2022-2023学年江苏省常州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

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2022-2023学年江苏省常州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一．填 空 题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
1. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．
2. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_________．
3. 一组数据-3，-1，1，3，5的方差是_________________．
4. 在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为________．

5. 抛物线的顶点坐标是_________．
6. 若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为________cm（结果保留根号）．
7. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为_________cm．
8. AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为多少？．

9. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=_____．

10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则二次函数y=ax2+bx+cx=2时，y=______．
11. 如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△B′O′C′与△BOC是以点A为位似的位似图形，且相似比为2：1，则点B′的坐标为____________．

12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②c=﹣3a；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；
④若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2；
⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是_________．（只填序号）

二．选一选（本大题共5小题，每题3分，共15分）
13. 若x=3是方程x2﹣5x+m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A ﹣2 B. 2 C. ﹣5 D. 5
14. 在一个没有透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个
15. 二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，的值为
A. 8 B. 0 C. 3 D. -8
16. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
17. 如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，点M是劣弧AB上的任一点，过M作⊙0的切线分别交PA、PB于点C、D，过圆心O且垂直于OP的直线与PA、PB分别交于点E、F，那么的值为（　　）

A. B. C. 1 D. 2
三．解 答 题（本大题共11小题，共81分）
18. 解方程：
（1）3x2﹣2x﹣1=0； （2）（x+3）2=2（x+3）
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2－x＋a2－2a－2＝0有一根是1，求a的值．
20. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
21. 小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？
（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和没有可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
22. 如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．

（1）求FG的长；
（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD与AC相交于点E，AB=9，BC=4，DC=3．
（1）求BE的长度；
（2）求△ABE的面积．

24. 如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．

25. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O半径．

26. 已知函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（没有与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x﹣2）的图象交于点C．
（1）求a、b的值及B点的坐标；
（2）求线段PC长的值.

27. 在美化校园的中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，没有考虑树的粗细），求花园面积S的值.

28. 如图，点A（0，﹣2）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，D为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）过点D作y轴的平行线交AC于点E，若AD=AE，求点D的坐标；
（3）连接BD交AC于点F，求的值．













2022-2023学年江苏省常州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一．填 空 题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
1. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．
【正确答案】

【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x ( x +3)＝0，
x＝0或 x +3＝0，
；
故．
本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．
2. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_________．
【正确答案】且

【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴ 且 ，
即且 ，
∴且．
故且
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个没有相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．
3. 一组数据-3，-1，1，3，5的方差是_________________．
【正确答案】8

【详解】∵，
∴
=
=.
即：-3，-1，1，3，5的方差是8.
4. 在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为________．

【正确答案】

【详解】试题分析：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份，故针头扎在阴影区域的概率为；故答案为．
考点：几何概率．
5. 抛物线的顶点坐标是_________．
【正确答案】

【详解】∵抛物线y=-（x+1）2+2，
∴抛物线y=-（x+1）2+2的顶点坐标为：（-1，2），
故答案是：（-1，2）．
6. 若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为________cm（结果保留根号）．
【正确答案】3（﹣1）

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【详解】根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC=AB=×6=3（﹣1）．
故3（﹣1）．
7. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为_________cm．
【正确答案】4．

【详解】试题分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2，
∴该圆锥的高为：=4．
考点：圆锥的计算．
8. AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为多少？．

【正确答案】

【分析】连接AQ，根据圆周角定理得∠AQB=90°，证△ABQ是等腰直角三角形，由三角函数得BQ=AQ=.
【详解】如图，连接AQ，由题意可知：∠BPQ=45°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AQB=90°，
又∵∠BAQ=∠BPQ=45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ=AQ=.
即，答案为.

考核知识点：圆周角定理，三角函数.
9. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=_____．

【正确答案】16：81

【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=，
故答案为16：81．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=______．
【正确答案】﹣8

【详解】试题分析：观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，
解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴x=0和x=2时的函数值相等，
∴x=2时，y=﹣8．
故答案为﹣8．
11. 如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△B′O′C′与△BOC是以点A为位似的位似图形，且相似比为2：1，则点B′的坐标为____________．

【正确答案】（3，2）或（﹣9，﹣2）##（﹣9，﹣2）或（3，2）

【详解】∵在中，当时，；当时，，
∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（-3，0），
∴OB=1，OA=3.
如下图，由题意可知，点B′在直线AB上，且AO′：AO=2:1，B′O′：BO=2：1
∴AO′=6，O′B′=2，
∴OO′=3或9，
∴点B′的坐标为（3，2）或（-9，-2）.

点睛：没有特别说明的时候，作某个图形关于定点的位似图形，通常有2个，在位似两侧各有1个，解题时，没有要忽略了任何一个.
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②c=﹣3a；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；
④若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2；
⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是_________．（只填序号）

【正确答案】②③④##②④③##③④②##③②④##④②③##④③②

【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴该二次函数图象对称轴为：直线，
∴，即，故①错误；
（2）由题意可知：y=ax2+bx+c（a＞0）图象过点A（-1，0），
∴，
又∵，
∴，即，故②正确；
（3）∵由（1）可知，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，
∴最小=，
又∵在二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）中，当时，
∴，
∴，故③正确；
（4）∵若，则，
∴是方程的两根，
∴，故④正确；
（5）由题意可知，AB=4，若要使△ABC是等腰三角形，存在以下三种情况：
I、当AB=BC=4时，∵OB=3，∠BOC=90°，
∴OC=，即，
又∵，
∴；
II、当AB=AC=4时，∵OA=1，∠AOC=90°，
∴OC=，即，
又∵，
∴；
III、当AC=BC时，∵∠AOC=∠BOC=90°，AO=1，BO=3，
∴AC2=AO2+OC2，BC2=BO2+OC2，
∴，此方程无解，
∴AC=BC没有成立；
综上所述，使△ABC为等腰三角形的的取值只有2个，故⑤错误；
即上述5个结论中，正确的是：②③④.
点睛：在分析第5个结论时，要注意两点：（1）使△ABC成为等腰三角形有三种情况，要一一讨论，没有要忽略了任何一种；（2）分情况讨论时，要注意前面已经证明了的条件：的应用.
二．选一选（本大题共5小题，每题3分，共15分）
13. 若x=3是方程x2﹣5x+m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. ﹣5 D. 5
【正确答案】B

【详解】试题解析：由根与系数的关系，设另一个根为x，
则3+x="5，"
即x="2．"
故选B．
考点：根与系数的关系．
14. 在一个没有透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个
【正确答案】D

【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．
∴，解得：x=12．
经检验：x=12是原方程的解
∴白球个数为12个．
故选D．
15. 二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，的值为
A 8 B. 0 C. 3 D. -8
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵二次函数y=，当x＜-2时，y随x的增大而减小；当x＞-2时，y随x的增大而增大，∴对称轴为x=-2，∴y=（即y=，∴m=-4，∴二次函数y=，当x=1时，y=1+4+3=8．故选A．
考点：二次函数的性质．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【正确答案】C

【分析】连接OC，由圆周角定理可知，又由DC是⊙O切线，可知，根据直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
【详解】解：连接OC，如下图：

∵，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴是直角三角形
∴
∴

故选：C
本题考查切线的性质定理，圆周角定理，以及直角三角形性质，牢记相关知识点，数形解题是关键．
17. 如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，点M是劣弧AB上的任一点，过M作⊙0的切线分别交PA、PB于点C、D，过圆心O且垂直于OP的直线与PA、PB分别交于点E、F，那么的值为（　　）

A. B. C. 1 D. 2
【正确答案】A

【详解】连接OA、OB、OC、OD、OM，
∵PA、PB、CD都是⊙O的切线，
∴∠OPE=∠OPF，∠OCA=∠OCD，∠ODM=∠ODB，∠OAC=∠OMC=∠OMD=∠OBD=90°，
∴∠COA=∠COM，∠DOM=∠DOB，
∵PO⊥EF，
∴∠POE=∠POF=90°，
又∵PO=PO，
∴△POE≌△POF
∴∠E=∠F，OE=OF.
∵∠E+∠AOE=90°，∠F+∠FOB=90°，
∴∠AOE=∠FOB，
∵∠AOE+∠AOC+∠COM+∠DOM+∠DOB+∠FOB=180°，
∴2∠FOB+2∠AOC+2∠DOB=180°，
∴∠FOB+∠AOC+∠DOB=90°，
∴∠AOC+∠DOF=90°，
又∵∠AOC+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DOF，
又∵∠E=∠F，
∴△EOC∽△FDO，
∴EC:FO=EO:FD，
∴EC·FD=FO·EO=EO2=EF2，
∴.

故选A.
三．解 答 题（本大题共11小题，共81分）
18. 解方程：
（1）3x2﹣2x﹣1=0； （2）（x+3）2=2（x+3）
【正确答案】（1）x1=1，x2=﹣；（2）x1=﹣3，x2=﹣1．

【详解】试题分析：
（1）根据方程特点，用“因式分解法”解此方程即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解此方程即可；
试题解析：
（1）3x2﹣2x﹣1=0，
原方程可化为：（3x+1）（x﹣1）=0，
∴3x+1=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=﹣；
（2）移项得：（x+3）2﹣2（x+3）=0，
分解因式得：（x+3）[（x+3）﹣2]=0，
∴x+3=0或x+3﹣2=0，
解得：x1=﹣3，x2=﹣1．
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2－x＋a2－2a－2＝0有一根是1，求a的值．
【正确答案】a＝2．

【详解】解：将x=1代入，
得：（a+1）﹣1+a2﹣2a﹣2=0，
解得：a1=﹣1，a2=2．
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a=2．
20. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
【正确答案】（1）1个．（2）

【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解．
（2）画出树状图或列表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）设红球有x个，
根据题意得，，
解得x=1．
∴暗箱中红球有1个．
（2）根据题意画出树状图如下：

∵一共有9种情况，两次摸到的球颜色没有同的有6种情况，
∴P（两次摸到的球颜色没有同）．
21. 小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？
（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和没有可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
【正确答案】（1）小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形；（2）他的说法对．

【分析】（1）设围成的两个正方形中其中一个边长为xcm，则另一个正方形的边长为cm，由此根据题意可列出方程 ，解此方程即可；
（2）同（1）可得方程：，化为一般形式由“一元二次方程根的判别式”可知该方程无实数根，从而可得结论；
【详解】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm．
∴x2+（8﹣x）2=40，
即x2﹣8x+12=0．
∴x1=2，x2=6．
∴当时，；当时，；
∴一个正方形的周长为8cm，另一个正方形的周长为24cm，
∴小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．
（2）他的说法对．
假定两个正方形的面积之和能等于30cm2．
根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30．
即x2﹣8x+17=0，
∵△=82﹣4×17＜0，
∴所列方程无解．
∴两个正方形的面积之和没有可能等于30cm2．
22. 如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．

（1）求FG的长；
（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．
【正确答案】（1）FG=6.4；（2）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．

【详解】试题分析：（1）根据=，可以求出FG，由ED=FG，只要求出=即可，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）根据正方形的角都是直角，其余两个角加为90°，根据对顶角、余角等关系，可以看出△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．
解：（1）在正方形ABCD和矩形DEFG中，∠E=∠C=90°，
∵∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，
∴∠EDA=∠CDG，
∴△DEA∽△DCG，
∴=
∵ED=FG，
∴=，
∵GD=10，AD=CD=8，
∴=，
∴FG=6.4；
（2）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD与AC相交于点E，AB=9，BC=4，DC=3．
（1）求BE的长度；
（2）求△ABE的面积．

【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：
（1）先在Rt△BCD中，由勾股定理求得BD的长；再证△ABE∽△CDE，利用相似三角形对应边成比例即可解得BE的长；
（2）如图，作EF⊥AB于点F，延长FE交CD于点H，由已知可证得FH=BC=4，FH⊥CD，由（1）中所得△ABE∽△CDE“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”可得EF：EH=DC：AB=1：3，从而可解得EF的长，即可求得△ABE的面积.
试题解析：
解：（1）∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根据勾股定理得：BD==5，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，
又∵BD=5，
∴BE=BD=；
（2）作EF⊥AB，交CD与点H，可得EH⊥CD，

∵△ABE∽△CDE，
∴EF：EH=DC：AB=1：3，
又∵BC=4，
∴FE=BC=3，
则S△ABE=AB×EF×=．
24. 如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．

【正确答案】灯杆AB的高度为6.4m．

【详解】试题分析：
由已知易证△ECD∽△EAB，从而可得：，即；同理可证，即；由此可得：，解得BG后即可就得AB的长；
试题解析：
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，即，
∵FG∥AB，
∴△DFG∽△DAB，
∴，即，
∴，解得BG=9，
∴，
∴AB=6.4（m），
即灯杆AB的高度为6.4m．
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．

【正确答案】（1）（1）AC与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O半径是．

【详解】试题分析：（1）连结OE，如图，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠DBO，于是可判断OE∥BD，再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，证明△AOE∽△ABD，利用相似比得到，然后解方程求出r即可．
试题解析：（1）AC与⊙O相切．理由如下：
连结OE，如图，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴，即，
∴r=，
即⊙O半径．

考点：圆切线的判定：相似半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（2）小题的关键是利用相似比构建方程．
26. 已知函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（没有与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x﹣2）的图象交于点C．
（1）求a、b的值及B点的坐标；
（2）求线段PC长的值.

【正确答案】（1）（4,8）；（2）．

【详解】试题分析：
（1）把点A的坐标代入函数的解析式可求得b的值，从而可得点A的坐标；再把点A的坐标代入二次函数的解析式可求得a的值，从而可得二次函数的解析式；把两个函数的解析式联立组成二元方程组，解方程组即可求得点B的坐标；
（2）设点P的坐标为（m，m+4），则由题意和二次函数的解析式可得点C的坐标为（m，m2-2m），由此可得：PC=(m+4)-(m2-2m)=-m2+3m+4=-(m-)2+，从而可得线段PC的值；
试题解析：
（1）∵A（﹣1，b）在直线y=x+4上，
∴b=﹣1+4=3，
∴A（﹣1，3）．
又∵A（﹣1，3）在抛物线y=ax（x﹣2）上，
∴3=﹣a•（﹣1﹣2），
解得：a=1．
解方程组可得B点坐标为（4,8）
（2）设P（m，m+4），则C（m，m2﹣2m）．
∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）
=﹣m2+3m+4
=﹣（m﹣）2+，
∵（m﹣）2≥0，
∴﹣（m﹣）2+≤．
∴当m=时，PC有值，值为．
27. 在美化校园的中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，没有考虑树的粗细），求花园面积S的值.

【正确答案】（1）12m或16m；（2）195m2.

【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x值；
（2）根据题意列出S和x的函数关系熟，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出值.
【详解】（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m
（2）∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28-x≥15，x≥6
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的值为195平方米．
本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．

28. 如图，点A（0，﹣2）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，D为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D作y轴的平行线交AC于点E，若AD=AE，求点D的坐标；
（3）连接BD交AC于点F，求的值．

【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）（2，﹣3）；（3）．

【详解】试题分析：
（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中列方程组解得b、c的值即可得到二次函数的解析式；
（2）如图1，过点A作AH⊥DE于点H，由（1）中所得二次函数的解析式可求得点C的坐标，再由A、C坐标可求得直线AC的解析式，设出点D的坐标，则可表达出点E的坐标，由已知条件易得EH=DH，从而可列出方程求得点D的坐标；
（3）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，连接AB，先由已知条件易证△DGE∽△COA，（2）可得：DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）；再利用勾股定理逆定理证∠BAC=90°，从而可证△DGF∽△BAF，由此可得：=﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+，即可得到：的值.
试题解析：
（1）∵点A（0，﹣2）和点B（﹣1，0）均在抛物线上，
∴有，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
（2）过点A作AH⊥DE，垂足为H，如图1．

在y=x2﹣x﹣2中，令y=0得，x=﹣1或x=4，
∴点C坐标为（4，0）．
∵点A坐标为（0，﹣2），
∴直线AC的解析式为y=x﹣2．
设点D坐标为（m，m2﹣m﹣2），
则点E坐标为（m，m﹣2），点H坐标为（m，﹣2）．
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，即﹣2﹣（m2﹣m﹣2）=m﹣2﹣（﹣2），
解得m1=2，m2=0（没有合题意，舍去）．
此时，m2﹣m﹣2=﹣3，
∴点D的坐标为（2，﹣3）．
（3）过点D作DG⊥AC，垂足为G，连接AB，DE交x轴于点P，如图2．

由（2）得，DE=﹣m2+2m．
∵点A（0，﹣2），点B（﹣1，0），点O（0，0），点C（4，0），
∴AB=，AC=2，BC=5，OC=4，OA=2．
∵DE∥y轴，DG⊥AC，
∴∠DGE=∠CPE=90°，
∵∠DEG=∠CEP（对顶角），
∴∠EDG=∠ECP=∠ACO．
又∵∠DGE=∠COA=90°，
∴△DGE∽△COA，
∴，
∴DG=DE=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣4m）．
∵AB=，AC=2，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
又∵∠DFG=∠BFA，
∴△DGF∽△BAF．
∴=﹣（m2﹣4m）=﹣（m﹣2）2+．
∴的值为．
点睛：解第3问时，由B是定点，D是动点可知，的值是随着点D的横坐标的变化而变化的，由（2）可知，DE的长度可由点D的横坐标表达，因此，过点D作DG⊥AC于点G，构造两对相似三角形：△DGE∽△COA，△DGF∽△BAF就可用DE的长（点D的横坐标表达的）表示DG的长，进而通过：，把的值用含点D的横坐标的代数式来表达，通过配方即可求得其值.
















2022-2023学年江苏省常州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（每题2分，共14分）
1. 若＝，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )

A. B. C. D.
3. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，下列条件中，没有能推出△ABC∽△ADE的是（　　）

A. B. ∠B=∠ADE C. D. ∠C=∠AED
4. 我省2013年的快递业务量为1．4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国．若2015年的快递业务量达到4．5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A 1．4（1＋x）＝4．5
B. 1．4（1＋2x）＝4．5
C. 1．4（1＋x）2＝4．5
D. 1．4（1＋x）＋1．4（1＋x）2＝4．5
5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A. B.
C. D.
6. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )

A. B.
C. D.
7. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O点，若S△AOD：S△ACD：=1：4，则S△AOD：S△BOC=（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每题2分，共20分）
8. 在比例尺为1∶50000的地图上，测的A、B两地间的图上距离为16cm，A、B两地间的实际距离为_______km．
9. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为_____．
10. 已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＞BP，那么报幕员应走__________米报幕（结果保留根号）．
11. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，那么tanA=_____．
12. 如图，⊙O是△ABC外接圆，AD是⊙O直径，若⊙O半径为，AC=3，则ta=_____．

13. 如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA＝20cm，AA′═50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是_____．

14. 如图，△ABC中，点D、F在AB边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=_____．

15. 如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有_____个．

16. 如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的值是_____．

三、解 答 题（36分）
17. 解方程：
(1)(x+2)2﹣16＝0
(2)x2﹣2x﹣4＝0．
18. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）请你计算DE的长.

19. 如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒，请分别画出这两根木棒的影子．

20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似，作△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′与△ABC相似比为2：1，且△A′B′C′在第二象限；
（2）在上面所画的图形中，若线段AC上有一点D，它的横坐标为k，点D在A′C′上的对应点D′的横坐标为﹣2﹣k，则k=　 　．

21. 如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△EAB∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．

22. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．

23. 如图，有一路灯杆AB（底部B没有能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

24. 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D．连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9,
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径的长

25. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

26. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；





2022-2023学年江苏省常州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（每题2分，共14分）
1. 若＝，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】设，然后用k表示a和b，进而求得的值．
【详解】解：设，
则有，，
∴．
故选：A．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是利用设k法，用k表示a和b即可．
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：：∵DE∥BC，
∴，
故选C．
考点：平行线分线段成比例．

3. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，下列条件中，没有能推出△ABC∽△ADE的是（　　）

A. B. ∠B=∠ADE C. D. ∠C=∠AED
【正确答案】C

【详解】∵∠DAE=∠BAC，
∴当∠AED=∠C或∠ADE=∠B时，△ABC∽△AED；
当时，△ABC∽△AED．
故选C．
4. 我省2013年的快递业务量为1．4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国．若2015年的快递业务量达到4．5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 1．4（1＋x）＝4．5
B. 1．4（1＋2x）＝4．5
C. 1．4（1＋x）2＝4．5
D. 1．4（1＋x）＋1．4（1＋x）2＝4．5
【正确答案】C

【详解】试题解析：设2015年与2016年这两年平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选C．

5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】根据相似三角形判定方法一一判断即可．
【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选B．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形的思想解决问题，属于中考常考题型．
6. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )

A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，
∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=，
∵AB