高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.2 函数的极值一课一练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.2 函数的极值一课一练，共24页。试卷主要包含了函数的最大值为________等内容，欢迎下载使用。
【优质】6.2 函数的极值-1课堂练习一．填空题1．设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是______．2．函数的最大值为________．3．已知函数f(x)＝x2－alnx＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是______．4．己知函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是_________.5．已知定义在上的可导函数的导函数为,满足且,则不等式（为自然对数的底数）的解集是________.6．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______；若，则函数的所有极值点之和为_______.7．在线段的两端点各置一个光源，已知光源，的发光强度之比为，则线段上光照度最小的一点到，的距离之比为______（光学定律：点的光照度与到光源的距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）8．已知函数，，若函数有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为__________．9．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____．10．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．11．设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围 _____12．已知函数在上存在唯一零点，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上）①；②；③；④.13．已知函数在上是增函数，函数，若（为自然对数的底数）时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.14．已知，若函数的最大值为，则的最小值为__________.15．已知函数的极小值大于0，则实数的取值范围为_________.16．定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围是__________.17．已知函数，若使得成立则的最小值是__________.18．已知不等式恒成立，则的取值范围是______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】先利用换元法求出，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．【详解】解：由题意可设，则，∵，∴，∴，∴，∴，由得，∴对恒成立，令，，则，由得，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．2．【答案】【解析】对求导，利用导数，判断出的单调性，从而求出的最大值【详解】因为求导得，因为，所以当时，，当时，，即当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得极大值即最大值，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.3．【答案】(－∞，1]【解析】分离参数m，根据函数单调性求出函数的最小值，根据函数最小值判断.【详解】对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即恒成立，即，又当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，所以.因为所以问题等价转化为在上恒成立，即在上恒成立.设（），①当时，因为，所以，因此在上是单调递增函数，所以，即在上恒成立；②当时，在上，有；在上，有，所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数.当，有，即在上不恒成立.综合①②得：实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用参变分离法解决含参的不等式恒成立问题，考查了学生综合分析．转化与划归．分类讨论，数学运算能力，属于难题.4．【答案】【解析】根据条件利用解方程组法求出f（x）的解析式，然后由f（x）≥lnx恒成立，可得m恒成立，构造函数，求出g（x）的最小值，可进一步求出m的范围．【详解】∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2.∵f（x）≥lnx恒成立，∴m恒成立，∴只需m．令，则g'（x），令g'（x）＝0，则x，∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴，∴m≤﹣e，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．故答案为：（﹣∞，﹣e]．【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．5．【答案】【解析】根据已知的不等式和所求的不等式,构造新函数,利用新构造的函数的单调性可以求解出不等式的解集.【详解】设,因为,所以,因此是单调递增函数,因为,所以..故答案为：【点睛】本题考查了构造函数,利用函数的单调性解不等式问题,根据题中所给的形式．所求不等式的形式进行构造是解题的关键.6．【答案】      【解析】求出导函数，仅在处有极值，则恒成立，由此可得的范围；时可求得的所有极值点，然后求和。【详解】，如果仅在处有极值，那么的,∴.当时，，三个极值点为,，所以极值点的和为。故答案为：；.【点睛】本题考查函数的导数与极值问题，要注意对导数存在的函数，函数的极值点不仅要导数值为0，还要在此点两侧导数值符号相反，否则不是极值点．7．【答案】【解析】设线段长为L，线段上光照度最小的一点P到，的距离分别为，不妨设，光源的发光强度之比为1，2，由题意可得P点受光源的照度为：，P点受光源的照度为：，作和后利用导数求最值，可得P到，的距离，作比得答案．【详解】解：设线段长为L，线段上光照度最小的一点P到，的距离分别为，不妨设，光源的发光强度为1，2，∵光照度与光的强度成正比，设比例系数为，与光源距离的平方成反比，设比例系数为，故P点受光源的照度为：，P点受光源的照度为：，故P点受到，两光源的总照度，，令，解得：，当时，，函数在上递减，当时，，函数在上递增，故当时，取极小值，且是最小值，故P在线段上距离为时，P点的光照度最小，此时点P到的距离，之比为．故答案为：.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，同时考查了函数的最值的求解，导数法求函数最值是常用的方法，属于中档题．8．【答案】【解析】可先对求导，结合图像判断有三个交点的区间，又函数，可先画出的图像，结合图像判断有两个交点的取值范围，结合取值范围进一步判断即可【详解】由，令得或，当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增，函数的极大值为，极小值为，画出函数图像，如图：当有三个交点时，；再根据题意画出图像，如图：当时，要使，即函数图像在时，与要有两个交点，如图：，故故答案为：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图像的画法，导数判断函数最值，数形结合的思想，综合性强，属于难题9．【答案】a＝3【解析】对函数进行求导,分类讨论函数的单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，又f（x）只有一个零点,∴f（）1＝0，解得a＝3.故答案为：a＝3【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.10．【答案】9【解析】【详解】由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：911．【答案】【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最小值，解不等式即可得到所求范围.【详解】若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，即.当a≠0时，当x＝时，－ax2＝0.①当a＝0时，f(x)＝在(－∞，0)上的值域为(0，＋∞)，满足要求；②当a<0时，f(x1)min＝f()＝0，而f(x2)>0恒成立，所以不可能有f(x2)≤f(x1)；③当0<a≤时，f(x2)min＝f（）＝0，而f(x1)≥0恒成立，满足要求；④当a>时，设g(x)＝－ax2，则g′(x)＝－－2ax＝易得g(x)在上递增，在上递减，在(2,)单调递减所以,所以综上：【点睛】本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.12．【答案】①③【解析】有唯一解，即的根为.令，求出，研究的性质，而在上有唯一解，在上递减，在上递增，考虑和时函数的变化，只能有，这样可判断①③正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误。【详解】由题意知有唯一解，即的根为.令，，令得，当时，有唯一解，满足，故在上单调递减，上单调递增.又因为，，因此，即，故.另外，令，故在上单调递增，，故④错误.故答案为：①③。【点睛】本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件。本题难度较大，属于困难题。13．【答案】【解析】对求导令解得，要使不等式恒成立，只要使即可，再根据的范围无法直接得出，对分情况讨论，分别求出，。【详解】∵函数在上是增函数，∴在上恒成立，即要使不等式恒成立，只要使即可当时，，①当时，，可以看出，在上单调递减，∴，，即。②当时，，在上单调递减，∴，，即无法成立。综上所述，实数的取值范围是。故答案为：。【点睛】本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝对值内表达式大于等于0和小于0（或大于0和小于等于0）两种情况去讨论，写成分段函数的形式。本题属于中等题。14．【答案】【解析】通过导数研究函数在上的单调性,求得,然后根据的解析式求得最小值.【详解】因为函数,所以,①当时,在上恒成立,所以在上递增,所以时,取得最大值,所以;②当时,由得,解得或,由解得,所以函数在上递增,在上递减,在上递增,(i)若,即时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以函数在或时取得最大值,因为,.所以时,,(ii)当,即时,在上递减,在上递增,所以无论与2的大小关系谁大谁小,在上的最大值是或,因为,所以当时,,综上所述: ,当时,当时取等号;当时,,所以的最小值为2.【点睛】本题考查了分类讨论,导数研究函数的单调性,根据单调性求最值,属于难题.15．【答案】【解析】对求导，求出极小值点，然后判断的单调性求出极小值，再由的极小值大于0，建立关于的不等式，求出的范围．【详解】解：由，得，令，则，因为的极小值大于0，必有极小值点，故，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值，所以，综上，的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．16．【答案】【解析】令，求出的导数，得到的单调性，可得，由，即可得到，得到结果.【详解】令，则，因为，即，所以在恒成立，即在上单调递减，可得，即，由，可得，则；令，，因为，即，所以在上单调递增，可得，即，则，即有，故答案是：.【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.17．【答案】【解析】由，求出的表达式，从而得到的表达式，设，利用导数得到其最小值，即可求出的最小值.【详解】由题意 ，即所以所以设 ，则令，可得由当时，可得递增当时，，递减当时，递增即在处取得极小值且为最小值则的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.18．【答案】【解析】设，，不等式恒成立，转化为函数的图像不在直线的下方，求出的单调区间以及极值．最值，作出函数的图像，用数形结合方法，即可求出的取值范围；或分离出参数，构造新函数，转化为与新函数的最值的大小关系.【详解】直线l:是斜率为且过点的直线，时单调递减；时，单调递增.，当所以时，不符合条件所以时，符合条件时，若，则所以只需再考虑的情况：法一：如图示设时直线l与相切，则当且仅当时符合条件.设直线l与相切于点，则,,所以注递增，且.法二：时：在上单调递增，又时， 【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调区间．极值最值，考查等价转换．数形结合．分类讨论等数学思想，是一道综合题.