2023届广西省梧州市高三第一次模拟测试数学（文）试题（word版）

梧州市2023届高三第一次模拟测试

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）

A. 甲乙两班同学身高的极差相等 B. 甲乙两班同学身高的平均值相等

C. 甲乙两班同学身高的中位数相等 D. 乙班同学身高在以上的人数较多

4. 已知向量，满足，，，则（    ）

A 3 B.  C.  D. 4

5. 我们可以把看作每天“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过（    ）天后，“进步”是“落后”的1000倍.（，）

A. 31 B. 33 C. 35 D. 37

6. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，，则（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

7. 直线与圆交两点.若，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在三棱锥中，已知平面，，.若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 若函数的部分图像如图所示，直线为函数图像的一条对称轴，则函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 如图所示，抛物线，为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则：①若的斜率为1，则；②若的斜率为1，则；③；④.以上结论正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 实数x，y满足：，则的最大值是____________．

14. 已知，则_________.

15. 过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为_______.

16. 已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围为_______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知为数列的前n项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求前项的和.

18. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，，，，.

（1）用线性回归模型拟合与关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

（2）求出与的回归直线方程；

（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.

附：①相关系数；

②在回归直线方程，，.

19. 边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

20. 已知椭圆的长轴长为4，且经过点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，且与椭圆交于，两点（异于点，过点作的角平分线交椭圆于另一点．证明：直线与坐标轴平行．

21. 已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）若与交于，两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设函数最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．

梧州市2023届高三第一次模拟测试

文科数学

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.

【答案】##

14.

【答案】

15.

【答案】

16.

【答案】

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知为数列的前n项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求前项的和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；

（2）结合（1）得，进而分组求和即可.

小问1详解】

解：因为，

所以，当时，，解得，

当时，，，

所以，即，

所以，数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，数列的通项公式为.

【小问2详解】

解：由（1）知，

所以，

记前项的和为，

所以，

.

18. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，，，，.

（1）用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

（2）求出与的回归直线方程；

（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.

附：①相关系数；

②在回归直线方程，，.

【答案】（1），线性相关程度较高   

（2）   

（3）万元.

【解析】

【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；

（2）由公式算，再由算即可；

（3）2024年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出

【小问1详解】

解：由题意得，，

则，故，

故，

∵，

∴与高度相关，即与的相关性很强．

【小问2详解】

解：根据题意，得，

，

∴关于的回归直线方程为．

【小问3详解】

解：由题知，2024年对应的年份代码，

所以，当时，，

所以，预测2024年该家庭的教育支出为（万元）．

19. 边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)先证明平面，即可证明出平面平面

(2)先利用求出点到平面的距离，然后再根据四棱锥的体积公式进行计算，即可得出结果.

【小问1详解】

证明：在正方形中有，，，

，又因为，所以平面，而平面，

所以平面平面.

【小问2详解】

连接MN由题意可得，，

，由，所以为直角三角形，即，

，

设点到平面的距离为，由得，

，即，得，

即四棱锥的体积为

20. 已知椭圆的长轴长为4，且经过点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，且与椭圆交于，两点（异于点，过点作的角平分线交椭圆于另一点．证明：直线与坐标轴平行．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

分析】

（1）由条件得：解得，，即可得到椭圆方程．

（2）证明：欲证与坐标轴平行，即证直线的方程为；或，又因为平分，故只需证明，的斜率都存在时满足即可．当，的斜率不存在时，说明不满足题意．然后证明．设直线，，，，，联立，利用韦达定理结合的表达式，推出结果即可．

【详解】（1）解：由条件得：解得，，

椭圆．

（2）证明：欲证与坐标轴平行，即证直线的方程为；或，又因为平分，故只需证明，的斜率都存在时满足即可．

当，的斜率不存在时，即点或的坐标为，而经检验此时直线与椭圆相切，不满足题意．故，的斜率都存在，下证．

设直线，，，，，联立，可得

此时，

，，

．

（※），

（※）式的分子

，

直线与坐标轴平行．得证．

【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题.

21. 已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：

【答案】（1）0    （2）详见解析

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的最小值；

（2）由（1）可知，令，不等式变形为，不等式右边裂项为，再用累加求和，即可证明不等式.

【小问1详解】

，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以

【小问2详解】

由（1）知，

即（当且仅当时等成立），

令，则，所以，

而，故，

从而，，…，，

累加可得，命题得证.

【点睛】关键点点睛：本题第二问考查导数与数列的综合问题，问题的关键是从要证明的式子入手，将(1)的不等式变形为，再利用裂项相消法求和.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）若与交于，两点，求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数得到直线的普通方程，从得到其极坐标方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）把代入曲线的极坐标方程，即可求出，从而得解.

【小问1详解】

解：因为直线的参数方程为（为参数），

所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为．

曲线的极坐标方程化为，

将代入得：，即，

所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为．

【小问2详解】

解：把代入得，解得，

所以，

所以．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.

【小问1详解】

由题意可得：，

当时，则，解得；

当时，则，解得；

当时，则，解得；

综上所述：不等式的解集为.

【小问2详解】

∵，当且仅当时等号成立，

∴函数的最小值为，则，

又∵，当且仅当，即时等号成立；

，当且仅当，即时等号成立；

，当且仅当，即时等号成立；

上式相加可得：，当且仅当时等号成立，

∴.