2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程x2-2x+3=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
3. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为( )
A. 23 B. 12 C. 13 D. 16
4. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是( )
A. 大鱼与小鱼的相似比是3：1
B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是2：1
C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍
D. 若小鱼上一点的坐标是(a,b)，则在大鱼上的对应点的坐标是(-2b,-2a)
5. 将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ( )
A. y=(x+1)2-13 B. y=(x-5)2-3
C. y=(x-5)2-13 D. y=(x+1)2-3
6. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，csC=14，则sinB的值为( )
A. 102 B. 153 C. 64 D. 104
7. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为278，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y=kx相交于点C，且BC：OC=1：2.则k的值为( )
A. -3B. -94C. 3D. 92
8. 一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，共18分）
9. 在△ABC中，∠B=45°，csA=12，则∠C的度数是______．
10. 黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为______米．(结果精确到0.1)
11. 已知反比例函数y=2x，当x<-1时，y的取值范围为______．
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则平行四边形ABCD的面积为______．
14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE.下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD=S△OCF；③AC：BD=21：7；④FB2=OF⋅DF.其中正确的是______.(填序号)
三、解答题（本题共11小题，共78分）
15. 已知：如图，∠ABC为直角，点D为射线AB上一点．
求作：矩形DBEF，使线段BD为矩形DBEF的一条边，BE=2BD，且点F在∠ABC的内部．
16. 解方程：2x2-7x+3=0．
17. 已知二次函数y=ax2-2x+1的图象与x轴有交点，求a的取值范围．
18. 为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我．”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由．
19. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图(1)所示的坡路进行改造．如图(2)所示，改造前的斜坡的高度AE=100米，坡角∠ABE=30°；将斜坡AB的高度AE降低20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？(结果保留根号)

20. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度．

21. 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少(总利润=总收入-总成本)？
22. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H．
(1)求证：AD⊥EF；
(2)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
23. 某著名索拉桥，在桥头立柱两侧拉着钢索，以其中一根立柱为y轴，以桥面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，左侧钢索近似于直线，底端在远离立柱200米的桥面上的B处固定，C处离桥面100米．右侧钢索近似于
抛物线，该抛物线最低处A离立柱300米，离桥面10米．
(1)求出抛物线和直线的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围)
(2)现要在左右两条钢索上各加一条竖直钢索DE和FG进行加固，要求它们的水平距离相距200米，请问这两条竖直钢索DE和FG加在何处，使得它们的高度之和最小？高度之和最小是多少？
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y=6|x|-|x|的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a=______．
②描点：根据表中的数值描点(x,y)，请补充描出点(2,a)；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质
请写出函数y=6|x|-|x|的一条性质：______；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程6|x|-|x|=5的解______；
②写出不等式6|x|-|x|≤1的解集______．
25. 如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，对角线BD=12cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿BD的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t(s)(0(1)当t为何值时，E为AD的中点？
(2)当t为何值时，△BPQ为直角三角形？
(3)设四边形BPFQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使点F在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符合题意，
故选：B．
根据简单几何体三视图的画法可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：∵a=1，b=-2，c=3，
∴b2-4ac=4-4×1×3=-8<0，
∴此方程没有实数根．
故选：C．
直接利用根的判别式进而判断得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为612=12，
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：A.大鱼与小鱼的相似比是2：1，所以A选项不符合题意；
B.小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2，所以B选项不符合题意；
C.大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；
D.若小鱼上一点的坐标是(a,b)，则在大鱼上的对应点的坐标是(-2a,-2b)，所以D选项不符合题意．
故选：C．
由于大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则利用对应点(2,0)和(-1,0)得到大鱼与小鱼的位似比为2：1，于是可对A选项、C选项、D选项进行判断；根据相似三角形的性质可对C选项进行判断．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题．
先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为(2,-8)，再利用点平移的规律得到把点(2,-8)平移后所得对应点的坐标为(-1,-3)，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
【解答】
解：因为y=x2-4x-4=(x-2)2-8，
所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为(2,-8)，把点(2,-8)向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(-1,-3)，所以平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1)2-3．
故选D．

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD=CA⋅csC=1，
∴AD=AC2-CD2=15；
在Rt△ABD中，BD=CB-CD=3，AD=15，
∴AB=BD2+AD2=26，
∴sinB=ADAB=104．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵BCOC=12，
∴OCOB=23，
∵BA⊥x轴，
∴CD/​/AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴S△DOCS△AOB=(OCOB)2=(23)2=49，
∵S△AOB=278，
∴S△DOC=49S△AOB=49×278=32，
∵双曲线y=kx在第二象限，
∴k=-2×32=-3，
故选：A．
过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a>0，b>0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac<0，b<0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a<0，b<0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项错误．
故选：B．
9.【答案】75°
【解析】解：∵在△ABC中，csA=12，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
根据∠A的余弦值求得∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．
本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属于基础题．
10.【答案】1.1
【解析】解：设窗户的宽为x米，
∵窗户的宽和长的比是黄金比，
∴x1.8≈0.618，
∴x≈1.1，
∴宽约为1.1米，
故答案为：1.1．
利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】-2【解析】解：∵反比例函数y=2x中，k=2>0，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵当x=-1时，y=-2，
∴当x<-1时，-2故答案为：-2先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=-1时y的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
12.【答案】π
【解析】解：由题意可知，几何体是半个圆柱，所以几何体的体积为：12×π×12×2=π．
故答案为：π．
判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
13.【答案】24
【解析】解：过点O作OM⊥AB，与BA的延长线交于点M，与CD交于点N，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB//BC，DE=12DC=12AB，
∴△DOE∽△BOA，MN⊥CD，
∴OMON=ABDE=2，
∴MN=3ON，
∵S△DOE=2，
∴12DE⋅ON=2，
∴DE⋅ON=4，
∴S平行四边形ABCD=CD⋅MN=2DE⋅3ON=6DE⋅ON=6×4=24．
故答案为：24．
根据平行四边形的性质得到AB/​/BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14.【答案】①③④
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=12∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，EA=EB，
∴OE/​/BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE/​/BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴OEBC=OFFB=12，
∴OF=13OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，
设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=3a，
∴OD=OB=a2+(32a)2=72a，
∴BD=7a，
∴AC：BD=3a：7a=21：7，故③正确，
∵OF=7OB=76a，
∴BF=73a，
∴BF2=79a2，OF⋅DF=76a⋅(72a+76a)=79a2，
∴BF2=OF⋅DF，故④正确，
故答案为：①③④．
先证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断①；证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断②；设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断③；求出BF，OF，DF(用a表示)，通过计算证明即可判断④．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是证明△OEF∽△BCF，通过设BC=BE=EC=a表示出BF2与OF⋅DF．
15.【答案】解：如图，矩形DBEF为所作．

【解析】先在BC上截取BE=2BD，然后分别以D点、E点为圆心，BE和BD为半径画弧，两弧相交于点F，则四边形DBEF满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
16.【答案】解：原方程可变形为(2x-1)(x-3)=0
∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12,x2=3．
【解析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．
17.【答案】解：∵二次函数y=ax2-2x+1的图象与x轴有交点，
∴Δ=(-2)2-4⋅a⋅1≥0，
解得：a≤1，
即实数a的取值范围是a≤1．
【解析】根据函数图象与x轴有交点得出对应的方程的Δ≥0，求出即可．
本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，能根据已知条件得出Δ≥0是解此题的关键．
18.【答案】解：此游戏对乙更有利，理由如下：
甲获得电影票的概率=23；
画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的字母相同的结果数为5，
所以乙获得电影票的概率=59．
∵23<59，
∴此游戏对乙更有利．
【解析】分别利用概率公式和画树状图计算各自的概率，然后比较即可．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19.【答案】解：由题意得：
AC=20米，∠AEB=90°，
∵AE=100米，
∴CE=AE-AC=100-20=80(米)，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴BE=AEtan30∘=10033=1003(米)，
∵斜坡CD的坡度为1：4，
∴CEDE=14，
∴DE=4CE=320(米)，
∴BD=DE-BE=(320-1003)米，
∴改造后的斜坡多占(320-1003)米长的地面．
【解析】根据题意可得：AC=20米，∠AEB=90°，则CE=80米，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据斜坡CD的坡度为1：4，求出DE的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：延长OD于点C，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°．
∵OD=0.8m，OE=0.8m，
∴∠DEB=45°．
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE．
设AB=BE=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB/​/CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
xx+(3-0.8)=1.2+0.83，
解得：x=4.4，
经检验：x=4.4是原方程的解，
答：围墙AB的高度是4.4m．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF，属于中档题．
首先根据DO=OE=0.8m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF=COOF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
21.【答案】解：(1)依题意设y=kx+b，则有
360=20k+b210=25k+b
解得k=-30b=960
∴y=-30x+960(16(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
=30(-x2+48x-512)
=-30(x-24)2+1920
∴在16答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
【解析】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力．读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求实际问题的最大利润．
(1)先根据题意设y=kx+b，分别把对应的x=20，y=360；x=25，y=210代入利用待定系数法求解即可；
(2)根据“总利润=总收入-总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P=-30(x-24)2+1920，求其最大值即可．
22.【答案】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
∠EAD=∠FAD∠AED=∠AFDAD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD⊥EF；
(2)解：△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，理由如下：
∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AD⊥EF，
∴矩形AEDF是正方形．
【解析】(1)根据AAS证明△AED≌△AFD，进而利用全等三角形的性质解答即可；
(2)根据正方形的判定解答即可．
本题主要考查了正方形的判定，关键是根据AAS证明△AED≌△AFD解答．
23.【答案】解：(1)由题意可得：A(300,10)，B(-200,0)，C(0,100)，直线过B、C两点．抛物线经过C、A两点，且A点为抛物线顶点，
设抛物线和直线的函数关系式分别为：
y=nx+m，
y=ax2+bx+c，
分别代入数据得：0=-200n+m100=m，100=c10=3002a+300b+c-b2a=300，
解得：n=12m=100，a=0.001b=-0.6c=100，
∴抛物线和直线的函数关系式：
抛物线y=0.001x2-0.6x+100，直线y=12x+100；
(2)设G点为(a,0)，根据题意可知E点为(a-200,0)，分别代入解析式得：
y1=0.001a2-0.6a+100，y2=12(a-200)+100=0.5a，
令钢索DE和FG的高度和为N米，
∴N=y1+y2，
∴N=0.001a2-0.6a+100+0.5a，
∴N=0.001a2-0.1a+100，
∴N=0.001[(a-50)2+97500]，
∴当a=50时，N有最小值，最小值为97.5米，
∴两条竖直钢索DE和FG加在G点(50,0)，E点(-150,0)时，高度之和最小是97.5米．
【解析】(1)根据已知条件确定点的坐标，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；
(2)设G点为(a,0)，根据题意可知E点为(a-200,0)，分别代入解析式，求高的和，再利用配方法求a为何值时，高的最小值，再分别求出点E、点G的坐标．
本题考查了二次函数的应用和一次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，配方法求最值．
24.【答案】1 y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称(答案不唯一) x=1或x=-1 x≤-2或x≥2
【解析】解：(1)①列表：当x=2时，a=6|2|-|2|=1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：

(2)观察函数图象可得：y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称(答案不唯一)；
(3)①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
∴6|x|-|x|=5的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1；
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴6|x|-|x|≤1的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
(1)①把x=2代入解析式即可得a的值；
②③按要求描点，连线即可；
(2)观察函数图象，可得函数性质；
(3)①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
25.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AB=10cm，
∴AD=AB，
∵PE/​/BD，E为AD的中点，
∴p为AB的中点，
∴AP=5cm，
∴t=5÷1=5；
(2)如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB=10cm，BD=12cm，
∴AB=AD=10cm，AC⊥BD，BO=12BD=6cm，BP=(10-t)cm，DQ=2t(cm)，
∵△BPQ为直角三角形，
∴∠BPQ=90°．
∵∠AOB=∠BPQ=90°，∠ABO=∠PBQ，
∴△QBP∽△ABO，
∴PBBO=QBAB，
即10-t6=12+2t10
∴t=1411．
答：当t为1411时，△BPQ为直角三角形．
(3)在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
∴OA=8．
如图，过点P作PM⊥BD于点M，
∴∠PMB=∠AOB，
∵∠PBM=∠ABO，
∴△PBM∽△ABO，
∴PMAO=BPBA，
即PM8=10-t10，
∴PM=8-45t.
∵PE/​/BD，
∴∠APE=∠ABD，∠AEP=∠ADB，
∴△APE∽△ABD，
∴PEBD=APAB，PE12=t10，
∴PE=65t，
∵四边形DQFE是平行四边形，
∴EF=DQ=2t，
∴S=12⋅(PF+BQ)⋅PM=12(65t+2t+2t+12)⋅(8-45t)
=-5225t2+16t+48．
∴s与t的函数关系式为：s=-5225t2+16t+48；
(4)存在，理由如下：
如图，连接BF，若点F在∠ABD的平分线上，
则∠ABF=∠FBQ．
∵PF/​/BQ，
∴∠PFB=∠FBQ，
∴∠PBF=∠PFB，
∴PB=PF，
即10-t=65t+2t，
t=5021，
所以当t=5021时，点F在∠ABD的平分线上．
【解析】(1)根据菱形的性质得AB=AD，当E为AD的中点时，P为AB的中点，进而可求得t的值；
(2)如图，连接AC，交BD于点O.证明△QBP∽△ABO，可得PBBO=QBAB，由此构建方程，可得结论．
(3)由△PBM∽△ABO，推出PMAO=BPBA，即PM8=10-t10，可得PM=8-45t.由△APE∽△ABD，推出PEBD=APAB，PE12=t10，可得PE=65t，再根据S=12⋅(PE+BQ)⋅PM，求解即可．
(4)证明PB=PF，构建方程求解即可．
本题考查四边形的综合应用，掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
x
……
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
……
y
……
-3.8
-2.5
-1
1
5
5
a
-1
-2.5
-3.8
……