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初中数学中考复习 专题13几何模型-隐圆模型（求值）-2022年中考数学第二轮总复习课件（全国通用）
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这是一份初中数学中考复习 专题13几何模型-隐圆模型（求值）-2022年中考数学第二轮总复习课件（全国通用），共34页。PPT课件主要包含了定点定长型，定边对定角，定角夹定高，四点共圆，分类讨论，隐圆模型等内容，欢迎下载使用。
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
【例1】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50º,则∠CBD=___
A,B,C,在以O为圆心，OA为半径的圆上.
到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆；
有几个点到同一个点的距离相等时,这儿就隐藏着一个圆,要想到构造圆.
1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44º,则∠CAD=____2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40º,则∠ADC的度数是( ) A.130º B.140º C.150º D.160º
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转α(0º＜α＜180º)得到AP.若∠BAC=20º,当△ACP为等腰三角形时，α的值为______________.
40º或70º或100º
原理:弦AB所对同侧圆周角相等.
定长+定角：固定线段AB所对动角∠P为定值,则点P运动轨迹为过A,B,C三点的圆.
【例2-1】在△ABC中,AB=4,∠C=60º,∠A＞∠B,则BC的长的取值范围是____________,△ABC面积的最大值为____.
备注:点P在优弧,劣弧上皆可.
【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_____
定长+直角：AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),则点C在以AB为直径的圆上运动(不与A,B重合).
1.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠APC=150º,则线段PB长度的最小值为_______.2.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且AP⊥BP,则线段CP长的最小值为____.
【例3】如图,在△ABC中,∠BAC=60º,BC边上的高AD为 ,则BC的最小值为___.
解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
则∠BOC=2∠A=2×60=120º
【题型背景】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型.主要解决：(1)线段最短问题；(2)面积最小问题.【模型】如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.
【解题突破点】1.找出“隐圆”---三角形外接圆； 2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高.
证明：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥E.易得∠BOE=α,则OE=r·csα.∵OA+OE≥AD,∴r+r·csα≥h.
1.对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A,B,C,D四点共圆.
【例4-1】如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,则AB-AD=____.
【例4-2】如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE,AP相交于点P.(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；(2)求证：∠APD=∠ABD.
2.同侧等角型：若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆.
1.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90º,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为____度．2.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直
3.如图,E是正方形ABCD的边BC反向延长线上的一点,∠AEF=90º,且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点GF.求证：AE=EF.
方法一：延长AB至G,使BG=BE,连接EG, 证△AEG≌△EFG得AE=EF.
方法二：连接AC,AF,得∠ACF=∠AEF=90º, ∴A、E、F、C四点共圆.
∴∠EAF=∠ECF=45º∴∠EAF=∠EFA=45º∴AE=EF
【例5】已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D的边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应边为A´.若点A´到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A´的坐标为_______________.
如图,正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合,现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,设旋转角∠BAE=α(0º＜α＜360º),则当α=________________时,正方形的顶点F会落在正方形的对角线AC或BD所在的直线上。
60º或180º或300º
口诀：定点定长圆周走,定线定角双弧跑； 三点必有外接圆,对角互补也共圆.
1.点P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,∠A=72º,那么∠BPC的度数为__________. 2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=____.
3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_____.
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF. 求证：∠AEF=∠C.
利用AEDF四点共圆证明∠1=∠2∵∠2+∠3=90º，∠B+∠3=90º.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C
2.如图,正方形ABCD的边长为4,在AD边上存在一个动点E(不和点A,D重合),沿BE把△ABE折叠,当点A的对应点A´恰好落在正方形ABCD的对称轴上时,AE的长为 .
4.以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,D按顺时针方向排列).已知AB=BC=CD.∠ABC=100º.∠CAD=30º.则∠BCD的大小为 .
3.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º,则△AEF面积的最小值为________.
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60º,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证△AEF´≌△AEF,作△AEF´的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F´OH=60º,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG,
2.在四边形ABCD中,∠BAD=45º,∠B=∠D=90º,CB=CD= ,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由.
1.如图,半径为2cm,圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为___________.
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
【例1】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50º,则∠CBD=___
A,B,C,在以O为圆心，OA为半径的圆上.
到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆；
有几个点到同一个点的距离相等时,这儿就隐藏着一个圆,要想到构造圆.
1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44º,则∠CAD=____2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40º,则∠ADC的度数是( ) A.130º B.140º C.150º D.160º
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转α(0º＜α＜180º)得到AP.若∠BAC=20º,当△ACP为等腰三角形时，α的值为______________.
40º或70º或100º
原理:弦AB所对同侧圆周角相等.
定长+定角：固定线段AB所对动角∠P为定值,则点P运动轨迹为过A,B,C三点的圆.
【例2-1】在△ABC中,AB=4,∠C=60º,∠A＞∠B,则BC的长的取值范围是____________,△ABC面积的最大值为____.
备注:点P在优弧,劣弧上皆可.
【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_____
定长+直角：AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),则点C在以AB为直径的圆上运动(不与A,B重合).
1.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠APC=150º,则线段PB长度的最小值为_______.2.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且AP⊥BP,则线段CP长的最小值为____.
【例3】如图,在△ABC中,∠BAC=60º,BC边上的高AD为 ,则BC的最小值为___.
解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
则∠BOC=2∠A=2×60=120º
【题型背景】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型.主要解决：(1)线段最短问题；(2)面积最小问题.【模型】如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.
【解题突破点】1.找出“隐圆”---三角形外接圆； 2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高.
证明：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥E.易得∠BOE=α,则OE=r·csα.∵OA+OE≥AD,∴r+r·csα≥h.
1.对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A,B,C,D四点共圆.
【例4-1】如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,则AB-AD=____.
【例4-2】如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE,AP相交于点P.(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；(2)求证：∠APD=∠ABD.
2.同侧等角型：若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆.
1.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90º,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为____度．2.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直
3.如图,E是正方形ABCD的边BC反向延长线上的一点,∠AEF=90º,且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点GF.求证：AE=EF.
方法一：延长AB至G,使BG=BE,连接EG, 证△AEG≌△EFG得AE=EF.
方法二：连接AC,AF,得∠ACF=∠AEF=90º, ∴A、E、F、C四点共圆.
∴∠EAF=∠ECF=45º∴∠EAF=∠EFA=45º∴AE=EF
【例5】已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D的边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应边为A´.若点A´到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A´的坐标为_______________.
如图,正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合,现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,设旋转角∠BAE=α(0º＜α＜360º),则当α=________________时,正方形的顶点F会落在正方形的对角线AC或BD所在的直线上。
60º或180º或300º
口诀：定点定长圆周走,定线定角双弧跑； 三点必有外接圆,对角互补也共圆.
1.点P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,∠A=72º,那么∠BPC的度数为__________. 2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=____.
3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_____.
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF. 求证：∠AEF=∠C.
利用AEDF四点共圆证明∠1=∠2∵∠2+∠3=90º，∠B+∠3=90º.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C
2.如图,正方形ABCD的边长为4,在AD边上存在一个动点E(不和点A,D重合),沿BE把△ABE折叠,当点A的对应点A´恰好落在正方形ABCD的对称轴上时,AE的长为 .
4.以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,D按顺时针方向排列).已知AB=BC=CD.∠ABC=100º.∠CAD=30º.则∠BCD的大小为 .
3.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º,则△AEF面积的最小值为________.
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60º,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证△AEF´≌△AEF,作△AEF´的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F´OH=60º,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG,
2.在四边形ABCD中,∠BAD=45º,∠B=∠D=90º,CB=CD= ,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由.
1.如图,半径为2cm,圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为___________.
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