初中数学中考复习 专题28 相似图形【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（原卷版）

考点1：比例的有关概念和性质

1．两条线段的长度之比叫做两条线段的比.

2．在四条线段中，如果其中两条线段的比     另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

3．若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项.

4．比例的基本性质:⇔ad=bc.

5．合比性质:.

6．等比性质:=…=(b+d+…+n≠0)⇒.

7．黄金分割:如图，点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则    为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.

8．平行线分线段成比例定理:

①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成      .

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成     .

【例1】（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）

C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对

【例2】（2021·黑龙江大庆市）已知，则________

（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例；

（2）黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.

1．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．

2．（2020遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2020哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

考点2：相似图形的判定与性质

1．三角形相似

（1）定义:对应角相等，            成比例的三角形叫做相似三角形. 

（2）似三角形的判定定理

①相似三角形的判定定理1：     对应相等的两个三角形相似;

②相似三角形的判定定理2：     对应成比例的两个三角形相似;

③相似三角形的判定定理3：     对应成比例且     相等的两个三角形相似;

④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充：若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB                

（3）性质:

①相似三角形的对应角      ; 

②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)       ; 

③相似三角形的周长比等于     ,面积比等于            . 

2．相似多边形

（1）定义:各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.

（2）性质:

① 相似多边形的对应角     、对应边成     .

② 相似多边形的周长比等于      ，面积比等于相似比的      .

【例3】（2021·四川巴中）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　）

A．DE：BC＝1：2

B．ADE与ABC的面积比为1：3

C．ADE与ABC的周长比为1：2

D．DEBC

【例4】（2021·内蒙古通辽市）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（    ）

A． B． C．或 D．或

判定三角形相似的几种思路方法

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.

若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.

（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.

若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.

1．（2021·内蒙古）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．

2．（2021·四川南充市）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．

3．（2021·江苏无锡市）下列命题中，正确命题的个数为________．

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

考点3：位似图形

1．位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做           ，此时相似比又称           .

2．位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于         ，位似图形周长的比等于          ，面积比等于          . 

【例5】（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ）

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3

【例6】（2021·辽宁沈阳）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ）

A． B． C． D．

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．15

2．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，

1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则

线段DF的长度为（　　）

A． B．2 C．4 D．2

3．（2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一

边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm