初中数学中考复习 专题49：第10章规律问题之算式变化类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题49：第10章规律问题之算式变化类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
49第10章规律问题之算式变化类

一、单选题
1．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的整倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案．
【解答】解：已知，
a1的差倒数；
a2的差倒数；
a3的差倒数；
…依此类推，
2020被3除，结果为2020=3×673+1，被3除余1，
所以，a2020=a1=2．
故选：A．
【点评】本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律．
2．2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的，….依此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　　　）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意，可列式2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−），先算括号里的减法，再约分即可．
【解答】解：2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−）＝2020×××…×＝1．
故选：B．
【点评】此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键．
3．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的计算结果的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．
【解答】解：原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1
＝（24﹣1）•（24+1）…（216+1）+1
＝232﹣1+1
＝232，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴其结果个位数以2，4，8，6循环，
∵32÷4＝8，
∴原式计算结果的个位数字为6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键．
4．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019 B．2020 C．-2020 D．1010
【答案】B
【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；
【解答】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得


，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键．
5．如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，例如：，，那么展开式中前四项的系数分别为（ ）

A．1，5，6，8 B．1，5，6，10 C．1，6，15，18 D．1，6，15，20
【答案】D
【分析】由（a+b）=a+b，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：由杨辉三角系数表可以发现：
展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，
其余各项系数都等于的展开式中相邻两项系数的和，
则展开式的各项系数依次为1,4,6,4,1；
展开式的各项系数依次为1,5,10,10,5,1；
则展开式的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1，
∴前四项的系数分别为1,6,15,20．
故选D．
【点评】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间的规律，是快速解题的关键．
6．观察式子：，，，，，根据你发现的规律，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意找到规律：即可求解．
【解答】∵，
，
，
，
…，
，
∴




．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，规律型－数字变化类．此题将求的值的问题运用规律转化为求的问题是解题的关键．
7．已知的面积为，连接各边中点构成第一个三角形，再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形．依此类推，则第100个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形．依次为，…2-2n+3，然后求出当n=100即可
【解答】如图所示：
∵点D、E、F是△ABC各边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC,
∴同理EF=AB，DF=AC，
∴，
∴△ABC∽△FED，
∴S△ABC：S△FED=AB2：EF2=4：1，
∵S△ABC=8cm2，
∴S△FED= S△ABC =2，称为S1，由此S2=S1=×2=，S3=…
2=21,, =2-1,=2-3…2-2n+3，
当n=100时，S100=2-197=．
故选：C．

【点评】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．
8．已知，，，……，则（ ）
A．2020 B．4039 C．6060 D．8079
【答案】C
【分析】先由已知等式,得出规律:,则,将代入,即可求出结果．
【解答】解：



．




．
时,

．
故选:C．
【点评】此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题时首先观察,分析归纳出题目中隐含的规律,然后利用规律把题目变形,从而使计算变得比较简便．
9．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【解答】解：原式=
=
=
=．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
10．下面是按一定规律排列的一列数：
第 个数：；
第 个数：；
第 个数：；
；
第 个数：；
那么在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中，最大的数是 ( )
A．第 个数 B．第 个数 C．第 个数 D．第 个数
【答案】A
【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案．
【解答】解：第 个数：；
第 个数：；
第 个数：；
；
第 个数：；
n越大，第n个数越小
故选：A．
【点评】本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键．


二、填空题
11．有一组单项式依次为，，，，，根据它们的规律，第个单项式为__．
【答案】
【分析】根据它们的规律得出第n个单项式为，据此可得答案．
【解答】解：一组单项式依次为：，，，，…，
根据它们的规律，第n个单项式为：，
∴第8个单项式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型−数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
12．有一组多项式：，...，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为_____．
【答案】
【分析】由题意可观察出规律为：b的指数是a的指数的两倍，奇数为和，偶数为差，由此可得第n个多项式．
【解答】解：∵第1个多项式为：，
第2个多项式为：，
第3个多项式为：，
第4个多项式为：，
……
∴第n个多项式为：；
故答案为．
【点评】本题主要考查整式的规律，关键是根据题目所给规律能用整式进行概括即可．
13．探索规律并填空：，，，_____________．
【答案】
【分析】由等式可以看出：分子是1，分母是连续两个自然数的乘积，结果等于分子是1，分母是这两个自然数的分数差．由此规律得出答案即可．
【解答】根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
14．一列单项式按以下规律排列，第2020个单项式为_______．
1，-3x，5x2，-7x3，9x4，-11x5
【答案】
【分析】可从三方面观察，一是符号的变化，二是单项式系数的绝对值变化规律，三是单项式次数变化，从观察中找到规律得出答案．
【解答】单项式系数排列规律：1，-3,5，-7,9，-11……
从符号看，一正一负重复，
第2020个单项式符号为“-”；
单项式系数的绝对值逐个递增2，
第2020个单项式绝对值是：；
从单项式的次数观察发现，递增1，
第2020个单项式次数为2019；
故答案为：
【点评】本题考查单项式的规律问题，从单项式的系数、次数分析排列规律是解题关键．
15．计算：_______．
【答案】
【分析】通过计算每四项运算结果可知，每四项结果为，2012÷4=503，正好为4的倍数，从而得出结论．
【解答】∵，
，
，
即每四项结果为，
∵2012÷4=503，
∴

．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型－数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是：发现每四项结果相同且为．
16．已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2，S3，S4，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝_____．
【答案】a+1
【分析】先根据题意计算S2、S3、S4，进而可得规律，再根据规律解答即可．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2，
S3，
S4，
……，
∴上述规律是每3个一次循环，
∵2020÷3=673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
【点评】本题考查了代数式的变化规律和分式的运算，属于常考题型，找准规律、熟练掌握分式的化简方法是解题的关键．
17．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

（1）根据前面各式的规律，则_____________________________________．
（2）请计算的展开式中第三项的系数是_______________________．
【答案】 190
【分析】（1）观察可知展开式的a的次数从6（最高次幂）依次下降至0，b的次数从0上升至6（最高次幂），系数和左边杨辉三角对应行的数字依次相同；
（2）根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．
【解答】解：（1）杨辉三角第6行对应的数字为1，5,10,10,5,1，
第7行对应的数字为1,6,15,20,15,6,1，
所以，（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（2）找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190，
故答案为：190．
【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
18．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…依此类推，那么的值是___________．
【答案】．
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用2020除以3，再根据余数可求的值．
【解答】解：，
，，，
这个数列以，，依次循环，
，
的值是．
故答案是：．
【点评】本题考查了数字的变化类，弄清题意，正确得出规律是解题的关键．
19．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1：这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值是________．

【答案】128、21、20、3
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【解答】根据分析，可得：


则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故答案为：128、21、20、3．
【点评】本题主要考查了规律－数字的变换类，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
20．现有一列数m1，m2，m3，……，m2020，其中m1＝-3，m2＝-1，且mn+mn+1+mn+2＝1(n为正整数)，则m1+m2+m3+……+m2020=____________________．
【答案】670
【分析】先求出的值，再归纳类推出一般规律，从而求出的值，然后根据代入求值即可得．
【解答】，
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
归纳类推得：的值是以循环往复的，
，
的值与的值相等，即为，
则，
，
，
，
，
故答案为：670．
【点评】本题考查了代数式求值，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

三、解答题
21．观察下列计算，并回答下列问题．
①，
②，
③，
④
……
（1）第5个式子是_____________________________；
（2）第个式子是_________________________________；
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算：

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据前4个式子的规律，即可得到第5个式子和第n个式子；结合（2）的结论，将分数乘法变形为减法的形式，通过加减运算即可得到答案．
【解答】（1）第5个式子是；
（2）第个式子是
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
原式=


【点评】本题考查了整式和数字规律探索的知识；解题的关键是熟练掌握整式运算的性质，并且从等式运算中找到规律，通过计算即可得到答案．
22．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛
（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片：
第（2）个图形中有张正方形纸片；
第（3）个图形中有张正方形纸片；
第（4）个图形中有张正方形纸片；
．．．．．．
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
（规律归纳）
（1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据前面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）；
（规律应用）
（3）根据你的发现计算：
①；
②
【答案】（1）56；（2）；（3）①1001000；②80200
【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有2×(1+2+3+4+5+6+7)张正方形纸片，计算得出答案．
（2）根据前面的发现，，可以写成：的形式，化简计算得出答案．
（3）①直接用发现的规律代入计算求解；
②运用添项法，原式加上(2+4+6+…+200)然后再减去，计算结果不变；原式可变为：(2+4+6+…+600)-(2+4+6+…+200)，运用发现的规律计算求解．
【解答】解：（1）由题意观察可得：2×(1+2+3+4+5+6+7=56，
故答案为56；
（2）



故答案为；
（3）①



②原式



【点评】本题考查图形的变化规律和用代数式表示数，通过观察发现规律、运用规律是解题关键．
23．观察下列等式：；
；；
；；
… …
请解答下列问题:
（1）按以上规律可得___________=__________（其中为正整数）；__________=__________（其中为正整数）．
（2）求的值．
（3）求的值．
【答案】（1）；；；；（2）；（3）．
【分析】（1）首先发现，分子都是1，分母是连续两个自然数的乘积，计算的结果就是以这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差；
（2）利用规律把（2）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；
（3）运用变化规律裂项计算即可得．
【解答】解：（1）由题可知：．．
（2）
．
（3）

．
【点评】本题考查了寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
24．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
……
解答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：——————　=　——————．
（2）求的值．
（3）求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，等于分子是1，两个连续数为分母的分数差，由此规律解决；
（2）利用发现的规律拆项相互抵消计算即可．
（3）模仿发现的规律拆项相互抵消计算即可．
【解答】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
第5个等式：；
故答案为：；；
（2）

；
（3）



．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出算式之间的联系，发现规律解决问题．
25．实践与探索
如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）
A． B． C．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，则__________．
②计算：
【答案】（1）A；（2）①4；②5050
【分析】（1）图1表示，图2的面积表示，根据两个图形阴影面积相等即可判断；
（2）①将原式变形为，代入即可求解；
②将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解．
【解答】（1）图1表示，图2的面积表示，两个图形阴影面积相等，得到
故选A ；
（2）①
∵
∴，解得
②原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=101×50
=5050
【点评】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方形的面积进行变形求解．
26．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：_____；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：_________（n为正整数）；
（3）求的值．
（4）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；
（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可；
（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；
（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；
【解答】解：（1）
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）




；
（4）




．
【点评】本题考查数字的变化规律．找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题，找出数字之间的规律是解题的关键．
27．阅读材料：求的值．
解：设，将等式的两边同乘以2，得
将下式减去上式得，
即．
即
请你仿照此法计算：
（1）填空：          ．
（2）求的值．
（3）求的值．（其中n为正整数）
【答案】（1）15；（2）2047；（3）．
【分析】（1）根据题目中材料的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的材料信息可以计算出题目中所求式子的结果；
（3）根据题意，仿照例题极大过程结合本题数据，进行灵活变形可以解答．
【解答】解：（1）由题意可得，
1+2+22+23=24-1=16-1=15，
故答案为：15；
（2）由题意可得，
；
（3）设，
则，
，
，
解得，，
即的值是．
【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点．
28．填空：=__________.

=_________.
=___________. ……
（1）根据上面的规律得:=___________（其中为正整数，且）.
（2）当时，计算：=______；
（3）设，则的个位数字为______；
（4）计算：.
【答案】（1）xn+1﹣1；（2）32018﹣1；（3）3；（4）
【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）将x=3代入（1）中规律式子中求解即可；
（3）先求出x=2时的a值，再发现2的乘方的个位数字变化规律，即可求解a的个位数字；
（4）已知等式运算规律可构造（5﹣1）（）即可求解．
【解答】解：填空：= x2﹣1.
x3﹣1
=x4﹣1.
= x5﹣1
. ……
（1）根据上面的规律得:= xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）当x=3时，=32018﹣1，
故答案为：32018﹣1；
（3）
=（2﹣1）（
=22018﹣1，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，
∴2n的个位数字是按2、4、8、6依次4个4个循环出现，
∵2018÷4=504﹍2，
∴22018的个位数字是4，
∴22018﹣1的个位数字是3，
故答案为：3；
（4）
=×（5﹣1）×5×（）
=（52020﹣1）
=．
【点评】本题考查等式的规律探究及应用、平方差公式、整式的乘法、有理数的乘方，解答的关键是根据已知等式找到规律并会变形灵活运用．
29．先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值．
【答案】（1）；（2）；（3）99．
【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；
（2）利用前面三个等式的规律求解；
（3）根据（2）中结论得到，然后再求出最大整数即可．
【解答】解：（1）猜想；
（2）第n个式子为：；
（3）
=
=
=
=
=99．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．
30．研究下列算式，你会发现什么规律？

填空：



请你将上述找出的规律用含有字母（为正整数）的等式表示出来
【答案】5，7，17；（其中n为整数）
【分析】研究给定算式左边每一项可得出：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1；再研究给定算式的右边可发现右边为二、三两个因数和的平方，结合该规律，将第二个因数换成n即可得出结论．
【解答】解：由给定算式发现：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1，等式右边为二、三两个因数和的平方．
因为11=5+6，所以，故答案为：5；
因为13=6+7，所以，故答案为：7；
因为8+9=17，所以，故答案为：17．
故答案分别为：5，7，17．
由已知可得：4 n （n+1）+1 =（n+n+1）2=（2n+1）2．
【点评】本题考查了数字的变化，解题的关键是发现其中的变化规律．本题属于中档题，解决该类型题目时，仔细观察并寻找不同点及相同点即可找出规律．