2023梧州高三第一次模拟测试数学（理）试题含答案

梧州市2023届高三第一次模拟测试

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上。

2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量，满足，，，则（    ）

A.3 B. C. D.4

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（    ）

A.6 B.8 C.10 D.12

5.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.若，，则（    ）

A.2 B. C.4 D.

6.若点为抛物线上一点，为焦点，且，则点到轴的距离为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

7.某中学从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有______种.（    ）

A.9 B.36 C.54 D.108

8.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

9.在三棱锥中，已知平面，，.若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

10.若函数的部分图象如图所示，直线为函数图象的一条对称轴，则函数的单调递减区间为（    ）

A. B.

C. D.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有______个.（    ）

①；

②为定值；

③双曲线的离心率；

④当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上.

A.1 B.2 C.3 D.4

12.已知，，，其中，则，，的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则______.

14.直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______.

15.若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则这个棱台的体积为______.

16.已知函数若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本题满分12分）

已知为数列的前项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记求前12项的和.

18.（本题满分 12分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，.

（1）求图中的值和学生成绩的中位数；

（2）从成绩低于60分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在50分以下的人数记为，求的分布列与数学期望.

19.（本题满分 12分）

如图，直三棱柱中，，，，点为的中点，现将绕直线旋转，使得点与平面内的点重合.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20.（本题满分12分）

已知函数，其中.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：.

21.（本题满分12分）

已知椭圆过点，左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点（，均在轴右侧），的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线和分别交椭圆于，两点，设与轴交于点，证明：为定值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分 10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）若与交于，两点，求的值.

23.[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，且正实数，，满足，求证：

梧州市2023届高三第一次模拟测试

理科数学参考答案

1.A【解析】，.故选A.

2.D【解析】由得，则，则复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限.故选D.

3.D【解析】由得，因为

，所以.故选D.

4.C【解析】由三视图知该几何体是底面为梯形的直棱柱，其体积为，故选C.

5.B【解析】由正弦定理，及，得，又，整理得，所以，又，所以，由余弦定理，得，.故选B.

6.A【解析】抛物线方程为，可知准线方程为，由抛物线的定义可知点到准线的距离为3，从而可知点到轴的距离为2.故选A.

7.C【解析】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同选派方案共有种.故选C.

8.D【解析】偶函数在上单调递减，则在单调递增，因为，则，故当，；当，；因，则当时，，即或，解得，则当时，，即，解集为空集，所以不等式的解集为.故选D.

9.A【解析】因为，，所以，所以三角形的外接圆直径，所以，因为平面，，由于三角形为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径，则球的表面积为.故选A.

10.B【解析】令，则可以看作由经过适当的变换得到的.

由题中图象知点在函数的图象上，

所以，即，

则结合的图象可得.……①

又直线为函数图象的一条对称轴，

结合图象可得.……②

②-①解得，再代入①解得：，所以.

由，得.故选B.

11.C【解析】由题意双曲线的渐近线方程是，

圆的圆心是，半径是1，

则，（舍去），①错误.

又，所以，离心率为，③正确；

设的内切圆与三边切点分别为，，，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，④正确；设，则，，

渐近线方程是，则，，

为常数，②正确；故选C.

12.A【解析】，设，，

因为，所以，

即在上单调递增，所以，即，

，所以，而，所以.

设，则，当，，当，，所以，即（当且仅当）等号成立，所以，，

综上，，所以.

13.【解析】由题意得，而，

故，，

故.

14.【解析】由条件可得圆心到直线的距离为，解得.

15.28【解析】因为上下底面的对角线长分别为和，求得正四棱台的高为，所以棱台的体积为.

16.【解析】当，，令解得，

当时，；当时，

所以在上递减，在上递增，.

设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，

不妨设，要使方程有3个不同的实数根，则或，

①当时，，得；

②当时，设，则，得，

综上的取值范围为.

17.解：（1）当时，，……1分

又，两式相减得，即.……3分

又因为时，，得，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.……5分所以.……6分

（2）由（1）知，……9分

……10分

……11分.……12分

18.解：（1）由频率分布直方图知，解得.……2分

设成绩的中位数为，有，得.……4分

（2）由频率分布直方图知成绩低于60分的学生人数为，

成绩在50分以下的人数为.因此可能的取值为0，1，2，……6分

，，.

所以的分布列为

……10分

故的数学期望为.……12分

19.解：（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，

由，，可得为等腰直角三角形，

所以为等腰直角三角形，所以，.……2分

又由，，平面，所以平面.……4分

因为平面，所以.又因为，所以.……5分

（2）由（1）易知平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴、轴，建立的空间直角坐标系如图所示，

设，则，，，，

可得，，.……6分

设平面的法向量为，则

即取，则，

所以平面的一个法向量为，……8分

设平面的法向量为，则即取，则，，

所以平面的一个法向量为，……10分

所以，

由于二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.……12分

20.解：（1），，……1分

因为，所以当时，；当时，，……3分

故在上递减，在上递增，……4分

故.……5分

（2）由（1）知，当时，，……6分

即当时，，即（当且仅当时，等号成立），……7分

令，则，所以.……8分

而即，故……9分

从而，，…，，

累加可得，

……11分

，

故证毕.……12分

21.解：（1）由知，由的周长为8，

知，所以，……2分椭圆的方程为：.……4分

（2）证明：由（1）可得，，，设直线，与联立，

消去整理得，……6分

设，，直线，与联立，

消去整理得，

所以，……8分

所以，从而，

同理可得，，所以，

所以，……10分

令可得，，即直线过定点.

所以为定值.……12分

22.解：（1）因为直线的参数方程为（为参数），

所以消去参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为.……3分

曲线的极坐标方程化为，

将代入得：，即，

所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为.……5分

（2）把代入得，解得，……7分

所以，……8分所以.……10分

23.解：（1）由题意可得：……2分

当时，则，解得；

当时，则，解得；

当时，则，解得.

综上所述：不等式的解集为.……4分

（2）证明：因为，当且仅当时等号成立，

所以函数的最小值为，则，……6分

又因为，当且仅当，即时等号成立；

，当且仅当，即时等号成立；

，当且仅当，即时等号成立.……8分

上式相加可得：，当且仅当时等号成立，

所以.……10分