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微专题 直线的对称问题 学案——2023届高考数学一轮《考点•题型 •技巧》精讲与精练
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这是一份微专题 直线的对称问题 学案——2023届高考数学一轮《考点•题型 •技巧》精讲与精练，共37页。
微专题：直线的对称问题
【考点梳理】
关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称. 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2). ②直线关于直线的对称. 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
【题型归纳】
题型一： 求两点的对称轴
1．点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
2．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A． B． C． D．
3．已知点与关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 求点关于直线的对称点
4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在复平面内，复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，i为虚数单位，则复数z＝（ ）
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
6．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 求直线关于点的对称直线
7．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A． B．
C． D．
题型四： 直线关于直线对称问题
10．与直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．设是轴上的不同两点，点的横坐标为1，，若直线的方程为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．圆关于直线称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（ ）
A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)
18．已知三棱锥，其中平面，，，.已知点为棱（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过平面与平面反射后重新回到点，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
21．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
22．已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0
23．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
25．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
26．若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( )
A． B．
C． D．
27．已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点，则（ ）
A． B． C． D．
28．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
29．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
30．若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
31．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
32．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
34．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A． B． C．2 D．3
35．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
36．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．直线与圆恒有两个交点
38．已知直角坐标平面内的两点、，则（ ）
A．直线的一般式方程为
B．线段的中垂线所在直线的方程为
C．以向量为方向向量且过点的直线的方程为
D．一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为
39．已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为
C． D．到的两焦点距离之差的最大值为
40．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
三、填空题
41．设，求的最小值是___________.
42．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为___________.
43．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
44．已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______.
45．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
46．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
四、解答题
47．已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.
48．已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
49．已知三角形的顶点为，，.
（1）求直线的方程；
（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.
①求点关于直线的对称点的坐标.
②若直线过点且与直线交于点，，求直线的方程.
50．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
（1）在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
（2）在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
51．在中，，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.
参考答案
1．C
【解析】
由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得，求得后，由截距的概念即可得解.
【详解】
因为点，，所以，线段的中点，
则，解得，
所以直线即为，
当时，，
所以直线在轴上的截距是4.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
由与可求出的中点，的斜率，即可求出直线.
【详解】
,
的中点为，，
与关于直线对称，
过点，且斜率为1，
直线的方程为，
即，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了点关于直线对称，直线的方程，属于容易题.
4．A
【解析】
【分析】
根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】
设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
设，表示出和，因为复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，所以解方程可求出，即可求出复数z.
【详解】
设，则，，依题意得解得所以z＝－1＋i.
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程
【详解】
圆的圆心，半径为1，
设，则由题意得
，解得即，
所以圆的方程为，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解得个数，即可选出答案.
【详解】
直线关于原点对称的直线为
联立，解得或
则，，所以
又的面积为，所以边上的高为
设，则，点到直线的距离
化简得：或
联立，得，其中，故方程无解；
或，得，其中，方程有两个不同解.
即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个.
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】
直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
10．C
【解析】
【分析】
求得直线与坐标轴的交点坐标，结合点的对称，进而求得直线关于轴的对称直线，得到答案.
【详解】
由直线，令，可得；令，可得，
即直线过点，
又由点关于轴的对称点为，
则直线的方程为，
即直线关于轴的对称直线的方程为.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.
【详解】
解：联立方程得，即直线与直线的交点为
设直线的点关于直线对称点的坐标为，
所以，解得
所以直线关于直线对称的直线过点，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为，即
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，可知直线和直线关于轴对称，利用直线的方程可求出直线的方程
【详解】
由已知点的横坐标为1，即点在直线上，
因为，所以直线和直线关于轴对称.
因此两条直线的斜率成相反数.
又因为是轴上的不同两点，且直线的方程为，
则即为原点，所以B坐标为,
因此直线斜率为-2，且过点（2,0），所以直线方程为
故选：D
13．D
【解析】
【分析】
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
14．A
【解析】
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
15．B
【解析】
【分析】
首先求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程；
【详解】
解：圆圆心为，点关于直线的对称点为，
所求圆的方程为.
故选：B
16．C
【解析】
【分析】
作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可
【详解】
如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
【点睛】
本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题
17．D
【解析】
【分析】
设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),
则，解得：，
故选：D．
18．C
【解析】
【分析】
依题意可知光线所构成的平面与平面和平面均垂直，即平面. 问题等价于：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围. 以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，设（），分别求得关于的对称点和关于的对称点，根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段的长度，进而可求得结果.
【详解】
依题意可知光线所构成的平面与平面和平面均垂直.
如图，取的中点，连接，则，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面；因为平面，且平面，所以平面平面.
所以平面与平面和平面均垂直.
因此，问题等价于：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围.
以为原点，以为轴建立平面直角坐标系如图所示.
则，，所以的方程为，即，
设（）关于的对称点为，
则，解得，即，
关于的对称点为，
根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段的长度.
因为，所以.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围.
19．B
【解析】
设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．
【详解】
设对称点为，则，解得．即对称点为．
故选：B．
20．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
21．A
【解析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
22．A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心，设出关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），由两点构成直线的斜率与直线垂直以及两点的中点在直线上，列方程组即可求解.
【详解】
设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由⇒；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4⇒x2+y2﹣6x+6y+14=0．
故选：A
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的求法、圆的标准方程，解题的关键是点关于直线对称满足的关系，属于基础题.
23．D
【解析】
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】
设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
24．A
【解析】
【分析】
根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.
【详解】
如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，
则P的坐标为，Q的坐标为，则．
当A与B重合于坐标原点O时，
；
当A与B不重合时， ．
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．
故选：A
25．D
【解析】
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
26．A
【解析】
【分析】
求出圆关于y＝x对称后的圆的方程，问题等价于圆与圆有交点，则圆与圆的圆心距应该介于两圆半径之和与半径之差的绝对值之间，由此可求r的范围.
【详解】
点P(x，y)关于y＝x对称点为Q(y，x)，
∴圆的圆心为，半径为r，其关于的对称圆方程为：，根据题意，圆与圆有交点.
又圆与圆的圆心距，
要满足题意，只需，解得：.
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
求出点关于直线的对称点，则求对称点到点的距离即可.
【详解】
解：设点关于直线的对称点，
则，解得，，
所以，
因为反射光线经过点，
所以.
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
29．C
【解析】
【分析】
计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
30．C
【解析】
求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
【详解】
∵＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，得，即直线l2恒过定点
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．
31．A
【解析】
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
32．A
【解析】
【分析】
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
33．B
【解析】
【分析】
由已知求得直线l的方程，令，可求得直线与轴的交点，继而求得反射直线的方程，求得点B的坐标，由三角形的面积公式可得选项.
【详解】
设直线与轴交于点，因为的方程为，令，得点的坐标为，
从而反射光线所在直线的方程为，令得，
所以的面积．
故选：B.
34．D
【解析】
【分析】
求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】
解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
【点睛】
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
35．D
【解析】
【分析】
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
36．A
【解析】
【分析】
根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.
【详解】
将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则 解得 所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.
故选：A
37．ABD
【解析】
【分析】
求出直线与所过的定点 ，故可判断BD的正误，利用与直线方程中系数关系可判断与都互相垂直，假设与都关于直线对称，则可求出，从而可判断C的正误．
【详解】
对于A，因为，故与都互相垂直，故A正确.
对于B， 直线：即为直线：，
令，则得，故直线过定点，
同理直线过定点，故B正确.
对于C，若不论为何值时，与都关于直线对称，
可取上的一点，则在上，
所以，故或，
故至多有两个不同的，满足与都关于直线对称，
故C错误.
对于D，因为在圆的内部，故直线与圆恒有两个不同的交点，
故D正确.
故选：ABD
38．ACD
【解析】
【分析】
求出直线的方程，可判断A选项的正误；求出线段的中垂线方程，可判断B选项的正误；求出直线的方程，可判断C选项的正误；求出反射光线的方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选项A正确；
对于B，由中点坐标公式可得，线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线的方程，即.
故选项B错误；
对于C，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为，
由直线的点斜式可知，直线的方程为，即，
故选项C正确；
对于D，关于轴的对称点为，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
即反射光线所在的直线方程为，故选项D正确.
故选：ACD.
39．ACD
【解析】
【分析】
利用点差法可求得的值，可得出的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的.
【详解】
令、，则，
则，则，
则，则，所以，，
所以，，则，，椭圆的标准方程为，
所以，椭圆的焦点在轴上，即，
，即，A对；
椭圆的方程为，联立，
消可得，，可得，
则，，
所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错；
，C对；
椭圆的方程为，其标准方程为，，
椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，则，解得，
即点，
易知，则,
当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
40．AD
【解析】
【分析】
对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】
对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；
对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确.
故选：AD.
41．
【解析】
【分析】
由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.
【详解】
解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
根据条件，求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点(0，2)关于直线的对称点即可.
【详解】
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线关于直线对称，
则得，即有光线的入射点为，
设直线上的点(0，2)关于直线对称点为，则，解得，
因此，反射光线所在直线必过点和点，直线AB方程为：，整理得：，
所以反射光线所在直线的一般方程为：.
故答案为：
43．4
【解析】
【分析】
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
44．
【解析】
【分析】
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】
如图：
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，
与关于直线：对称，
，解得：，
，易求得：，
的周长的最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
45．或.
【解析】
【分析】
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
46．2或6.
【解析】
【详解】
分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆的圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
47．（1）圆或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【详解】
（1）设圆，
由题意得：…①，…②，…③，
由①得，则，代入③得：；
当时，，，圆；
当时，，圆；
综上所述：圆或.
（2）圆与轴正半轴相切，圆，
设关于的对称点，
则，解得：，，
反射光线所在直线的斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
【点睛】
方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
48．（1）；（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
49．（1）；（2）① ；②或.
【解析】
(1)由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即直线的方程为：；
（2）问题①：
设的坐标为，则
解得:
点的坐标是；
问题②：
设的坐标为，
，
，
解得：或，
的坐标为或，
直线的方程为或.
【点睛】
方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
50．（1）(－2，3)；（2）(12，10)．
【解析】
【分析】
（1）求出A关于直线l的对称点为A′，从而可得PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，求出交点即可求解.
（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB－PA|≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，求出交点即可.
【详解】
(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，
解得，
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得，
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则得，
故所求的点P的坐标为(12，10)．
51．（1）；（2）.
【解析】
（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.
【详解】
（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知，，
又可知AB中点为，
l的方程为，即，
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；
则，解得，所以，
由题可知，两点都在直线AC上，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
所以AC所在直线方程为.
【点睛】
方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.
微专题：直线的对称问题
【考点梳理】
关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称. 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2). ②直线关于直线的对称. 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
【题型归纳】
题型一： 求两点的对称轴
1．点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
2．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A． B． C． D．
3．已知点与关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 求点关于直线的对称点
4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在复平面内，复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，i为虚数单位，则复数z＝（ ）
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
6．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 求直线关于点的对称直线
7．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A． B．
C． D．
题型四： 直线关于直线对称问题
10．与直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．设是轴上的不同两点，点的横坐标为1，，若直线的方程为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．圆关于直线称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（ ）
A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)
18．已知三棱锥，其中平面，，，.已知点为棱（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过平面与平面反射后重新回到点，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
21．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
22．已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0
23．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
25．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
26．若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( )
A． B．
C． D．
27．已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点，则（ ）
A． B． C． D．
28．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
29．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．12
30．若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
31．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
32．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
34．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A． B． C．2 D．3
35．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
36．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．直线与圆恒有两个交点
38．已知直角坐标平面内的两点、，则（ ）
A．直线的一般式方程为
B．线段的中垂线所在直线的方程为
C．以向量为方向向量且过点的直线的方程为
D．一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为
39．已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为
C． D．到的两焦点距离之差的最大值为
40．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
三、填空题
41．设，求的最小值是___________.
42．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为___________.
43．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
44．已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______.
45．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
46．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
四、解答题
47．已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.
48．已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
49．已知三角形的顶点为，，.
（1）求直线的方程；
（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.
①求点关于直线的对称点的坐标.
②若直线过点且与直线交于点，，求直线的方程.
50．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
（1）在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
（2）在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
51．在中，，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.
参考答案
1．C
【解析】
由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得，求得后，由截距的概念即可得解.
【详解】
因为点，，所以，线段的中点，
则，解得，
所以直线即为，
当时，，
所以直线在轴上的截距是4.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
由与可求出的中点，的斜率，即可求出直线.
【详解】
,
的中点为，，
与关于直线对称，
过点，且斜率为1，
直线的方程为，
即，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了点关于直线对称，直线的方程，属于容易题.
4．A
【解析】
【分析】
根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】
设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
设，表示出和，因为复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，所以解方程可求出，即可求出复数z.
【详解】
设，则，，依题意得解得所以z＝－1＋i.
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程
【详解】
圆的圆心，半径为1，
设，则由题意得
，解得即，
所以圆的方程为，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解得个数，即可选出答案.
【详解】
直线关于原点对称的直线为
联立，解得或
则，，所以
又的面积为，所以边上的高为
设，则，点到直线的距离
化简得：或
联立，得，其中，故方程无解；
或，得，其中，方程有两个不同解.
即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个.
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】
直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
10．C
【解析】
【分析】
求得直线与坐标轴的交点坐标，结合点的对称，进而求得直线关于轴的对称直线，得到答案.
【详解】
由直线，令，可得；令，可得，
即直线过点，
又由点关于轴的对称点为，
则直线的方程为，
即直线关于轴的对称直线的方程为.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.
【详解】
解：联立方程得，即直线与直线的交点为
设直线的点关于直线对称点的坐标为，
所以，解得
所以直线关于直线对称的直线过点，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为，即
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，可知直线和直线关于轴对称，利用直线的方程可求出直线的方程
【详解】
由已知点的横坐标为1，即点在直线上，
因为，所以直线和直线关于轴对称.
因此两条直线的斜率成相反数.
又因为是轴上的不同两点，且直线的方程为，
则即为原点，所以B坐标为,
因此直线斜率为-2，且过点（2,0），所以直线方程为
故选：D
13．D
【解析】
【分析】
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
14．A
【解析】
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
15．B
【解析】
【分析】
首先求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程；
【详解】
解：圆圆心为，点关于直线的对称点为，
所求圆的方程为.
故选：B
16．C
【解析】
【分析】
作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可
【详解】
如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
【点睛】
本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题
17．D
【解析】
【分析】
设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),
则，解得：，
故选：D．
18．C
【解析】
【分析】
依题意可知光线所构成的平面与平面和平面均垂直，即平面. 问题等价于：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围. 以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，设（），分别求得关于的对称点和关于的对称点，根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段的长度，进而可求得结果.
【详解】
依题意可知光线所构成的平面与平面和平面均垂直.
如图，取的中点，连接，则，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面；因为平面，且平面，所以平面平面.
所以平面与平面和平面均垂直.
因此，问题等价于：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围.
以为原点，以为轴建立平面直角坐标系如图所示.
则，，所以的方程为，即，
设（）关于的对称点为，
则，解得，即，
关于的对称点为，
根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段的长度.
因为，所以.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为：光线从线段（不含端点）上的点出发，经过反射后重新回到点，求光线经过路径长度的取值范围.
19．B
【解析】
设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．
【详解】
设对称点为，则，解得．即对称点为．
故选：B．
20．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
21．A
【解析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
22．A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心，设出关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），由两点构成直线的斜率与直线垂直以及两点的中点在直线上，列方程组即可求解.
【详解】
设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由⇒；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4⇒x2+y2﹣6x+6y+14=0．
故选：A
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的求法、圆的标准方程，解题的关键是点关于直线对称满足的关系，属于基础题.
23．D
【解析】
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】
设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
24．A
【解析】
【分析】
根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.
【详解】
如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，
则P的坐标为，Q的坐标为，则．
当A与B重合于坐标原点O时，
；
当A与B不重合时， ．
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．
故选：A
25．D
【解析】
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
26．A
【解析】
【分析】
求出圆关于y＝x对称后的圆的方程，问题等价于圆与圆有交点，则圆与圆的圆心距应该介于两圆半径之和与半径之差的绝对值之间，由此可求r的范围.
【详解】
点P(x，y)关于y＝x对称点为Q(y，x)，
∴圆的圆心为，半径为r，其关于的对称圆方程为：，根据题意，圆与圆有交点.
又圆与圆的圆心距，
要满足题意，只需，解得：.
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
求出点关于直线的对称点，则求对称点到点的距离即可.
【详解】
解：设点关于直线的对称点，
则，解得，，
所以，
因为反射光线经过点，
所以.
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
29．C
【解析】
【分析】
计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
30．C
【解析】
求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
【详解】
∵＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，得，即直线l2恒过定点
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．
31．A
【解析】
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
32．A
【解析】
【分析】
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
33．B
【解析】
【分析】
由已知求得直线l的方程，令，可求得直线与轴的交点，继而求得反射直线的方程，求得点B的坐标，由三角形的面积公式可得选项.
【详解】
设直线与轴交于点，因为的方程为，令，得点的坐标为，
从而反射光线所在直线的方程为，令得，
所以的面积．
故选：B.
34．D
【解析】
【分析】
求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】
解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
【点睛】
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
35．D
【解析】
【分析】
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
36．A
【解析】
【分析】
根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.
【详解】
将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则 解得 所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.
故选：A
37．ABD
【解析】
【分析】
求出直线与所过的定点 ，故可判断BD的正误，利用与直线方程中系数关系可判断与都互相垂直，假设与都关于直线对称，则可求出，从而可判断C的正误．
【详解】
对于A，因为，故与都互相垂直，故A正确.
对于B， 直线：即为直线：，
令，则得，故直线过定点，
同理直线过定点，故B正确.
对于C，若不论为何值时，与都关于直线对称，
可取上的一点，则在上，
所以，故或，
故至多有两个不同的，满足与都关于直线对称，
故C错误.
对于D，因为在圆的内部，故直线与圆恒有两个不同的交点，
故D正确.
故选：ABD
38．ACD
【解析】
【分析】
求出直线的方程，可判断A选项的正误；求出线段的中垂线方程，可判断B选项的正误；求出直线的方程，可判断C选项的正误；求出反射光线的方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选项A正确；
对于B，由中点坐标公式可得，线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线的方程，即.
故选项B错误；
对于C，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为，
由直线的点斜式可知，直线的方程为，即，
故选项C正确；
对于D，关于轴的对称点为，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
即反射光线所在的直线方程为，故选项D正确.
故选：ACD.
39．ACD
【解析】
【分析】
利用点差法可求得的值，可得出的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的.
【详解】
令、，则，
则，则，
则，则，所以，，
所以，，则，，椭圆的标准方程为，
所以，椭圆的焦点在轴上，即，
，即，A对；
椭圆的方程为，联立，
消可得，，可得，
则，，
所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错；
，C对；
椭圆的方程为，其标准方程为，，
椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，则，解得，
即点，
易知，则,
当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
40．AD
【解析】
【分析】
对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】
对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；
对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确.
故选：AD.
41．
【解析】
【分析】
由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.
【详解】
解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
根据条件，求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点(0，2)关于直线的对称点即可.
【详解】
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线关于直线对称，
则得，即有光线的入射点为，
设直线上的点(0，2)关于直线对称点为，则，解得，
因此，反射光线所在直线必过点和点，直线AB方程为：，整理得：，
所以反射光线所在直线的一般方程为：.
故答案为：
43．4
【解析】
【分析】
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
44．
【解析】
【分析】
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】
如图：
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，
与关于直线：对称，
，解得：，
，易求得：，
的周长的最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
45．或.
【解析】
【分析】
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
46．2或6.
【解析】
【详解】
分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆的圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
47．（1）圆或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【详解】
（1）设圆，
由题意得：…①，…②，…③，
由①得，则，代入③得：；
当时，，，圆；
当时，，圆；
综上所述：圆或.
（2）圆与轴正半轴相切，圆，
设关于的对称点，
则，解得：，，
反射光线所在直线的斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
【点睛】
方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
48．（1）；（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b；
（2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标.
【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
49．（1）；（2）① ；②或.
【解析】
(1)由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即直线的方程为：；
（2）问题①：
设的坐标为，则
解得:
点的坐标是；
问题②：
设的坐标为，
，
，
解得：或，
的坐标为或，
直线的方程为或.
【点睛】
方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
50．（1）(－2，3)；（2）(12，10)．
【解析】
【分析】
（1）求出A关于直线l的对称点为A′，从而可得PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，求出交点即可求解.
（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB－PA|≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，求出交点即可.
【详解】
(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，
解得，
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得，
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则得，
故所求的点P的坐标为(12，10)．
51．（1）；（2）.
【解析】
（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.
【详解】
（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知，，
又可知AB中点为，
l的方程为，即，
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；
则，解得，所以，
由题可知，两点都在直线AC上，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
所以AC所在直线方程为.
【点睛】
方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.
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