初中数学中考复习 专题28 相似图形【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

考点1：比例的有关概念和性质

1．两条线段的长度之比叫做两条线段的比.

2．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

3．若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项.

4．比例的基本性质:⇔ad=bc.

5．合比性质:.

6．等比性质:=…=(b+d+…+n≠0)⇒.

7．黄金分割:如图，点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.

8．平行线分线段成比例定理:

①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

【例1】（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）

C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对

【答案】A

【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．

【解析】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，

且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．

【例2】（2021·黑龙江大庆市）已知，则________

【答案】

【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．

【详解】解：设，

则，

故，

故答案为：．

（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例；

（2）黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.

1．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．

【解析】∵直线l1∥l2∥l3，

∴，

∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，

∴，

∴DE=，

故选：D．

2．（2020遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，

∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，

∴CG＝CD+DG＝3k，

∵AB∥DG，

∴△ABE∽△CGE，

∴，

故选：C．

3．（2020哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．

【解析】∵EF∥BC，

∴，

∵EG∥AB，

∴，

∴，

故选：C．

考点2：相似图形的判定与性质

1．三角形相似

（1）定义:对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 

（2）似三角形的判定定理

①相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似;

②相似三角形的判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似;

③相似三角形的判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充：若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB                

（3）性质:

①相似三角形的对应角相等; 

②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例; 

③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 

2．相似多边形

（1）定义:各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.

（2）性质:

① 相似多边形的对应角相等、对应边成比例.

② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

【例3】（2021·四川巴中）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　）

A．DE：BC＝1：2

B．ADE与ABC的面积比为1：3

C．ADE与ABC的周长比为1：2

D．DEBC

【答案】D

【分析】

根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．

【解析】

解：∵，

∴AD：AB=AE：AC=1：3，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE：BC=1：3，故A错误；

∵△ADE∽△ABC，

∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；

∵△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠B，

∴DE∥BC．故D正确．

故选：D．

【例4】（2021·内蒙古通辽市）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】因为点为线段的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①；② ．然后由一线三垂直模型可证 ∽，再根据相似三角形的性质求得 的值，最后由 即可求得 的长．

【详解】

当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1，当时，
 

∵∥，， ，

∴四边形为矩形，

∴， ， ．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵， ，

∴，

∴∽，

∴，即 ，解得 ，

∴．

②如图2，当时，

∵∥，， ，

∴四边形为矩形，

∴， ， ．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵， ，

∴，

∴∽，

∴，即 ，解得，

∴．

综上所述，的长为或 ．

故选：．

判定三角形相似的几种思路方法

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.

若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.

（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.

若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.

1．（2021·内蒙古）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．

【答案】

【分析】

根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．

【详解】

∵MN⊥BC，DB⊥BC,

∴AC∥MN∥DB，

∴，

∴

即,

又∵，

∴，

解得,

故填：．

2．（2021·四川南充市）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．

【答案】．

【分析】

证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．

【详解】

∵，

∴，，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBA，

∴．

故答案为：．

3．（2021·江苏无锡市）下列命题中，正确命题的个数为________．

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

【答案】①

【分析】

根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．

【详解】

解：所有的正方形都相似，所以①正确；

所有的菱形不一定相似，所以②错误；

边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；

对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；

故答案是：①．

考点3：位似图形

1．位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比.

2．位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比，位似图形周长的比等于相似比，面积比等于位似比的平方. 

【例5】（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ）

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3

【答案】D

【分析】

直接利用对应边的比等于相似比求解即可．

【详解】

解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；

△OAB 与△OCD的相似比等于；

故选D．

【例6】（2021·辽宁沈阳）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据位似图形的概念得到△，，进而得出△，根据相似三角形的性质解答即可．

【解析】

解：与△位似，

△，，

△，

，

与△的周长比为，

故选：．

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．15

【答案】B

【分析】

直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．

【详解】

解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，

∴

故答案为：B．

2．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，

1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则

线段DF的长度为（　　）

A． B．2 C．4 D．2

【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．

【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，

而A（1，2），C（3，1），

∴D（2，4），F（6，2），

∴DF=．

故选：D．

3．（2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一

边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．

【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，

∵三角尺与投影三角尺相似，

∴8：x＝2：5，

解得x＝20．

故选：A．