专题6二次函数与平行四边形存在性问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘              专题6 二次函数与平行四边形存在性问题     以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.      解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，则，.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
【例1】．(2022•娄底)如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】．(2022•毕节市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2，1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E．(1)求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h(h＞0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；(3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】．(2022•聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【例4】．(2022•郴州)已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．1．(2021•滨城区一模)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b(k≠0)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．2．(2021•九龙坡区模拟)如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．(1)求此抛物线的解析式；(2)请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．3．(2021•碑林区校级模拟)如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；(2)若抛物线N：y＝﹣(x﹣h)2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．4．(2021•本溪模拟)如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．(1)填空：△ABC的形状是 　   　．(2)求抛物线的解析式；(3)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；(4)M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．5．(2021•深圳模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，﹣3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．6．(2021•铜梁区校级一模)已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．(1)求抛物线的解析式；(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：(3)将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．7．(2021•盘龙区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．(2021•海州区一模)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0，3)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P(m，0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．(2021•南昌县一模)如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)和二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2+4m﹣1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)的顶点坐标为 　   　；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 　   　；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？10．(2022•渝中区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(﹣1，0)，连接BC，OB＝2OC．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；(3)如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．11．(2022•平桂区 二模)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C(0，n)．(1)求点C的坐标及抛物线的对称轴；(2)求该抛物线的表达式；(3)点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标(用含t的代数式表示)；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．12．(2022•龙岗区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4(m是常数)，当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点(点D在点E的左侧)．(1)请直接写出点A、B、C的坐标；(2)当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝　   　；(3)如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．13．(2022•康巴什一模)如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．(1)写出相应点的坐标：A　   　，B　   　，C　   　；(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．14．(2022•武城县模拟)如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．15．(2022•沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣2，0)、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且过点(2，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上(不与B、C重合)一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程．16．(2022•开州区模拟)如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．(1)求线段AB的长．(2)过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标．(3)如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．17．(2022•凤翔县二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A(﹣1，0)，C(0，﹣2)两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B．(1)求抛物线C1与C2的函数表达式；(2)若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．18．(2022•碑林区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．(1)求线段AB的长度；(2)将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式．19．(2020秋•文昌期末)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1，0)、B两点，交直线l于点A、C(2，﹣3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；(4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．20．(2022•眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(﹣5，0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．