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2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷（AB卷）含解析，共57页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选
1. 下列所给图形是对称图形但没有是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为( )
A. 50° B. 45° C. 40° D. 30°
6. 快车和慢车同时从A地出发，分别以速度v1、v2（v1＞2v2）匀速向B地行驶，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇．在上述过程中，两车之间的距离y与慢车行驶时间x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线至多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
8. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（ ）
A. 4 B. 6 C. 6 D. 8
二、填 空 题
9. 北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为_____．
10. 把4x3－x分解因式，结果为_________.
11. 若解分式方程时产生增根，则=__________．
12. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮,投中的概率约为_____.(到0.1)
13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．
14. 将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
15. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于______．
16. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
17. 如图，是以为直径半圆上一点，连结、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、若，，则的长为______.
18. 在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得点P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕原点O按逆时针方向转动30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4＝2OP3，…，如果继续下去，点P2016的坐标为_________.
三、解 答 题
19. （1）计算：2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
（2）解没有等式组：，并写出它的所有整数解．
20. 化简：÷（x﹣），再从1、0、中选一个数代入求值．
21. “抢红包”是2015年春节十分火爆一项，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对“抢红包”所持态度情况进行了，并将结果绘成了条形统计图和扇形统计图．
（1）这次中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？
（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是多少？
（3）请估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是多少？
22. 一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ；
（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．
①求两次都摸到红球的概率；
②了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ．
23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．
24. 考试前夕，为“连粽连中”的吉祥寓意，某校食堂购进甲、乙两种粽子520个，其中甲种粽子花费600元，乙种粽子花费800元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
25. 校车是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的速度？
26. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
27. 某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量至多，乙车每小时的运输量至少，乙车每小时运6吨，如图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（小时）之间函数图象，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输．
（1）在甲、乙、丙三辆车中，出货车 ．（直接写出答案）
（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？
（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为8吨？
28. 如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（没有含端点），连接．一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间至少？
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选
1. 下列所给图形是对称图形但没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】A. 此图形没有是对称图形，没有是轴对称图形，故A选项错误，没有符合题意；
B. 此图形是对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误，没有符合题意；
C. 此图形没有是对称图形，是轴对称图形，故C选项错误，没有符合题意．
D. 此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选D．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
【正确答案】B
【详解】选项A，没有是同类项，没有能合并，错误；
选项B，根据同底数幂的乘法运算法则可得x3•x5=x8，正确；
选项C，根据同底数幂的除法运算法则可得x6÷x3=x3，错误；
选项D，根据积的乘方运算法则可得（﹣x3）3=﹣x9，错误；
故选：B．
3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得上面层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，
故选：B．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】根据平均成绩和方差：平均数越高，成绩越好，方差越小，成绩越稳定，进行求解即可
【详解】解：∵ ，，
∴选择丙．
故选C．
本题主要考查了利用平均数和方差做决策，熟知方差越小，成绩越稳定是解题的关键．
5. 如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为( )
A. 50° B. 45° C. 40° D. 30°
【正确答案】C
【详解】试题解析：连接AC．
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=50°，
∴∠CAB=40°；
又∵∠CDB=∠CAB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CDB=∠CAB=40°，
即∠D=40°．
故选C．
考点：圆周角定理．
6. 快车和慢车同时从A地出发，分别以速度v1、v2（v1＞2v2）匀速向B地行驶，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇．在上述过程中，两车之间的距离y与慢车行驶时间x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据“v1＞2v2，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇”即可作出判断.
由题意得符合条件是图象是第三个，故选C.
考点：实际问题的函数图象
点评：此类问题是初中数学的，是中考常见题，一般难度没有大，需熟练掌握.
7. 已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线至多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
8. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（ ）
A. 4 B. 6 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=2，
∴AB=4，BO=，
①当点P从O→B时，点Q刚好从原位置移动到点O处，如图2所示，此时点Q运动路程为PQ=；
②如图3所示，作QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C运动到P与C重合时，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°，
∴cos30°=，
∴AQ=，
∴OQ=4﹣2=2，
∴此时点Q运动的路程为QO=2，
③当点P从C→A运动到点P与点A重合时，如图3所示，点Q运动的路程为′=4﹣，
④当点P从A→O运动到P与点O重合时，点Q运动的路程为AO=2，
∴点Q运动的总路程为：+2+4﹣+2=8．
故选D．
二、填 空 题
9. 北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为_____．
【正确答案】4×103
【详解】.
故答案为.
在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
10. 把4x3－x分解因式，结果为_________.
【正确答案】x(2x+1)(2x-1)
【详解】4x3－x=x(4x2－1)= x(2x+1)(2x-1).
故答案为x(2x+1)(2x-1).
11. 若解分式方程时产生增根，则=__________．
【正确答案】﹣8
【详解】方程两边同乘x﹣4得：2x+a=0，
由题意可知方程增根是x=4，将x=4代入2x+a=0得：8+a=0，
解得：a=﹣8．
故答案为﹣8．
12. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮,投中的概率约为_____.(到0.1)
【正确答案】0.5
【详解】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为0.5．
点睛：此题主要考查了概率的求法，用符合条件的可能除以发生的所有可能即可求出概率，注意所用数据尽量的多，结果才越接近实际.
13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．
【正确答案】36°##36度
【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出，然后根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：是正五边形，
，
，
，
，
故36°．
本题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和定理：．且为整数．
14. 将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【正确答案】4
【详解】解：设半圆的半径为R，则 =32π，解得：R=8，即母线l=8，∵圆锥的侧面积S= ==32π，解得：r=4．故答案为4．
15. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于______．
【正确答案】2．
【详解】试题分析：∵在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，
∴=，AD=AB，
∴设AE=3x，则AD=5x，
故DE=4x，则BE=5x﹣3x=2x，
∴tan∠DBE=2．
考点：菱形的性质．
16. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
【正确答案】2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
17. 如图，是以为直径的半圆上一点，连结、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、若，，则的长为______.
【正确答案】13
【详解】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI= （AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．故答案为13．
点睛：本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度没有大．
18. 在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得点P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕原点O按逆时针方向转动30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4＝2OP3，…，如果继续下去，点P2016的坐标为_________.
【正确答案】(21008,0)
【详解】∵点P0的坐标为(1,0)，
∴OP0=1，
∴OP2=2OP1=2，
OP3=OP2=2，
OP4=2OP3=2×2=22，
…，
OP2016=21008，
∵2016÷24=84，
∴点P2016是第84循环组的一个点，在x轴正半轴，
∴点P2016的坐标为(21008,0).
故答案为(21008,0).
点睛：本田考查了坐标与图形的变化-旋转，点的坐标变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是解题的关键.
三、解 答 题
19. （1）计算：2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
（2）解没有等式组：，并写出它的所有整数解．
【正确答案】（1）﹣8；（2）没有等式组的解集：﹣3＜x≤2，整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【详解】试题分析：
（1）代入角的三角函数值，0指数幂和负指数幂的意义进行计算即可；
（2）分别求出没有等式组中两个没有等式的解集，再写出没有等式组的解集，由所得解集即可求得其整数解.
试题解析：
（1）原式=2×+1﹣32
=+1﹣9
=﹣8；
（2）解没有等式得x＞﹣3，
解没有等式得x≤2，
∴没有等式组的解集：﹣3＜x≤2，
∴没有等式组的整数解为﹣2，﹣1，0， 1，2．
20. 化简：÷（x﹣），再从1、0、中选一个数代入求值．
【正确答案】原式=，把x=代入原式=2+2．
【详解】试题分析：
先将原式按分式的相关运算法则化简，再在所给值中选取一个使原分式有意义的值代入计算即可.
试题解析：
原式=
=
=
∵要使原分式有意义，
∴所给的三个值中，只能取当，
当时，
原式=.
点睛：在解这类分式化简求值的题目时，所选取的字母的取值必须要确保原分式有意义.
21. “抢红包”是2015年春节十分火爆的一项，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对“抢红包”所持态度情况进行了，并将结果绘成了条形统计图和扇形统计图．
（1）这次中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？
（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是多少？
（3）请估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是多少？
【正确答案】（1）25﹣35；（2）217;（3）1520.
【详解】分析：（1）根据中位数的概念和抽查的人数确定中位数所在的范围；
（2）求出“参与抢红包”的人数所占的百分比，求出人数；
（3）求出从没有（抢红包）”的人数所占是百分比，求出该企业“从没有（抢红包）”的人数．
本题解析：（1）∵抽取350人，∴中位数是175和176的平均数，
∴中位数所在的年龄段是25﹣35；
（2）这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是：350×（40%+22%）=217人；
（3）估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520人．
22. 一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ；
（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．
①求两次都摸到红球的概率；
②了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ．
【正确答案】（1）；（2）①P（B）=；②（）n．
【详解】试题分析：
（1）由题意易可知，共有3种等可能结果，其中是红球的占了2种，由此可得所求概率为；
（2）①画树状图分析出所有的等可能结果，看其中两次都是红球的有多少种，即可得到所求概率；②由题意可知，摸有3种等可能结果，放回摸第2次后共有9种等可能结果，……，摸n次后共有个等可能结果，其中全是红球的有种，由此即可得到所求概率.
试题解析：
（1）∵一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是：；
故答案为．
（2）①画树状图得：
∵共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为B）的结果只有4种，
P（B）=；
②∵了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，共有3n种等可能的结果，全部摸到红球的有2n种情况，
∴全部摸到红球的概率是：（）n．
故答案为（）n．
23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接DE交AF于H，先根据DF=EG，DF∥EG，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据GF⊥DE，即可得出四边形EFDG是菱形；
（2）根据条件得到FH=GF=，AF=10，再根据Rt△ADF中，DH⊥AF，运用射影定理即可得到DF2=FH×FA，进而得出DF的长．
试题解析： (1)如图，连接DE交AF于H，
由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四边形DFEG平行四边形，
∵GF⊥DE，
∴四边形EFDG是菱形；
(2)∵四边形EFDG是菱形，
∴FH=GF=，
∵AG=7，GF=3，
∴AF=10，
∵Rt△ADF中，DH⊥AF，
∴DF2=FH×FA，
即DF==.
24. 考试前夕，为“连粽连中”的吉祥寓意，某校食堂购进甲、乙两种粽子520个，其中甲种粽子花费600元，乙种粽子花费800元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
【正确答案】乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买200个、320个．
【详解】试题分析：
设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元， 根据购买两种粽子各自所花金额表达出两种粽子各自购买的数量，两种粽子共买了520个即可列出方程，解方程检验可得所求结果.
试题解析；
设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得，，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5是原分式方程的解，
∴（1+20%）x=3，
则买甲粽子为：（个），乙粽子为：（个）．
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买200个、320个．
25. 校车是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的速度？
【正确答案】（1）100（）米；（2）超速.
【分析】（1）分别在Rt△APO，Rt△BOP中，求得AO、BO的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．
【详解】解：(1)在Rt△BOP中,∠BOP=90°，
∵∠BPO=45°，OP=100，
∴OB=OP=100.
在Rt△AOP中,∠AOP=90°，
∵∠APO=60°，
∴AO=OP⋅tan∠APO.
∴AO=100，
∴AB=100(−1)(米)；
(2)∵此车的速度=100(−1)4=25(−1)≈25×0.73=18.25米/秒
60千米/小时=≈16.67米/秒，
18.25米/秒>16.67米/秒，
∴此车超过了白田路每小时60千米的速度.
26. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）相切，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据圆周角定理，由得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD
本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
27. 某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量至多，乙车每小时的运输量至少，乙车每小时运6吨，如图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（小时）之间函数图象，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输．
（1）在甲、乙、丙三辆车中，出货车是 ．（直接写出答案）
（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？
（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为8吨？
【正确答案】（1）甲；（2）甲车和丙车每小时各运8吨和10吨；（3）甲、乙两车又工作了6小时，库存是8吨．
详解】试题分析：
（1）由已知条件可知：丙车每小时运输量至多，乙车每小时运输量6吨是运输量至少的，则甲车的运输量在两者之间，OA段只有甲和丙参加，且两小时仓库中增加了6吨货，由此可知，甲是出货车，丙是进货车；
（2）设甲车每小时运输量为x吨，丙车每小时运输量为y吨，根据图中三段函数图象所反映的数量关系即可列出方程组，解方程组即可求得答案；
（3）设8小时后，甲、乙两车又工作了m小时，则有题意（2）中所得结果可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
试题解析：
（1）乙、丙是进货车，甲是出货车．
故答案为甲．
（2）设甲、丙两车每小时运货x吨和y吨，
则，解得： ，
∴甲车和丙车每小时各运8吨和10吨．
（3）设8小时后，甲、乙两车又工作了m小时，库存是8吨，则有
（8﹣6）m=10+10﹣8，
解得m=6．
答：甲、乙两车又工作了6小时，库存是8吨．
28. 如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（没有含端点），连接．一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间至少？
【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点、的坐标，进而求出直线的解析式，接着求出点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式确定的值．
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①当时；②当时．
（3）作轴交抛物线于，作轴于，作于，根据正切的定义求出的运动时间时，最小即可．
【详解】（1），
点的坐标为、点的坐标为，
直线点，
，
，
当时，，
则点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得，，
则抛物线的解析式为；
（2）如图1中，设，作轴于．
①当时，，
，即，
即．解得．
，
解得或1（舍弃），
当时，，
，即，
，
即，
解得或（舍弃），
．
②当时，，
，即，
，
，
，
解得或1（舍弃），
当时，，
，即，
，
或（舍弃），
．
（3）如图2中，作轴交抛物线于，作轴于，作于，
则，
，
，
，
的运动时间，
当和共线时，最小，
则，此时点坐标．
本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列四个数中，一个数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 1 D. π
2. 中科院国家天文台10月10日宣布，位于贵州的“中国天眼”(FAST于2017年8月22日发现一颗脉冲星，编号为J859-0131，自转周期为1.83秒，据估算距离地球约1.6万光年.1.6万光年用科学记数法表示为（ ）
A. 1.6×105光年 B. 1.6×104光年 C. 0.16×105光 D. 16×104光年
3. 计算(a-1)2的结果是（ ）
A. a2-1 B. a2+1 C. a2-2a+1 D. a2+2a-1
4. 如图，一个半球与一个圆锥恰好叠合在一起，则该几何体的主视图是（ ）
A B. C. D.
5. 某校为了解七年级学生最喜欢的校本课程(厨艺课、数字与生活、足球、采茶戏)情况，随机抽取了部分七年级学生进行问卷，每名学生必须选且只能选一门.现将结果绘制成如图所示的两幅统计图.若该校七年级共有1050名学生，则其中最喜欢“数字与生活”的学生有（ ）
问卷结果条形统计图 问卷结果扇形统计图
A. 105人 B. 210人 C. 350人 D. 420人
6. 某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆.设该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2000(1+x)2=4500 B. 2000(1+2x)=4500
C. 2000(1-x)2 =4500 D. 2000x2=4500
7. 已知x=1是关于x的方程+=2的解，则m的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 4 D. 3
8. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为( )
A. 20° B. 50° C. 80° D. 110°
9. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在数学课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D. 当E，F，G，H没有是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
10. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6-3 D. 3-3
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满20分)
11. 计算:|-1|-=___________.
12. 如图，⊙O半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是_____．
13. 没有等式组的解集为____________.
14. 如图，矩形ABCD为一块钢板，其中AB=20，AD=40，先裁剪下一块直角三角形ABE，∠BAE=45°，点E在BC上，然后再从剩余的部分中裁剪下块锐角为30°的直角三角形AEF，则△AEF的面积为_______
三、解 答 题
15. 计算：（-5)0+0
16. 先化简，再求值:（）+1在0，1，2，4中选一个合适的数，代入求值.
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形)，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的格点△A1B1C1，
（2）请判断△A1B1C1与△DEF是否相似，若相似，请写出相似比；若没有相似，请说明理由.
18. 观察下列等式：
①1+2=3；
②4+5+6=7+8；
③9+10+11+12=13+14+15；
④16+17+18+19+20=21+22+23+24；
（1）请写出第五个等式；
（2）你的发现，试说明145是第几行的第几个数?
19. 如图所示是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧OC=OD=2.5米，
（1）若CD=1.4米，求梯子顶端O离地面的高度；
（2）《建筑施工高处作业技术规范》规定:使用“人字梯”时，上部夹角(∠AOB)以35°～45°为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施.如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯，他测得OA=OB=2米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果到0.1米，参考数据:sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95，tan17. °5≈0.32，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41)
20. 有4张分别标有数字2，3，4，6的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为x；小颖在剩下的3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为y，
（1）①:小红摸出标有数字3的牌，②:小颖摸出标有数字1的牌，则( )
A.①是必然，②是没有可能，
B.①是随机，②是没有可能，
C.①是必然，②是随机，
D.①是随机，②是必然，
（2）若|x-y|≤2，则说明小红与小颖“心领神会”，请求出她们“心领神会”概率.
21. 如图1，在矩形ABCD中，点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)，反比例函数y=(x>0)的图象点D，且与AB相交于点E,
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C、E作直线，求直线CE的解析式；
（3）如图2，将矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，求线段BD扫过的面积.
22. 小明在打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）球在运动的过程中离地面的高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
23. 定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为 ．
猜想论证：
(2)在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 1 D. π
【正确答案】D
【详解】分析：π≈3.14，正数大于0，0大于负数.
详解：因为正数大于0，0大于负数，正数中π，所以的数是π.
故选D.
点睛：实数大小比较的一般方法：①定义法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两个负数值大的反而小；③在数轴上表示的数，右边的总比左边的大.
2. 中科院国家天文台10月10日宣布，位于贵州的“中国天眼”(FAST于2017年8月22日发现一颗脉冲星，编号为J859-0131，自转周期为1.83秒，据估算距离地球约1.6万光年.1.6万光年用科学记数法表示为（ ）
A. 1.6×105光年 B. 1.6×104光年 C. 0.16×105光 D. 16×104光年
【正确答案】B
【详解】分析：表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数.
详解：1.6万＝1.6×104.
故答案为B.
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
3. 计算(a-1)2的结果是（ ）
A. a2-1 B. a2+1 C. a2-2a+1 D. a2+2a-1
【正确答案】C
【详解】分析：根据完全平方差公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2计算.
详解：(a－1)2＝a2－2a＋1.
故答案为C.
点睛：本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的和(或差)的平方，等于它们的平方的和加上(或减去)它们的乘积的2倍．
4. 如图，一个半球与一个圆锥恰好叠合在一起，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：几何体的主视图是从正面看所得的图形.
详解：上面是圆球，下面是圆锥，看得见的线是实线，看没有见的线是虚线.
故选A.
点睛：主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，左视图指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图指从立体图形的上面看到的平面图．可见轮廓线用实线，没有可见轮廓线用虚线.
5. 某校为了解七年级学生最喜欢的校本课程(厨艺课、数字与生活、足球、采茶戏)情况，随机抽取了部分七年级学生进行问卷，每名学生必须选且只能选一门.现将结果绘制成如图所示的两幅统计图.若该校七年级共有1050名学生，则其中最喜欢“数字与生活”的学生有（ ）
问卷结果条形统计图 问卷结果扇形统计图
A. 105人 B. 210人 C. 350人 D. 420人
【正确答案】B
【详解】分析：先求出的人数，再由的人数中最喜欢“数字与生活”的学生所占的百分比乘以七年级的总人数.
详解：的总人数为24÷40%＝60，
则七年级1050名学生中最喜欢“数字与生活”的学生有×1050＝210人.
故选B.
点睛：解题的关键是求出的人数，一般要条形图与扇形图，从条形图中得到某一项的人数a，再从扇形图中得到相应项所占人数的百分比b，由a÷b即可得到的人数(即样本容量).
6. 某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆.设该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2000(1+x)2=4500 B. 2000(1+2x)=4500
C. 2000(1-x)2 =4500 D. 2000x2=4500
【正确答案】A
【详解】分析：2月份该型号汽车的销量为2000(1＋x)；3月份该型号汽车的销量为2000(1＋x)2，根据题中的相等关系则可列方程.
详解：根据题意得，2000(1＋x)2＝4500.
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，可以套用增长率问题的模型，年的产量是a，n年后的产量是b，若平均每年的增长率是x，则有，将相关的数据对应代入即可得到符合题意的方程．
7. 已知x=1是关于x的方程+=2的解，则m的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 4 D. 3
【正确答案】C
【详解】分析：把x=1代入原方程，得到关于m的分式方程，解关于m的分式方程即可.
详解：把x＝1代入方程＝2得，
＝2，解得m＝4，
经检验，m＝4是方程的解.
故选C.
点睛：解分式方程的基本思路是，将方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母没有等于0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解．
8. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为( )
A. 20° B. 50° C. 80° D. 110°
【正确答案】C
【详解】分析：∠ACA′等于旋转角，由l1∥l2得∠1＝∠BCA′.
详解：根据旋转的性质得，∠ACA′＝50°，又∠ACB＝30°，
所以∠BCA′＝30°＋50°＝80°，
因为l1∥l2，所以∠1＝∠BCA′＝80°.
故答案为C.
点睛：本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转的距离相等.
9. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在数学课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D. 当E，F，G，H没有是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
【正确答案】B
【分析】A.用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；B.判断四边形EFGH的内角能否为直角；C.根据菱形的定义判断；D.当AD＝3DH，BD＝3DE，AC＝3CG，BC＝3CF时判断四边形EFGH是平行四边形.
【详解】解：如图1，∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH平行四边形.
则A正确；
如图2，当AC⊥BD时，∠1＝90°，
∠1>∠2>∠EHG，∴四边形EHGF没有可能是矩形，则B错误；
AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGHB是菱形.
则C正确；
如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形.
∵E，F，H，G是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，
，，∴EH＝FG，
又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，则D正确.
故选B.
判定两个三角形相似的方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④有两个角相等的三角形相似．
10. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6-3 D. 3-3
【正确答案】D
【分析】点F在以AB为直径的圆上，当圆心，点F，C在一条直线上时，CF取最小值，且最小值为CE－EF．
【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，FE．
因为∠AFB＝90°，所以EF＝ AB＝3，
因为△ABC是等边三角形，所以CE＝3
当点E，F，C三点在一条直线上时，
CF有最小值，且最小值为CE－EF＝3 －3
故选D．
求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满20分)
11. 计算:|-1|-=___________.
【正确答案】-1
【详解】分析：分别计算出－1的值和4的算术平方根，再做减法.
详解：|－1|－＝1－2＝－1.
故答案－1.
点睛：本题考查了值和算术平方根，一个非负数的算术平方根一定是非负数，一个数的值也是非负数.
12. 如图，⊙O半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是_____．
【正确答案】π．
【详解】分析：连接OB，OC，由圆周角定理可得∠BOC的长，再根据弧长公式求解.
详解：连接OB，OC，
则∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，
所以劣弧BC的长是.
故答案为.
点睛：本题考查了圆周角定理弧长公式，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半；半径为r，圆心角为n的弧长为.
13. 没有等式组的解集为____________.
【正确答案】x1
【详解】分析：分别求出没有等式组中两个没有等式的解集，再求没有等式组的解集.
详解：，
解没有等式①得，x≤1；
解没有等式②得，x＜4.
所以原没有等式组的解为x≤1.
故答案为x≤1.
点睛：一元没有等式组的解法是：对组成没有等式组的没有等式分别求解，取各个没有等式解集的公共部分，即为没有等式组的解集；确定一元没有等式组解集应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小是无解．
14. 如图，矩形ABCD为一块钢板，其中AB=20，AD=40，先裁剪下一块直角三角形ABE，∠BAE=45°，点E在BC上，然后再从剩余的部分中裁剪下块锐角为30°的直角三角形AEF，则△AEF的面积为_______
【正确答案】或100
【详解】分析：因为∠DAE＝45°＜90°，所以90°的角可能是AE所对的角，也可能是AF所对的角，
详解：由题意可知∠DAE＝45°，故∠EAF只能为30°，分两种情况考虑
如图1，当∠AFE＝90°，
易知EF＝AE＝10，AF＝EF＝10，
所以S△AEF＝AF×EF＝100.
如图2，当∠AEF＝90°时，
易知AE＝20，EF＝AE＝，
所以S△AEF＝AE×EF＝；
故答案为或100.
点睛：已知△AEF的边AE的位置和长度，及∠EAF的大小，则直角顶点有两种情况，①∠AFE＝90°；②∠AEF＝90°，分别画出图形，含30°角的直角三角形及勾股定理求解.
三、解 答 题
15. 计算：（-5)0+0
【正确答案】2.
【详解】分析：底数没有为0的0次幂等于1，°＝，按实数的混合运算顺序计算.
详解：(－5)0＋°
＝1＋×
＝1＋1
＝2.
点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是30°角的正切值，三是0指数幂的运算．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查．
16. 先化简，再求值:（）+1在0，1，2，4中选一个合适的数，代入求值.
【正确答案】x，当x=4时，原式=4.
【详解】分析：先分式混合运算的法则化简分式，再在指定的4个数中选取一个使原分式及计算过程中的分式都有意义的值代入计算.
详解：(＋1
＝·＋1
＝x－1＋1
＝x.
当x＝4时，原式＝4.
点睛：分式的化简求值，首先要对分式进行化简，注意除法要统一为乘法运算，把多项式要进行因式分解，便于约分等；然后再把字母的值代入到化简后的代数式求值．选取喜欢的值代入时注意要使所有分式都有意义．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形)，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的格点△A1B1C1，
（2）请判断△A1B1C1与△DEF是否相似，若相似，请写出相似比；若没有相似，请说明理由.
【正确答案】(1)作图见解析； (2)相似，相似比为1:2.
【详解】分析：(1)根据轴对称的性质分别画出点A，B，C关于y轴的对称点；(2)分别计算出两个三角形的边长，判断对应边是否成比例.
详解：(1)格点△A1B1C1如图所示，
(2)相似，相似比为1:2.
由图形得，A1B1＝1，B1C1＝，C1A1＝，则A1B1:B1C1:C1A1＝；
DE＝2，EF＝，FD＝，则DE:EF:FD＝；
所以A1B1:B1C1:C1A1＝DE:EF:FD.
则△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1:2.
点睛：在格点图中判断两个三角形是否相似，可勾股定理计算三角形的边长，如果它们的三边对应成比例，则这两个三角形相似.
18. 观察下列等式：
①1+2=3；
②4+5+6=7+8；
③9+10+11+12=13+14+15；
④16+17+18+19+20=21+22+23+24；
（1）请写出第五个等式；
（2）你的发现，试说明145是第几行的第几个数?
【正确答案】(1)25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35；(2) 145是第12行的第2个数.
【详解】分析：(1)第五个等式的个数是52，且是连续5个自然数相加；(2)比145小的最接近的自然数是144＝122.
详解：(1)25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；
(2)根据规律可知第n行第1个数为n2，
122＝144，
145是第12行的第2个数.
点睛：数字的排列规律问题的一般解法是：通过观察.分析.归纳并发现其中的规律，找出数字的排列规律，弄清数字之间的联系，得出运算规律，然后验证猜想的规律，再根据得到的规律解决问题．
19. 如图所示的是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧OC=OD=2.5米，
（1）若CD=1.4米，求梯子顶端O离地面的高度；
（2）《建筑施工高处作业技术规范》规定:使用“人字梯”时，上部夹角(∠AOB)以35°～45°为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施.如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯，他测得OA=OB=2米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果到0.1米，参考数据:sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95，tan17. °5≈0.32，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41)
【正确答案】(1) 2.4米； (2)他所需的绳子的长度应该在2.0米到2.3米之间.
【详解】分析：画出与实际问题对应的图形，(1)作OE⊥CD于点E，用勾股定理求OE；(2)作OF⊥AB于点F，分别求出当∠AOE＝35°和45°时的AB的长.
详解：(1)如图1，作OE⊥CD于点E，
△OCD中，∵OC＝OD，且OE⊥CD.CE＝CD＝0.7，
所以OE＝＝2.4米；
(2)如图2，作OF⊥AB于点F，
△OAB中，OA＝OB，且OF⊥AB，
所以∠AOF＝∠BOF＝∠AOB，AF＝FB＝AB.
Rt△OAF中，sin∠AOF＝，
∴AF＝OA·sin∠AOF，
由题意知35°≤∠AOB≤45°，
当∠AOF＝17.5°时，AF＝OA·sin∠AOF＝2×sin17.5°≈0.60米，
此时，AB≈1.20米，所需的绳子约为2.0米，
当∠AOF＝22.5°时，AF＝OA·sin∠AOF＝2×sin22.5°≈0.76米，
此时，AB≈1.52米，所需的绳子约为2.3米，
所以，他所需的绳子的长度应该在2.0米到2.3米之间.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题．
20. 有4张分别标有数字2，3，4，6的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为x；小颖在剩下的3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为y，
（1）①:小红摸出标有数字3的牌，②:小颖摸出标有数字1的牌，则( )
A.①是必然，②是没有可能，
B.①是随机，②是没有可能，
C.①是必然，②是随机，
D.①是随机，②是必然，
（2）若|x-y|≤2，则说明小红与小颖“心领神会”，请求出她们“心领神会”的概率.
【正确答案】(1)B；(2) P(她们“心领神会”) =.
【详解】分析：(1)摸出标有数字3的牌是可能，摸出标有数字1的牌是没有可能；(2)列表计算出|x－y|所有可能的结果和满足|x－y|≤2的结果.
详解：(1)B；
(2)所有可能出现的结果如图
小颖
小红
2
3
4
6
2
(2，3)
(2，4)
(2，6)
3
(3，2)
(3，4)
(3，6)
4
(4，2)
(4，3)
(4，6)
6
(6，2)
(6，3)
(6，4)
从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同
其中|x－y|≤2结果有8种，
小红.小颖两人“心神领会”的概率为P(她们“心领神会”)＝.
点睛：本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，在等可能中，如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的A可能出现的结果数是m，那么A的概率为.
21. 如图1，在矩形ABCD中，点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)，反比例函数y=(x>0)的图象点D，且与AB相交于点E,
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C、E作直线，求直线CE的解析式；
（3）如图2，将矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，求线段BD扫过的面积.
【正确答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)直线CE的解析式为y=x-1；(3) 3.
【详解】分析：(1)由矩形的性质求得点D的坐标，即可求得k；(2)根据反比例函数的解析式求点E的坐标，用待定系数法求直线CE的解析式；(3)BD扫过的面积是一个平行四边形，它的面积＝2S△BB′D′.
详解：(1)由题意得AD＝CB＝1，故点D的坐标为(1，2)，
∵函数y＝的图象点D(1，2)，
∴2＝.∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
(2)当y＝1时，1＝.∴x＝2，∴E(2，1)，
设直线CE的解析式为y＝kx＋b，根据题意得
解得
∴直线CE的解析式为y＝x－1；
(3)∵矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，点D(0，1)，B'(2，0)，
S四边形BDD′B′＝2S△BB′D′＝2××3×1＝3.
点睛：求反比例函数的解析式即是要求出双曲线上的一点的坐标；求函数的解析式即是要求出直线上的两个点的坐标后，用待定系数法列方程组求解.
22. 小明在打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）球在运动的过程中离地面的高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
【正确答案】(1)y与x的函数表达式为y=-x2+x+1；(2)篮球在运动的过程中离地面的高度为3m；(3)小亮离小明的最短距离为6m.
【详解】分析：(1)由点P的坐标求函数的解析式；(2)求(1)中函数解析式的值；(3)把y＝2.5代入(1)中的函数解析式求解.
详解：(1)∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2＋x＋c，解得c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝－x2＋x＋1.
(2)y＝－x2＋x＋1
＝x2－8x)＋1
＝(x－4)2＋3，
当x＝4时，y有值3
故篮球在运动的过程中离地面的高度为3m；
(3)令y＝2.5，则有－(x－4)2＋3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2没有合题意，应舍去，
故小亮离小明的最短距离为6m.
点睛：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解横轴和纵轴的实际意义，横轴表示得篮球在运动过程中小明的距离，纵轴表示篮球在运动过程中的高度.
23. 定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为 ．
猜想论证：
(2)在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1)①；②3； (2) AM=DE，证明见解析； (3)存在，证明见解析， PM =1.
【分析】（1）①只要证明△BAC≌△EAD，推出BC=DE，由AM⊥BC，推出BM=CM，推出AM=BC=DE；
②只要证明△AMC≌△DNA，即可解决问题；
（2）结论：DE=2AM，只要证明△AMC≌△DNA即可；
（3）如图4中，结论：存在．连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．点P即为所求的点；
【详解】（1）①如图2中，
∵AB=AC=AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴△BAC≌△EAD，
∴BC=DE，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM，
∴AM=BC=DE．
故答案为．
②如图3中，
∵∠BAC=120°，AB=AC，AM⊥BC，
∴∠CAM=60°，BM=CM=3
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAD=60°，
∵AE=AD，
∴△EAD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠AMC=∠AND=90°，∠CAM=∠D，AC=AD，
∴△AMC≌△DNA，
∴AN=CM=3，
故答案为3．
（2）如图1中，结论：DE=2AM．
∵AD=AE，AN⊥DE，
∴EN=DN，∠DAN=∠NAE，同法可证：∠CAM=∠BAM，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠DAN+∠CAM=90°，
∵∠CAM+∠C=90°，
∴∠DAN=∠C，
∵∠AND=∠AMC=90°，AC=DA，
∴△AMC≌△DNA，
∴AM=DN，
∴DE=2AM．
（3）如图4中，结论：存在．
理由：连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．
∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∵PA=PC，
∴PA=PD=PC=PB，
∴△PCD，△PCB都是等边三角形，
∴∠CPD=∠CPB=60°，
∴∠APD=120°，
∴∠APD+∠CPB=180°，
∴△APD和△PBC是“顶补等腰三角形”，
在等边三角形△PBC中，∵BC=PC=PB=2，PM⊥BC，
∴PM=×2=．
本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选
1. 下列所给图形是对称图形但没有是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为( )
A. 50° B. 45° C. 40° D. 30°
6. 快车和慢车同时从A地出发，分别以速度v1、v2（v1＞2v2）匀速向B地行驶，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇．在上述过程中，两车之间的距离y与慢车行驶时间x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线至多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
8. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（ ）
A. 4 B. 6 C. 6 D. 8
二、填 空 题
9. 北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为_____．
10. 把4x3－x分解因式，结果为_________.
11. 若解分式方程时产生增根，则=__________．
12. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮,投中的概率约为_____.(到0.1)
13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．
14. 将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
15. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于______．
16. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
17. 如图，是以为直径半圆上一点，连结、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、若，，则的长为______.
18. 在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得点P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕原点O按逆时针方向转动30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4＝2OP3，…，如果继续下去，点P2016的坐标为_________.
三、解 答 题
19. （1）计算：2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
（2）解没有等式组：，并写出它的所有整数解．
20. 化简：÷（x﹣），再从1、0、中选一个数代入求值．
21. “抢红包”是2015年春节十分火爆一项，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对“抢红包”所持态度情况进行了，并将结果绘成了条形统计图和扇形统计图．
（1）这次中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？
（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是多少？
（3）请估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是多少？
22. 一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ；
（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．
①求两次都摸到红球的概率；
②了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ．
23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．
24. 考试前夕，为“连粽连中”的吉祥寓意，某校食堂购进甲、乙两种粽子520个，其中甲种粽子花费600元，乙种粽子花费800元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
25. 校车是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的速度？
26. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
27. 某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量至多，乙车每小时的运输量至少，乙车每小时运6吨，如图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（小时）之间函数图象，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输．
（1）在甲、乙、丙三辆车中，出货车 ．（直接写出答案）
（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？
（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为8吨？
28. 如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（没有含端点），连接．一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间至少？
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选
1. 下列所给图形是对称图形但没有是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】A. 此图形没有是对称图形，没有是轴对称图形，故A选项错误，没有符合题意；
B. 此图形是对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误，没有符合题意；
C. 此图形没有是对称图形，是轴对称图形，故C选项错误，没有符合题意．
D. 此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选D．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
【正确答案】B
【详解】选项A，没有是同类项，没有能合并，错误；
选项B，根据同底数幂的乘法运算法则可得x3•x5=x8，正确；
选项C，根据同底数幂的除法运算法则可得x6÷x3=x3，错误；
选项D，根据积的乘方运算法则可得（﹣x3）3=﹣x9，错误；
故选：B．
3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得上面层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，
故选：B．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】C
【分析】根据平均成绩和方差：平均数越高，成绩越好，方差越小，成绩越稳定，进行求解即可
【详解】解：∵ ，，
∴选择丙．
故选C．
本题主要考查了利用平均数和方差做决策，熟知方差越小，成绩越稳定是解题的关键．
5. 如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为( )
A. 50° B. 45° C. 40° D. 30°
【正确答案】C
【详解】试题解析：连接AC．
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=50°，
∴∠CAB=40°；
又∵∠CDB=∠CAB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CDB=∠CAB=40°，
即∠D=40°．
故选C．
考点：圆周角定理．
6. 快车和慢车同时从A地出发，分别以速度v1、v2（v1＞2v2）匀速向B地行驶，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇．在上述过程中，两车之间的距离y与慢车行驶时间x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据“v1＞2v2，快车到达B地后停留了一段时间，沿原路仍以速度v1匀速返回，在返回途中与慢车相遇”即可作出判断.
由题意得符合条件是图象是第三个，故选C.
考点：实际问题的函数图象
点评：此类问题是初中数学的，是中考常见题，一般难度没有大，需熟练掌握.
7. 已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线至多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
8. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（ ）
A. 4 B. 6 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=2，
∴AB=4，BO=，
①当点P从O→B时，点Q刚好从原位置移动到点O处，如图2所示，此时点Q运动路程为PQ=；
②如图3所示，作QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C运动到P与C重合时，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°，
∴cos30°=，
∴AQ=，
∴OQ=4﹣2=2，
∴此时点Q运动的路程为QO=2，
③当点P从C→A运动到点P与点A重合时，如图3所示，点Q运动的路程为′=4﹣，
④当点P从A→O运动到P与点O重合时，点Q运动的路程为AO=2，
∴点Q运动的总路程为：+2+4﹣+2=8．
故选D．
二、填 空 题
9. 北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学记数法表示为_____．
【正确答案】4×103
【详解】.
故答案为.
在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
10. 把4x3－x分解因式，结果为_________.
【正确答案】x(2x+1)(2x-1)
【详解】4x3－x=x(4x2－1)= x(2x+1)(2x-1).
故答案为x(2x+1)(2x-1).
11. 若解分式方程时产生增根，则=__________．
【正确答案】﹣8
【详解】方程两边同乘x﹣4得：2x+a=0，
由题意可知方程增根是x=4，将x=4代入2x+a=0得：8+a=0，
解得：a=﹣8．
故答案为﹣8．
12. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮,投中的概率约为_____.(到0.1)
【正确答案】0.5
【详解】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为0.5．
点睛：此题主要考查了概率的求法，用符合条件的可能除以发生的所有可能即可求出概率，注意所用数据尽量的多，结果才越接近实际.
13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．
【正确答案】36°##36度
【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出，然后根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：是正五边形，
，
，
，
，
故36°．
本题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和定理：．且为整数．
14. 将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【正确答案】4
【详解】解：设半圆的半径为R，则 =32π，解得：R=8，即母线l=8，∵圆锥的侧面积S= ==32π，解得：r=4．故答案为4．
15. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于______．
【正确答案】2．
【详解】试题分析：∵在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，
∴=，AD=AB，
∴设AE=3x，则AD=5x，
故DE=4x，则BE=5x﹣3x=2x，
∴tan∠DBE=2．
考点：菱形的性质．
16. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
【正确答案】2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
17. 如图，是以为直径的半圆上一点，连结、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、若，，则的长为______.
【正确答案】13
【详解】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI= （AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．故答案为13．
点睛：本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度没有大．
18. 在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得点P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕原点O按逆时针方向转动30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4＝2OP3，…，如果继续下去，点P2016的坐标为_________.
【正确答案】(21008,0)
【详解】∵点P0的坐标为(1,0)，
∴OP0=1，
∴OP2=2OP1=2，
OP3=OP2=2，
OP4=2OP3=2×2=22，
…，
OP2016=21008，
∵2016÷24=84，
∴点P2016是第84循环组的一个点，在x轴正半轴，
∴点P2016的坐标为(21008,0).
故答案为(21008,0).
点睛：本田考查了坐标与图形的变化-旋转，点的坐标变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是解题的关键.
三、解 答 题
19. （1）计算：2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
（2）解没有等式组：，并写出它的所有整数解．
【正确答案】（1）﹣8；（2）没有等式组的解集：﹣3＜x≤2，整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【详解】试题分析：
（1）代入角的三角函数值，0指数幂和负指数幂的意义进行计算即可；
（2）分别求出没有等式组中两个没有等式的解集，再写出没有等式组的解集，由所得解集即可求得其整数解.
试题解析：
（1）原式=2×+1﹣32
=+1﹣9
=﹣8；
（2）解没有等式得x＞﹣3，
解没有等式得x≤2，
∴没有等式组的解集：﹣3＜x≤2，
∴没有等式组的整数解为﹣2，﹣1，0， 1，2．
20. 化简：÷（x﹣），再从1、0、中选一个数代入求值．
【正确答案】原式=，把x=代入原式=2+2．
【详解】试题分析：
先将原式按分式的相关运算法则化简，再在所给值中选取一个使原分式有意义的值代入计算即可.
试题解析：
原式=
=
=
∵要使原分式有意义，
∴所给的三个值中，只能取当，
当时，
原式=.
点睛：在解这类分式化简求值的题目时，所选取的字母的取值必须要确保原分式有意义.
21. “抢红包”是2015年春节十分火爆的一项，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对“抢红包”所持态度情况进行了，并将结果绘成了条形统计图和扇形统计图．
（1）这次中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？
（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是多少？
（3）请估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是多少？
【正确答案】（1）25﹣35；（2）217;（3）1520.
【详解】分析：（1）根据中位数的概念和抽查的人数确定中位数所在的范围；
（2）求出“参与抢红包”的人数所占的百分比，求出人数；
（3）求出从没有（抢红包）”的人数所占是百分比，求出该企业“从没有（抢红包）”的人数．
本题解析：（1）∵抽取350人，∴中位数是175和176的平均数，
∴中位数所在的年龄段是25﹣35；
（2）这次接受的职工中“参与抢红包”的人数是：350×（40%+22%）=217人；
（3）估计该企业“从没有（抢红包）”的人数是：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520人．
22. 一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ；
（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．
①求两次都摸到红球的概率；
②了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ．
【正确答案】（1）；（2）①P（B）=；②（）n．
【详解】试题分析：
（1）由题意易可知，共有3种等可能结果，其中是红球的占了2种，由此可得所求概率为；
（2）①画树状图分析出所有的等可能结果，看其中两次都是红球的有多少种，即可得到所求概率；②由题意可知，摸有3种等可能结果，放回摸第2次后共有9种等可能结果，……，摸n次后共有个等可能结果，其中全是红球的有种，由此即可得到所求概率.
试题解析：
（1）∵一只没有透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是：；
故答案为．
（2）①画树状图得：
∵共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为B）的结果只有4种，
P（B）=；
②∵了n次“摸球﹣记录﹣放回”的过程，共有3n种等可能的结果，全部摸到红球的有2n种情况，
∴全部摸到红球的概率是：（）n．
故答案为（）n．
23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接DE交AF于H，先根据DF=EG，DF∥EG，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据GF⊥DE，即可得出四边形EFDG是菱形；
（2）根据条件得到FH=GF=，AF=10，再根据Rt△ADF中，DH⊥AF，运用射影定理即可得到DF2=FH×FA，进而得出DF的长．
试题解析： (1)如图，连接DE交AF于H，
由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四边形DFEG平行四边形，
∵GF⊥DE，
∴四边形EFDG是菱形；
(2)∵四边形EFDG是菱形，
∴FH=GF=，
∵AG=7，GF=3，
∴AF=10，
∵Rt△ADF中，DH⊥AF，
∴DF2=FH×FA，
即DF==.
24. 考试前夕，为“连粽连中”的吉祥寓意，某校食堂购进甲、乙两种粽子520个，其中甲种粽子花费600元，乙种粽子花费800元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
【正确答案】乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买200个、320个．
【详解】试题分析：
设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元， 根据购买两种粽子各自所花金额表达出两种粽子各自购买的数量，两种粽子共买了520个即可列出方程，解方程检验可得所求结果.
试题解析；
设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得，，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5是原分式方程的解，
∴（1+20%）x=3，
则买甲粽子为：（个），乙粽子为：（个）．
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买200个、320个．
25. 校车是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的速度？
【正确答案】（1）100（）米；（2）超速.
【分析】（1）分别在Rt△APO，Rt△BOP中，求得AO、BO的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．
【详解】解：(1)在Rt△BOP中,∠BOP=90°，
∵∠BPO=45°，OP=100，
∴OB=OP=100.
在Rt△AOP中,∠AOP=90°，
∵∠APO=60°，
∴AO=OP⋅tan∠APO.
∴AO=100，
∴AB=100(−1)(米)；
(2)∵此车的速度=100(−1)4=25(−1)≈25×0.73=18.25米/秒
60千米/小时=≈16.67米/秒，
18.25米/秒>16.67米/秒，
∴此车超过了白田路每小时60千米的速度.
26. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）相切，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据圆周角定理，由得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD
本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
27. 某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量至多，乙车每小时的运输量至少，乙车每小时运6吨，如图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（小时）之间函数图象，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输．
（1）在甲、乙、丙三辆车中，出货车是 ．（直接写出答案）
（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？
（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为8吨？
【正确答案】（1）甲；（2）甲车和丙车每小时各运8吨和10吨；（3）甲、乙两车又工作了6小时，库存是8吨．
详解】试题分析：
（1）由已知条件可知：丙车每小时运输量至多，乙车每小时运输量6吨是运输量至少的，则甲车的运输量在两者之间，OA段只有甲和丙参加，且两小时仓库中增加了6吨货，由此可知，甲是出货车，丙是进货车；
（2）设甲车每小时运输量为x吨，丙车每小时运输量为y吨，根据图中三段函数图象所反映的数量关系即可列出方程组，解方程组即可求得答案；
（3）设8小时后，甲、乙两车又工作了m小时，则有题意（2）中所得结果可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
试题解析：
（1）乙、丙是进货车，甲是出货车．
故答案为甲．
（2）设甲、丙两车每小时运货x吨和y吨，
则，解得： ，
∴甲车和丙车每小时各运8吨和10吨．
（3）设8小时后，甲、乙两车又工作了m小时，库存是8吨，则有
（8﹣6）m=10+10﹣8，
解得m=6．
答：甲、乙两车又工作了6小时，库存是8吨．
28. 如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（没有含端点），连接．一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间至少？
【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点、的坐标，进而求出直线的解析式，接着求出点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式确定的值．
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①当时；②当时．
（3）作轴交抛物线于，作轴于，作于，根据正切的定义求出的运动时间时，最小即可．
【详解】（1），
点的坐标为、点的坐标为，
直线点，
，
，
当时，，
则点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得，，
则抛物线的解析式为；
（2）如图1中，设，作轴于．
①当时，，
，即，
即．解得．
，
解得或1（舍弃），
当时，，
，即，
，
即，
解得或（舍弃），
．
②当时，，
，即，
，
，
，
解得或1（舍弃），
当时，，
，即，
，
或（舍弃），
．
（3）如图2中，作轴交抛物线于，作轴于，作于，
则，
，
，
，
的运动时间，
当和共线时，最小，
则，此时点坐标．
本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列四个数中，一个数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 1 D. π
2. 中科院国家天文台10月10日宣布，位于贵州的“中国天眼”(FAST于2017年8月22日发现一颗脉冲星，编号为J859-0131，自转周期为1.83秒，据估算距离地球约1.6万光年.1.6万光年用科学记数法表示为（ ）
A. 1.6×105光年 B. 1.6×104光年 C. 0.16×105光 D. 16×104光年
3. 计算(a-1)2的结果是（ ）
A. a2-1 B. a2+1 C. a2-2a+1 D. a2+2a-1
4. 如图，一个半球与一个圆锥恰好叠合在一起，则该几何体的主视图是（ ）
A B. C. D.
5. 某校为了解七年级学生最喜欢的校本课程(厨艺课、数字与生活、足球、采茶戏)情况，随机抽取了部分七年级学生进行问卷，每名学生必须选且只能选一门.现将结果绘制成如图所示的两幅统计图.若该校七年级共有1050名学生，则其中最喜欢“数字与生活”的学生有（ ）
问卷结果条形统计图 问卷结果扇形统计图
A. 105人 B. 210人 C. 350人 D. 420人
6. 某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆.设该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2000(1+x)2=4500 B. 2000(1+2x)=4500
C. 2000(1-x)2 =4500 D. 2000x2=4500
7. 已知x=1是关于x的方程+=2的解，则m的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 4 D. 3
8. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为( )
A. 20° B. 50° C. 80° D. 110°
9. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在数学课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D. 当E，F，G，H没有是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
10. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6-3 D. 3-3
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满20分)
11. 计算:|-1|-=___________.
12. 如图，⊙O半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是_____．
13. 没有等式组的解集为____________.
14. 如图，矩形ABCD为一块钢板，其中AB=20，AD=40，先裁剪下一块直角三角形ABE，∠BAE=45°，点E在BC上，然后再从剩余的部分中裁剪下块锐角为30°的直角三角形AEF，则△AEF的面积为_______
三、解 答 题
15. 计算：（-5)0+0
16. 先化简，再求值:（）+1在0，1，2，4中选一个合适的数，代入求值.
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形)，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的格点△A1B1C1，
（2）请判断△A1B1C1与△DEF是否相似，若相似，请写出相似比；若没有相似，请说明理由.
18. 观察下列等式：
①1+2=3；
②4+5+6=7+8；
③9+10+11+12=13+14+15；
④16+17+18+19+20=21+22+23+24；
（1）请写出第五个等式；
（2）你的发现，试说明145是第几行的第几个数?
19. 如图所示是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧OC=OD=2.5米，
（1）若CD=1.4米，求梯子顶端O离地面的高度；
（2）《建筑施工高处作业技术规范》规定:使用“人字梯”时，上部夹角(∠AOB)以35°～45°为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施.如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯，他测得OA=OB=2米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果到0.1米，参考数据:sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95，tan17. °5≈0.32，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41)
20. 有4张分别标有数字2，3，4，6的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为x；小颖在剩下的3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为y，
（1）①:小红摸出标有数字3的牌，②:小颖摸出标有数字1的牌，则( )
A.①是必然，②是没有可能，
B.①是随机，②是没有可能，
C.①是必然，②是随机，
D.①是随机，②是必然，
（2）若|x-y|≤2，则说明小红与小颖“心领神会”，请求出她们“心领神会”概率.
21. 如图1，在矩形ABCD中，点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)，反比例函数y=(x>0)的图象点D，且与AB相交于点E,
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C、E作直线，求直线CE的解析式；
（3）如图2，将矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，求线段BD扫过的面积.
22. 小明在打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）球在运动的过程中离地面的高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
23. 定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为 ．
猜想论证：
(2)在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年河北省唐山市中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 1 D. π
【正确答案】D
【详解】分析：π≈3.14，正数大于0，0大于负数.
详解：因为正数大于0，0大于负数，正数中π，所以的数是π.
故选D.
点睛：实数大小比较的一般方法：①定义法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两个负数值大的反而小；③在数轴上表示的数，右边的总比左边的大.
2. 中科院国家天文台10月10日宣布，位于贵州的“中国天眼”(FAST于2017年8月22日发现一颗脉冲星，编号为J859-0131，自转周期为1.83秒，据估算距离地球约1.6万光年.1.6万光年用科学记数法表示为（ ）
A. 1.6×105光年 B. 1.6×104光年 C. 0.16×105光 D. 16×104光年
【正确答案】B
【详解】分析：表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数.
详解：1.6万＝1.6×104.
故答案为B.
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
3. 计算(a-1)2的结果是（ ）
A. a2-1 B. a2+1 C. a2-2a+1 D. a2+2a-1
【正确答案】C
【详解】分析：根据完全平方差公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2计算.
详解：(a－1)2＝a2－2a＋1.
故答案为C.
点睛：本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的和(或差)的平方，等于它们的平方的和加上(或减去)它们的乘积的2倍．
4. 如图，一个半球与一个圆锥恰好叠合在一起，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：几何体的主视图是从正面看所得的图形.
详解：上面是圆球，下面是圆锥，看得见的线是实线，看没有见的线是虚线.
故选A.
点睛：主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，左视图指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图指从立体图形的上面看到的平面图．可见轮廓线用实线，没有可见轮廓线用虚线.
5. 某校为了解七年级学生最喜欢的校本课程(厨艺课、数字与生活、足球、采茶戏)情况，随机抽取了部分七年级学生进行问卷，每名学生必须选且只能选一门.现将结果绘制成如图所示的两幅统计图.若该校七年级共有1050名学生，则其中最喜欢“数字与生活”的学生有（ ）
问卷结果条形统计图 问卷结果扇形统计图
A. 105人 B. 210人 C. 350人 D. 420人
【正确答案】B
【详解】分析：先求出的人数，再由的人数中最喜欢“数字与生活”的学生所占的百分比乘以七年级的总人数.
详解：的总人数为24÷40%＝60，
则七年级1050名学生中最喜欢“数字与生活”的学生有×1050＝210人.
故选B.
点睛：解题的关键是求出的人数，一般要条形图与扇形图，从条形图中得到某一项的人数a，再从扇形图中得到相应项所占人数的百分比b，由a÷b即可得到的人数(即样本容量).
6. 某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆.设该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2000(1+x)2=4500 B. 2000(1+2x)=4500
C. 2000(1-x)2 =4500 D. 2000x2=4500
【正确答案】A
【详解】分析：2月份该型号汽车的销量为2000(1＋x)；3月份该型号汽车的销量为2000(1＋x)2，根据题中的相等关系则可列方程.
详解：根据题意得，2000(1＋x)2＝4500.
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，可以套用增长率问题的模型，年的产量是a，n年后的产量是b，若平均每年的增长率是x，则有，将相关的数据对应代入即可得到符合题意的方程．
7. 已知x=1是关于x的方程+=2的解，则m的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 4 D. 3
【正确答案】C
【详解】分析：把x=1代入原方程，得到关于m的分式方程，解关于m的分式方程即可.
详解：把x＝1代入方程＝2得，
＝2，解得m＝4，
经检验，m＝4是方程的解.
故选C.
点睛：解分式方程的基本思路是，将方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母没有等于0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解．
8. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为( )
A. 20° B. 50° C. 80° D. 110°
【正确答案】C
【详解】分析：∠ACA′等于旋转角，由l1∥l2得∠1＝∠BCA′.
详解：根据旋转的性质得，∠ACA′＝50°，又∠ACB＝30°，
所以∠BCA′＝30°＋50°＝80°，
因为l1∥l2，所以∠1＝∠BCA′＝80°.
故答案为C.
点睛：本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转的距离相等.
9. 如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在数学课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D. 当E，F，G，H没有是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
【正确答案】B
【分析】A.用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；B.判断四边形EFGH的内角能否为直角；C.根据菱形的定义判断；D.当AD＝3DH，BD＝3DE，AC＝3CG，BC＝3CF时判断四边形EFGH是平行四边形.
【详解】解：如图1，∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH平行四边形.
则A正确；
如图2，当AC⊥BD时，∠1＝90°，
∠1>∠2>∠EHG，∴四边形EHGF没有可能是矩形，则B错误；
AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGHB是菱形.
则C正确；
如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形.
∵E，F，H，G是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，
，，∴EH＝FG，
又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，则D正确.
故选B.
判定两个三角形相似的方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④有两个角相等的三角形相似．
10. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6-3 D. 3-3
【正确答案】D
【分析】点F在以AB为直径的圆上，当圆心，点F，C在一条直线上时，CF取最小值，且最小值为CE－EF．
【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，FE．
因为∠AFB＝90°，所以EF＝ AB＝3，
因为△ABC是等边三角形，所以CE＝3
当点E，F，C三点在一条直线上时，
CF有最小值，且最小值为CE－EF＝3 －3
故选D．
求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满20分)
11. 计算:|-1|-=___________.
【正确答案】-1
【详解】分析：分别计算出－1的值和4的算术平方根，再做减法.
详解：|－1|－＝1－2＝－1.
故答案－1.
点睛：本题考查了值和算术平方根，一个非负数的算术平方根一定是非负数，一个数的值也是非负数.
12. 如图，⊙O半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是_____．
【正确答案】π．
【详解】分析：连接OB，OC，由圆周角定理可得∠BOC的长，再根据弧长公式求解.
详解：连接OB，OC，
则∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°，
所以劣弧BC的长是.
故答案为.
点睛：本题考查了圆周角定理弧长公式，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半；半径为r，圆心角为n的弧长为.
13. 没有等式组的解集为____________.
【正确答案】x1
【详解】分析：分别求出没有等式组中两个没有等式的解集，再求没有等式组的解集.
详解：，
解没有等式①得，x≤1；
解没有等式②得，x＜4.
所以原没有等式组的解为x≤1.
故答案为x≤1.
点睛：一元没有等式组的解法是：对组成没有等式组的没有等式分别求解，取各个没有等式解集的公共部分，即为没有等式组的解集；确定一元没有等式组解集应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小是无解．
14. 如图，矩形ABCD为一块钢板，其中AB=20，AD=40，先裁剪下一块直角三角形ABE，∠BAE=45°，点E在BC上，然后再从剩余的部分中裁剪下块锐角为30°的直角三角形AEF，则△AEF的面积为_______
【正确答案】或100
【详解】分析：因为∠DAE＝45°＜90°，所以90°的角可能是AE所对的角，也可能是AF所对的角，
详解：由题意可知∠DAE＝45°，故∠EAF只能为30°，分两种情况考虑
如图1，当∠AFE＝90°，
易知EF＝AE＝10，AF＝EF＝10，
所以S△AEF＝AF×EF＝100.
如图2，当∠AEF＝90°时，
易知AE＝20，EF＝AE＝，
所以S△AEF＝AE×EF＝；
故答案为或100.
点睛：已知△AEF的边AE的位置和长度，及∠EAF的大小，则直角顶点有两种情况，①∠AFE＝90°；②∠AEF＝90°，分别画出图形，含30°角的直角三角形及勾股定理求解.
三、解 答 题
15. 计算：（-5)0+0
【正确答案】2.
【详解】分析：底数没有为0的0次幂等于1，°＝，按实数的混合运算顺序计算.
详解：(－5)0＋°
＝1＋×
＝1＋1
＝2.
点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是30°角的正切值，三是0指数幂的运算．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查．
16. 先化简，再求值:（）+1在0，1，2，4中选一个合适的数，代入求值.
【正确答案】x，当x=4时，原式=4.
【详解】分析：先分式混合运算的法则化简分式，再在指定的4个数中选取一个使原分式及计算过程中的分式都有意义的值代入计算.
详解：(＋1
＝·＋1
＝x－1＋1
＝x.
当x＝4时，原式＝4.
点睛：分式的化简求值，首先要对分式进行化简，注意除法要统一为乘法运算，把多项式要进行因式分解，便于约分等；然后再把字母的值代入到化简后的代数式求值．选取喜欢的值代入时注意要使所有分式都有意义．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫格点三角形)，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的格点△A1B1C1，
（2）请判断△A1B1C1与△DEF是否相似，若相似，请写出相似比；若没有相似，请说明理由.
【正确答案】(1)作图见解析； (2)相似，相似比为1:2.
【详解】分析：(1)根据轴对称的性质分别画出点A，B，C关于y轴的对称点；(2)分别计算出两个三角形的边长，判断对应边是否成比例.
详解：(1)格点△A1B1C1如图所示，
(2)相似，相似比为1:2.
由图形得，A1B1＝1，B1C1＝，C1A1＝，则A1B1:B1C1:C1A1＝；
DE＝2，EF＝，FD＝，则DE:EF:FD＝；
所以A1B1:B1C1:C1A1＝DE:EF:FD.
则△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1:2.
点睛：在格点图中判断两个三角形是否相似，可勾股定理计算三角形的边长，如果它们的三边对应成比例，则这两个三角形相似.
18. 观察下列等式：
①1+2=3；
②4+5+6=7+8；
③9+10+11+12=13+14+15；
④16+17+18+19+20=21+22+23+24；
（1）请写出第五个等式；
（2）你的发现，试说明145是第几行的第几个数?
【正确答案】(1)25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35；(2) 145是第12行的第2个数.
【详解】分析：(1)第五个等式的个数是52，且是连续5个自然数相加；(2)比145小的最接近的自然数是144＝122.
详解：(1)25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；
(2)根据规律可知第n行第1个数为n2，
122＝144，
145是第12行的第2个数.
点睛：数字的排列规律问题的一般解法是：通过观察.分析.归纳并发现其中的规律，找出数字的排列规律，弄清数字之间的联系，得出运算规律，然后验证猜想的规律，再根据得到的规律解决问题．
19. 如图所示的是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧OC=OD=2.5米，
（1）若CD=1.4米，求梯子顶端O离地面的高度；
（2）《建筑施工高处作业技术规范》规定:使用“人字梯”时，上部夹角(∠AOB)以35°～45°为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施.如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯，他测得OA=OB=2米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果到0.1米，参考数据:sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95，tan17. °5≈0.32，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41)
【正确答案】(1) 2.4米； (2)他所需的绳子的长度应该在2.0米到2.3米之间.
【详解】分析：画出与实际问题对应的图形，(1)作OE⊥CD于点E，用勾股定理求OE；(2)作OF⊥AB于点F，分别求出当∠AOE＝35°和45°时的AB的长.
详解：(1)如图1，作OE⊥CD于点E，
△OCD中，∵OC＝OD，且OE⊥CD.CE＝CD＝0.7，
所以OE＝＝2.4米；
(2)如图2，作OF⊥AB于点F，
△OAB中，OA＝OB，且OF⊥AB，
所以∠AOF＝∠BOF＝∠AOB，AF＝FB＝AB.
Rt△OAF中，sin∠AOF＝，
∴AF＝OA·sin∠AOF，
由题意知35°≤∠AOB≤45°，
当∠AOF＝17.5°时，AF＝OA·sin∠AOF＝2×sin17.5°≈0.60米，
此时，AB≈1.20米，所需的绳子约为2.0米，
当∠AOF＝22.5°时，AF＝OA·sin∠AOF＝2×sin22.5°≈0.76米，
此时，AB≈1.52米，所需的绳子约为2.3米，
所以，他所需的绳子的长度应该在2.0米到2.3米之间.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题．
20. 有4张分别标有数字2，3，4，6的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为x；小颖在剩下的3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为y，
（1）①:小红摸出标有数字3的牌，②:小颖摸出标有数字1的牌，则( )
A.①是必然，②是没有可能，
B.①是随机，②是没有可能，
C.①是必然，②是随机，
D.①是随机，②是必然，
（2）若|x-y|≤2，则说明小红与小颖“心领神会”，请求出她们“心领神会”的概率.
【正确答案】(1)B；(2) P(她们“心领神会”) =.
【详解】分析：(1)摸出标有数字3的牌是可能，摸出标有数字1的牌是没有可能；(2)列表计算出|x－y|所有可能的结果和满足|x－y|≤2的结果.
详解：(1)B；
(2)所有可能出现的结果如图
小颖
小红
2
3
4
6
2
(2，3)
(2，4)
(2，6)
3
(3，2)
(3，4)
(3，6)
4
(4，2)
(4，3)
(4，6)
6
(6，2)
(6，3)
(6，4)
从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同
其中|x－y|≤2结果有8种，
小红.小颖两人“心神领会”的概率为P(她们“心领神会”)＝.
点睛：本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，在等可能中，如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的A可能出现的结果数是m，那么A的概率为.
21. 如图1，在矩形ABCD中，点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)，反比例函数y=(x>0)的图象点D，且与AB相交于点E,
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C、E作直线，求直线CE的解析式；
（3）如图2，将矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，求线段BD扫过的面积.
【正确答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)直线CE的解析式为y=x-1；(3) 3.
【详解】分析：(1)由矩形的性质求得点D的坐标，即可求得k；(2)根据反比例函数的解析式求点E的坐标，用待定系数法求直线CE的解析式；(3)BD扫过的面积是一个平行四边形，它的面积＝2S△BB′D′.
详解：(1)由题意得AD＝CB＝1，故点D的坐标为(1，2)，
∵函数y＝的图象点D(1，2)，
∴2＝.∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
(2)当y＝1时，1＝.∴x＝2，∴E(2，1)，
设直线CE的解析式为y＝kx＋b，根据题意得
解得
∴直线CE的解析式为y＝x－1；
(3)∵矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，点D(0，1)，B'(2，0)，
S四边形BDD′B′＝2S△BB′D′＝2××3×1＝3.
点睛：求反比例函数的解析式即是要求出双曲线上的一点的坐标；求函数的解析式即是要求出直线上的两个点的坐标后，用待定系数法列方程组求解.
22. 小明在打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）球在运动的过程中离地面的高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
【正确答案】(1)y与x的函数表达式为y=-x2+x+1；(2)篮球在运动的过程中离地面的高度为3m；(3)小亮离小明的最短距离为6m.
【详解】分析：(1)由点P的坐标求函数的解析式；(2)求(1)中函数解析式的值；(3)把y＝2.5代入(1)中的函数解析式求解.
详解：(1)∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2＋x＋c，解得c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝－x2＋x＋1.
(2)y＝－x2＋x＋1
＝x2－8x)＋1
＝(x－4)2＋3，
当x＝4时，y有值3
故篮球在运动的过程中离地面的高度为3m；
(3)令y＝2.5，则有－(x－4)2＋3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2没有合题意，应舍去，
故小亮离小明的最短距离为6m.
点睛：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解横轴和纵轴的实际意义，横轴表示得篮球在运动过程中小明的距离，纵轴表示篮球在运动过程中的高度.
23. 定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为 ．
猜想论证：
(2)在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1)①；②3； (2) AM=DE，证明见解析； (3)存在，证明见解析， PM =1.
【分析】（1）①只要证明△BAC≌△EAD，推出BC=DE，由AM⊥BC，推出BM=CM，推出AM=BC=DE；
②只要证明△AMC≌△DNA，即可解决问题；
（2）结论：DE=2AM，只要证明△AMC≌△DNA即可；
（3）如图4中，结论：存在．连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．点P即为所求的点；
【详解】（1）①如图2中，
∵AB=AC=AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴△BAC≌△EAD，
∴BC=DE，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM，
∴AM=BC=DE．
故答案为．
②如图3中，
∵∠BAC=120°，AB=AC，AM⊥BC，
∴∠CAM=60°，BM=CM=3
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAD=60°，
∵AE=AD，
∴△EAD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠AMC=∠AND=90°，∠CAM=∠D，AC=AD，
∴△AMC≌△DNA，
∴AN=CM=3，
故答案为3．
（2）如图1中，结论：DE=2AM．
∵AD=AE，AN⊥DE，
∴EN=DN，∠DAN=∠NAE，同法可证：∠CAM=∠BAM，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠DAN+∠CAM=90°，
∵∠CAM+∠C=90°，
∴∠DAN=∠C，
∵∠AND=∠AMC=90°，AC=DA，
∴△AMC≌△DNA，
∴AM=DN，
∴DE=2AM．
（3）如图4中，结论：存在．
理由：连接AC，取AC的中点P，连接PD、PB、作PM⊥BC于M．
∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∵PA=PC，
∴PA=PD=PC=PB，
∴△PCD，△PCB都是等边三角形，
∴∠CPD=∠CPB=60°，
∴∠APD=120°，
∴∠APD+∠CPB=180°，
∴△APD和△PBC是“顶补等腰三角形”，
在等边三角形△PBC中，∵BC=PC=PB=2，PM⊥BC，
∴PM=×2=．
本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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