2022-2023学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分    一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(    )A.  B.  C.  D. 2.  沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是(    )
   A.     B.     C.  D. 3.  若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点(    )A.    B.      C.  D. 5.  如图，在中，，，若，则(    )A.       B.          C.        D. 6.  如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度与河岸垂直，测量得，两点间距离为米，，则河宽的长为(    )A.  B.  C.  D.    7.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线直线与相交于点，连接，若，则的长是(    )A.  B.  C.  D. 8.  抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C. 或 D. 以上都不对9.  在同一平面直角坐标系中，函数与其中，是常数，的大致图象是(    )A.   B.   C.   D. 10.  如图，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设长为，线段与长度的和为，图是关于的函数图象，图象右端点的坐标为，则图象最低点的坐标为(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.  质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：抽检产品数合格产品数合格率在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是结果保留一位小数 ______． 12.  如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则该反比例函数的解析式为______．13.  据统计，年第一季度宜宾市实现地区生产总值约亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为，则可列方程______ ．14.  如图，矩形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则矩形的面积为______ ．15.  如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为反射角等于入射角，于点，于点，且，，，则的值为______．16.  图是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图所示，此时液面______．
17.  当时，二次函数有最大值，则______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
解方程：．  19.  本小题分
如图，路灯下一墙墩用线段表示的影子是，小明用线段表示的影子是，在处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是．
在图中画出路灯的位置并用点表示；
在图中画出表示大树的线段．
   20.  本小题分
初三年班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中、两个转盘每个转盘分别被二等分和三等分，若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目．试求出这个同学表演唱歌节目的概率要求用树状图或列表方法求解．  21.  本小题分
为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
分别求出药物燃烧时和药物燃烧后关于的函数关系式；
研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？  22.  本小题分
某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度：注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．
求山脚到河岸的距离；
若在此处建桥，试求河宽的长度．
参考数据：，，  23.  本小题分
已知：如图，在▱中，，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是矩形．
24.  本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件，若将每件商品售价定为元，日销售量设为件．
求与的函数表达式；
当为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？  25.  本小题分
已知：如图，在中，，，直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与交于点同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．
当为何值时，四边形是矩形？
设的面积为，求与的函数关系式；
连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：列表如下： 红绿红红，红绿，红绿红，绿绿，绿所有等可能的情况有种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 2.【答案】 【解析】解：这个几何体的主视图如下：

故选：．
根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
 3.【答案】 【解析】解：关于的方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 4.【答案】 【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：．
先把点代入反比例函数的解析式求出的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：由题意得：
，
，
在中，米，，
米，
河宽的长度是米，
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，垂直平分，
，，
，
∽，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
故选：．
根据题意可知：是线段的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 8.【答案】 【解析】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故选：．
根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：若，，
则经过一、二、三象限，反比例函数位于一、三象限，
若，，
则经过一、三、四象限，反比例函数数位于二、四象限，
若，，
则经过一、二、四象限，反比例函数位于二、四象限，
若，，
则经过二、三、四象限，反比例函数位于一、三象限，
故选：．
根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，连接，，

四边形是菱形，，
，垂直平分，，，
，
，
当点在线段上时，有最小值为的长，
点的坐标为，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，
故选：．
由函数图象可得点表示图中点与点重合时，即可求，的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，动点问题的函数图象，理解函数图象中点表示的具体意义是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是，
故答案为：．
根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
 12.【答案】 【解析】解：点在双曲线的图象上，轴，
，，．
，
．
．
，
．
该反比例函数的解析式为．
故答案为：．
利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：．
设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为，根据该地区第三季度的生产总值该地区第一季度的生产总值增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
矩形的面积．
故答案为：．
根据矩形性质可得，，由，可得，所以是的中位线，再根据勾股定理可得的长，进而可得矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，

由题意得：，
又，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
∽，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出∽，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，

，
∽，即相似比为，
，
，，
，
，
故答案为：．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 17.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的值，本题得以解决．
【解答】
解：二次函数，
该函数开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最大值，
当时，该函数取得最大值，此时，
故答案为：．  18.【答案】解：方程整理得：，
这里，，，


，
，
解得：，． 【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
 19.【答案】解：点位置如图；
线段如图．
 【解析】连接、并延长，交点即为路灯的位置；
连接，过点作交于，即为表示大树的线段．
本题考查了中心投影，理解影子与物体的端点的连线所在的直线一定经过光源点是解题的关键．
 20.【答案】解：解法一列举所有等可能的结果，画树状图：
分
由上图可知，所有等可能的结果有种：，，，，，．
其中数字之和为奇数的有种．
表演唱歌分

解法二列表如下：

由上表可知，所有等可能的结果共有种，其中数字之和为奇数的有种．
表演唱歌分． 【解析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出所有情况，让这个同学表演唱歌节目的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入得，
，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入得，
，
药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为：，
；
有效，理由如下：
把代入，得：，
把代入，得：，
，
这次消毒是有效的． 【解析】直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
利用时分别代入求出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
 22.【答案】解：在中，，
的坡度：，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
答：山脚到河岸的距离为；
在中，，，，
，
，
，
答：河宽的长度约． 【解析】在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得；
在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
 23.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
四边形是矩形． 【解析】利用平行四边形的性质，证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 24.【答案】解：，
答：与的函数表达式为；
设每个月的销售利润为元．
依题意得：，
整理得：，
化成顶点式得，
当为元时．每天的销售利润最大，最大利润是元．
答：当为元时．每天的最大利润是元． 【解析】设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件；
根据日利润每件利润日销售量，后把二次函数关系式整理为顶点式可得答案．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键．
 25.【答案】解：在中，
，，，
，
，
，
，
，，
当时，四边形是矩形，
，
解得．



当时，经过的中点，
则有，
解得，不合题意，
不存在某一时刻，使经过的中点． 【解析】由，可得，即，推出，，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；
根据计算即可；
当时，经过的中点．则有，解得，不合题意，推出不存在某一时刻，使经过的中点．
本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题，属于中考常考题型．