数吗？请试一试．

19. 如图，在中，是它角平分线，是上的一点，，分别平分，，，垂足为点．
求证：（）．（）．

20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

21. 已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE ，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°， 那么α=_______，β=_______．
②求α、β之间关系式．
（2）是否存在没有同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若没有存在，请说明理由．

22. 如图 ，在正的内部，作，，，两两相交于，，三点 （，，三点没有重合）．
（），，是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（）是否为正三角形？请说明理由．
（）进一步探究发现，的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系．

23. 如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕，（如图①），点为其交点．
（）探求到的数量关系，并说明理由．
（）如图②，若，分别为，上动点．
①当的长度取得最小值时，求的长度．
②如图③，若点在线段上，，则的最小值__________．





























2022-2023学年重庆市綦江区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、仔细选一选
1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　)
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】分别根据轴对称图形与对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故本选项错误；
B、是对称图形，故本选项错误；
C、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
2. 长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入没有等式符合的即为答案．
4，5，9都没有符合没有等式5＜x＜9，只有6符合没有等式，
故选C．
本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.
3. 下面说法中正确的是（ ）
A. “同位角相等”的题设是“两个角相等” B. “相等的角是对顶角”是假命题
C. 如果，那么是真命题； D. “任何偶数都是4的倍数”是真命题
【正确答案】B

【详解】同位角相等”的题设是“两个角是同位角”故没有正确；
“相等的角是对顶角”没有一定是正确的所以是假命题；故B选项正确．
如果，则a、b中必有一个为0故C选项没有正确．
任何偶数都是2的倍数；但没有一定是4的倍数如2，故D没有正确．综上所述故选择B正确．
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件没有能为（ ）

A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD
【正确答案】C

【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
详解】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，没有符合题意；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误，没有符合题意；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确，符合题意；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，没有符合题意．
故选C．
5. 如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A. AE＝EC B. AE＝BE C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
【正确答案】C

【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=∠EBC．
C选项符合题意，其他选项均没有符合题意，
故选C．
本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度没有大．
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C

【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，
∴2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的没有同的等腰三角形的个数至多为（　　）


A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】D

【详解】试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．


故选D.
考点：画等腰三角形.
8. 如图，是的平分线，是的平分线，与交于点．若，，则的度数为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：如图，连接．
∵，∴．
∵，∴．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，∴，∴．故选．

9. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）

A. 2 B. C. D.
【正确答案】D

【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，
∵•BC•AH=•AB•AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC=.
故选D．
点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
10. 如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确；

②如图，取的中点为，连接、．
∵，∴．
当点时，且、两点距离的值为，∴②正确；
③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，没有垂直，∴③没有正确；
④如图，此时四边形的面积，，∴④没有正确．
综上所述：正确的有①②，个结论．故选．

点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中．
二、认真填一填
11. 命题“等腰三角形的两腰上的高线相等” 的逆命题是：_______________________．
【正确答案】两腰上高线相等的三角形是等腰三角形

【详解】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是：两腰上高线相等的三角形是等腰三角形．
故两腰上高线相等的三角形是等腰三角形．
12. 如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是__________．

【正确答案】

【详解】解：∵，，，∴．
∵是的中垂线，∴，∴的周长．故．
13. 在直角三角形中，有两条边长分别是8和6．则斜边上的中线长是_____．
【正确答案】或

【详解】解：若直角三角形的两条直角边长分别为和，则斜边长，∴斜边中线长．
若直角三角形斜边长为，则斜边中线长．
综上所述，答案为或．
故4或5．
14. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，且，则__________．

【正确答案】

【详解】解：如图过作于．
∵，，∴，∴．
又∵，，∴，∴．
故．

15. 如图，在中，，，为中线，，垂足为，则__________，__________．

【正确答案】 ①. ②.

【详解】解：∵为边的中线，，∴，．
∵，∴．
在中，．
∵，∴．
故；．
16. 有一组平行线，过点作于，作，且，过点作交直线于点，在直线上取点使，则为__________三角形，若直线与间的距离为，与间的距离为，则__________．

【正确答案】 ①. 等边 ②.

【详解】解：∵，，∴．
在和中，
∵，
∴≌，∴，，∴，∴为等边三角形．
如图，过点作于，交于点，∴．
又∵，∴，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴，∴．
在中，由勾股定理得：，，∴．
在中，由勾股定理得：
，∴．
故答案为等边，．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
三、全面答一答解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17. 已知，如图，四边形 ABCD，∠A=∠B=Rt∠．

（1）尺规作图，在线段 AB上找一点 E，使得 EC=ED，连接 EC， ED（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）在图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，BC=，求 AD的长.
【正确答案】（1）见解析；（2）2.

【分析】（1）在线段AB上的一点E到C,D的距离相等，即EC=ED，由垂直平分线的性质可知，点E在线段CD的垂直平分线上.
（2）由勾股定理可求得BE的长；由三角形全等可得AD=BE.
【详解】（1）解：作CD的中垂线交AB于点E.

（2）解：由(1)知EC=ED，
又∵∠A=∠B=90°，∠ADE=∠BEC
∴△ADE≌△BEC (AAS)，
∴AD=BE，
在Rt△BEC中，
∴AD=BE=2
本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段的垂直平分线的作法是解（1）的关键，证明△ADE≌△BEC是解（2）的关键.
18. 如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
(1)求出AB边的长；
(2)你能求出∠C的度数吗？请试一试．

【正确答案】(1)AB＝10；(2)∠C＝90°．

【分析】(1)由S△ABE＝60，求得AB＝10；
(2)根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，从而得到∠C的度数．
【详解】(1)∵DE＝12，S△ABE＝ DE•AB＝60，
∴AB＝10；
(2)∵AC＝8，BC＝6，62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
由勾股定理逆定理得∠C＝90°．
本题考查了利用三角形的面积公式和勾股定理的逆定理求解，解题关键在于掌握运算法则
19. 如图，在中，是它的角平分线，是上的一点，，分别平分，，，垂足为点．
求证：（）．（）．

【正确答案】见解析．

【详解】试题分析：（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC=90°+∠BAC．
（2）由AD是角平分线，得到∠BAD=∠CAD，然后根据图形可知：∠1=∠BAD+∠ABG，∠2=90°﹣∠GCH，根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．
试题解析：解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC．∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC，∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=90°+∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠1=∠BAD+∠ABG．∵GH⊥BC，∴∠GHC=90°，∴∠2=90°﹣∠GCH=90°﹣∠ACB=90°﹣（180°﹣∠DAC﹣∠ADC）
=∠DAC+∠ADC．
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∴∠ADC=∠ABC+∠∠BAD=∠ABG+∠BAD，∴∠2=∠DAC+∠ADC=∠BAD+∠BAD+∠ABG=∠BAD+∠ABG，∴∠1=∠2．
点睛：本题考查三角形内角和综合问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．本题属于中等题型．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

【正确答案】（1）30°；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据∠ACB和∠B的度数得出∠CAB的度数，根据角平分线的性质得出∠CAD的度数；
（2）根据∠ACD+∠ECD=180°，∠ACD=90°得出∠ACD=∠ECD=90°，证明△ACD和△ECD全等，从而得出结论．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；
（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA=DE．

21. 已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE ，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°， 那么α=_______，β=_______．
②求α、β之间的关系式．
（2）是否存在没有同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）①20°，10°；②α=2β；（2）见解析．

详解】（1）①∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，又∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，∴α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；
②设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β，∴α=2β．
（2）如图1，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β-y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β-180°．


当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2,同①的方法可得α=180°−2β.

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
22. 如图 ，在正的内部，作，，，两两相交于，，三点 （，，三点没有重合）．
（），，是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（）否为正三角形？请说明理由．
（）进一步探究发现，的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系．

【正确答案】（1）全等；（2）是正三角形；（3）．

【详解】试题分析：（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
试题解析：解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF．理由如下：
∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC．∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE．在△ABD和△BCE中，∵∠1=∠2，AB=BC，∠ABD=∠BCE，∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形．理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示，∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°．在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，，∴ ．

点睛：本题是三角形综合题，考查了正三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23. 如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕，（如图①），点为其交点．
（）探求到的数量关系，并说明理由．
（）如图②，若，分别为，上的动点．
①当的长度取得最小值时，求的长度．
②如图③，若点在线段上，，则的最小值__________．


【正确答案】（）；（）①；②最小值为．

【详解】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN的长，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△B′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：解：（1）AO=2OD．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB．∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′．∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△B′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′=90°．在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=，故答案为．

点睛：本题考查了等边三角形性质和判定，解直角三角形，轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段是解题的关键．