专题17二次函数与公共点及交点综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用) 专题17二次函数与公共点及交点综合问题【例1】．(2022•大庆)已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．(1)求b的值；(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【例2】．(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；(2)当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；(3)平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例3】．(2022•张家界)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m(|k|)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．【例4】．(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B(6，0)和点D(4，﹣3)，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．(1)①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；(2)点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度(0＜n＜6)．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．一．解答题(共20小题)1．(2022•钟楼区校级模拟)如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣)，P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．(1)求二次函数的表达式；(2)求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．2．(2022•保定一模)如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，1)，连接AB．(1)若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；(2)若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；(3)当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．3．(2022•广陵区校级二模)在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；(2)现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；(3)在(2)的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．4．(2022•金华模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．(1)当m＝1，求图象G的最低点坐标；(2)平面内有点C(﹣2，2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．5．(2022•清镇市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．(1)抛物线的对称轴为直线x＝　 　；(用含字母a的代数式表示)(2)若AB＝2，求二次函数的表达式；(3)已知点P(a+4，1)，Q(0，2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．6．(2022•五华区三模)已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A(2，﹣4)．(1)求a的值；(2)若抛物线与y轴的公共点为(0，﹣1)，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；(3)当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．7．(2022•秦淮区二模)在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，1)，与y轴的交点坐标是(0，5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n(n为常数)的图象有2个公共点，求n的取值范围．8．(2022•盐城二模)若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A(1，0)，其中a、b为常数．(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；(2)点B(﹣，1)、C(2，1)为坐标平面内的两点，连接B、C两点．①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．9．(2022•滑县模拟)如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线AC的解析式为y＝kx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t+1)，且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．10．(2022春•龙凤区期中)如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．11．(2022春•鼓楼区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．(1)当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 　 　．(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．12．(2022•绥江县二模)已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)．(1)求二次函数的对称轴；(2)点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．13．(2022•南京一模)已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．14．(2022•余姚市一模)已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c(b，c为常数)，(1)如图，两函数图象交于点(3，m)，(n，﹣6)．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．15．(2022•花溪区模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点为顶点的二次函数表达式；(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．16．(2022•无锡模拟)在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是(0，﹣3)，(0，4)，点P(m，0)(m≠0)是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．(1)当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．(2)小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E(x，y)也相应的在二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E(x，y)的坐标，列表如下：请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；(3)把(2)中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n的取值范围．17．(2022•朝阳区校级一模)在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C(﹣2，﹣2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．(1)当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；(2)若图象G过点(3，﹣9)，求出m的取值范围；(3)若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；(4)图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18．(2022•如东县一模)定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．(1)函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　 　，函数y＝(x﹣2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　 　；(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．19．(2022•南京模拟)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M，N)．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A(0，1)，B(﹣1，0)，C(1，0)．(1)求d(点D，△ABC)＝　 　；当k＝1时，求d(L，△ABC)＝　 　；(2)若d(L，△ABC)＝0，直接写出k的取值范围 　 　；(3)函数y＝x+b的图象记为W，若d(W，△ABC)≤2，则b的取值范围是 　 　．20．(2022•南京模拟)若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的(﹣1，1)即为反值点．(1)判断反比例函数的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；(2)判断关于x的函数(a是常数)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；(3)将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．x　 　　 　　 　y