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    专题25+奔驰定理与三角形的四心-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题)

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    专题25+奔驰定理与三角形的四心-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题)

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    这是一份专题25+奔驰定理与三角形的四心-2023年高考数学优拔尖核心压轴题(选择、填空题),共18页。学案主要包含了方法点拨,典型例题,巩固练习,答案与提示等内容,欢迎下载使用。
    专题25 奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理:内一点,的面积分别记作.   说明:本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式:(1)的重心.(2)的内心.(3)的外心.(4)的垂心.3.需记忆三角形的四心与向量关系:1重心是平面内任一点, 重心.2垂心,若垂心,则3外心,若外心,则外心,则对于平面内任意点,均有: 4内心内心内心4.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和四心相关的问题,有着决定性的基石作用【典型例题】1    中,分别为内角的对边,的外心,且有,若,则________【答案】【解析】由正弦定理得,所以,即由条件得,联立解得,或.时,,得,所以.  同理,由,得,即所以.   联立①②解得. . 时,同理可得 解得.2     为三角形内部一点,均为大于1的正实数,且满足,若分别表示的面积,则为(    A   B C D【答案】解析    如图设,即的重心同理可得所以.故选:解析由奔驰定理得:.故选:3   ABC中,ABC所对的边abca=b=4c=6IABC中内切圆的圆心,【答案】【解析一(向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法)易求得,而,所以另一方面,对上式两边同时作数量积得:易知所以所以.【解析二】(奔驰定理)联想到奔驰定理,将转化为整理为:由奔驰定理得解之得.点评:    解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉,解决起来有较大难度,而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.4     已知的重心,且满足 =           .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1,求得三内角的正弦比,再利用正、余弦定理求得.【解析】∵的重心由正弦定理,弦定理,,∴ .5    HABC心,若的值为    A        B      C          D【答案】D【解析】因为,由三角形垂心的向量定理得代入得,解之得所以又因为,所以.6    已知点O所在平面内一点,且,则下列选项正确的是(    A.                        B. 直线必过中点C.        D. ,且,则【答案】ACD【解析】对于A,插入点A,所以对于B,若直线中点,则,由上知,不成立;对于C,由奔驰定理知对于D,由,两边平方得.7   ABC中,角ABC所对的边分别为abc ABC的外接圆的圆心为,且满足的值         .【答案】【解析】∵,即,∴,∴两边同时点乘得:由正弦定理知.                           【巩固练习】1.已知PABC所在平面内一点,若···,则PABC(  )A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心2.已知O是平面上一定点,ABC是平面上不共线的三个点,动点P满足λλR,则P点的轨迹一定经过ABC(  )A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心3PABC内部满足230SABCSAPC(  )A21  B32  C31  D534OABC内一点SAOBSBOCSAOC432λμ则实数λμ的值分别(  )A.      B.         C.        D.5.OABC的内心,ABcACbBCa,若则(    A        B      C          D6.已知O为正内的一点,且满足,若的面积与的面积的比值为3,则的值为(    A B C2 D37.ABC中,ABC所对的边abca=5b=12c=13IABC内切圆的圆心,,则=________8.ABC中,AB=3BC=4AC=5 IABC内切圆的圆心,,则=________9.已知是锐角的外接圆圆心,,则实数的值为__________10.已知所在平面内一点,且满足,则=          .11.中,,点分别为的重心和外心,且,则的形状是(   )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能12.已知椭圆的左、右焦点分别为,经过的直线与椭圆交于两点,的内切圆的圆心为,若,则该椭圆的离心率为____________.13.(多选题)对于给定的,其外心为,重心为,垂心为,则下列结论正确的有(    A.B.C.过点的直线,若,则D.共线14.HABC的垂心,若,则的值为          .15.PABC的外心,且),若CA=2CB,则的值为          .16.,内角的对边分别为外接圆的圆心,,,的值是(     )A.     B.     C.     D. 17.已知点G的重心,且,则的值为       .18.已知点G的重心,且,则的最大值为       .19.中,,已知点OG分别是的外心、重心,且,则面积的最大值为       .20.已知为圆上的三点,线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点,则的取值范围为ABCD                         【答案与提示】1.答案 D解析 ··,可得·()0,即·0,同理可证.PABC的垂心.2.答案C解析 BC的中点为M,则则有λ,即λ.P的轨迹一定通过ABC的重心.3.答案 C解析 根据奔驰定理得,SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.4.答案 A解析 根据奔驰定理,得3240,即32()4()0整理得,故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式,利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值,进而得解.【解O是△ABC的内心,ABcACbBCa所以所以所以.,所以所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得,解之得,选C7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.答案B解析中,点分别为的重心和外心,取的中点,连接,则三点共线,如图所示,      .,即..由余弦定理,得是钝角三角形.故选B.12.答案解析因为,所以.如图,在上取一点,使得,连接,则,则点上靠近点的三等分点,所以,所以.不妨设,则,则,所以,设,由余弦定理得,即,得,所以.13.【答案】ACD【解析】对于A,由垂径定理可知,外心上的射影为线段的中点,所以,故A正确;对于B,若,则,即同理,即点的垂心.的垂心,则有,故B不正确;对于C,因为三点共线,故存在实数,使得的重心,故所以,则,故C正确;对于D,因为所以垂直,又的垂心,则垂直,所以共线,故D正确,故选ACD.14.【答案】【解析一】(利用三点共线)如图,取的中点为,则HCD三点共线,    HABC    CDABRtADC中,     另一方面,同理得                  ②联立得.【解析】(抓住垂心概念,充分利用垂直,点乘,三化二两边点乘同理,两边点乘.由①②联立得15.【答案】【解析一】   所以EFP三点共线F是弦BC的中点,故EFBC所以.【解析二】(点乘作数量积)两边点乘CA=2CB               两边点乘CA=2CB            16.【答案】C【解析】因为,由余弦定理得,整理得,所以,即,因为的外心,则对于平面内任意点,均有: ,令重合,及,∵,∴.故选C17.【答案】【解析】(其中是边BC的中点),由中线长定理得.18.【答案】【解析】取边BC的中点为,则,由中线长定理得,即(当且仅当时,“=”成立)所以的最大值为.19.【答案】【解析】所以由余弦定理得(当且仅当b=c时,“=”成立)(当且仅当b=c时,“=”成立)所以面积的最大值为.20.【答案】D【解析】因为,所以,由此可知,向量与向量的一端三点共线,由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为
     

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