微专题 求函数的定义域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求函数的定义域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。

微专题：求函数的定义域
【考点梳理】
1、求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 常见的限制条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等.
2、求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
【题型归纳】
题型一： 具体函数的定义域
1．函数的定义域为（        ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则等于（       ）
A． B． C． D．


题型二： 抽象函数的定义域
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．


题型三： 已知函数的定义域求参数
7．“”是“函数的定义域为R”的（       ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若函数的定义域为R，则a的范围是（       ）
A． B．
C． D．
9．若函数的定义城为R， 则实数 a的取值范围是（       ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）


题型四：实际问题中的定义域
10．等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（       ）
A．(0，10) B．(0，5)
C．(5，10) D．[5，10)
11．已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
12．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为
A． B． C． D．




【双基达标】
13．已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
15．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
16．函数的定义域是（       ）
A．（-2， +∞） B．（-2， 0） C．[5， +∞） D．（0， 1]
17．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
18．若函数的定义域为，则（       ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
19．若函数y=f(x)的定义域为{x|0 A．(0，1) B．(1，2)
C．∪ D．(1，3)
20．已知函数，则的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
21．函数的定义域为（       ）
A．(－3，0] B．(－3，1]
C．[－1，3)∪(3，＋∞) D．[－1，3)
22．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
23．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
24．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
25．已知函数定义域是，则的定义域是（       ）
A． B． C． D．
26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
27．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
28．下列命题中，正确命题的个数为（       ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A． B． C． D．
29．函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
30．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．


【高分突破】
一、 单选题
31．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
32．函数y的定义域为（　　）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）
33．已知函数的定义域为，则的定义域是（       ）
A． B． C． D．
34．已知，则函数的定义域是（       ）
A． B．
C． D．
35．已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（       ）

A． B．
C． D．
36．函数的定义域（       ）
A． B． C． D．
37．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(     )
A． B． C． D．
二、多选题
38．下列命题正确的是（       ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为
B．是为奇函数的必要不充分条件
C．正实数x，y满足，则的最小值为5
D．函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为
39．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（       ）
A．f（x）的定义城为[0，1] B．f（x）定义域为R
C．f（x）的值城为[0，1] D．f（x+1）=f（x）
40．关于函数的性质描述，正确的是（       ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于原点对称
41．下列说法正确的是（       ）
A．函数的值域是，则函数的值域为
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若，则
D．函数的定义域是，则函数的定义域为
三、填空题
42．函数的定义域是________
43．函数的定义域是____________.
44．函数的定义域是_________．
45．函数的定义域是_________
46．已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
47．函数的定义域为,则的取值范围为______.
四、解答题
48．已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0，且a≠1).
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.
49．已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
50．已知函数.
（1）若，求的定义域；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
51．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
52．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立．
（1）求的值；
（2）证明在定义域上单调递减；
（3）若，求的取值范围．

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由化简求解即可.
【详解】
由，得x的取值范围为：，所以函数的定义域为.
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负求解即可
【详解】
由题意得，得，
所以函数的定义域为，
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
分别求出集合，，然后求交集.
【详解】
因为集合，
所以.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】
因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
根据求解即可
【详解】
∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
根据抽象函数定义域计算规则计算可得；
【详解】
解：因为函数的定义域为，
即，所以，令，解得，
所以函数的定义域为；
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.
【详解】
因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.
i.时，对任意恒成立；
ii. 时，只需，解得：；
所以.
记集合,.
因为AÜ B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
分、、讨论即可求解.
【详解】
若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．
综上所述：，D正确．
故选：D
9．D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.
【详解】
要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：D.
10．C
【解析】
利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】
由题设有，
由得，
故选:C.
11．D
【解析】
【分析】
根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项.
【详解】
边长为，另一条边长为，得，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的定义域，在求解函数的定义域时，需考虑自变量的实际意义，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
根据题意易得，从而得到结果.
【详解】
将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为，
∴，解得
∴函数的定义域为
故选D
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
13．B
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域以及函数的值域，再利用集合的包含关系求解a的取值范围即可.
【详解】
根据题意得：，
，
则，
，
由，
可得，
故选：B.
14．A
【解析】
【分析】
利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.
【详解】
因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
所以的定义域为.
故选：A
15．A
【解析】
【分析】
根据真数大于0列不等式后再解不等式即可.
【详解】
由题意得，即，解得.
故选:A.
16．C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可得，求解即可
【详解】
由，则，
解得
所以函数的定义域为.
故选：C.
17．C
【解析】
【分析】
由原函数的定义域，分别求、的定义域，它们的交集即为的定义域
【详解】
∵函数的定义域是
∴解之得：
故选：C
【点睛】
本题考查了求抽象函数的定义域，利用原函数的定义域求复合函数的定义域，属于简单题
18．B
【解析】
【分析】
先根据定义域确定的解为，再确定，且，即解得结果.
【详解】
函数的定义域为，则的解集为，
即，且的根，故.
故选：B.
19．C
【解析】
【分析】
由函数y=f(x)的定义域为{x|0 【详解】
因为函数y=f(x)的定义域为{x|0 应有0<|2x-3|<1，即-1<2x-3<1，且2x-3≠0，求得1 所以函数y=f(|2x-3|)的定义域为∪
故选：C
20．D
【解析】
【分析】
通过求解f(x)的定义域，确定f(2x)的中2x的范围，求出x范围，就可确定f(2x)定义域
【详解】
要使函数有意义，则，解得，的定义域为，由，解得，的定义域为，
故选D.
21．C
【解析】
根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数有意义，则满足，
解得且，即函数的定义域为.
故选：C.
【点睛】
函数的定义域的求解口诀：
定义域，是何意，自变量，有意义；
分式方面不为零，对数真数只取正；
偶次根式要非负，三者结合生万物；
和差积商定义域，不等式组求交集；
抽象函数定义域，对应法则内相同.
22．B
【解析】
【分析】
要使函数有意义，则有，解出即可.
【详解】
要使函数有意义，则有，解得且
所以其定义域为
故选：B
23．C
【解析】
【分析】
根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.
【详解】
由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选：.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.
24．C
【解析】
【分析】
根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.
【详解】
函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．
故选：C
25．A
【解析】
【分析】
直接由可得定义域.
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
26．B
【解析】
【分析】
结合抽象函数定义域的求法即可.
【详解】
函数f(x)的定义域为(-1，1)，则对于函数g(x)=+f(x-2)，
应有解得1 故g(x)的定义域为(1，2).
故选：B.
27．D
【解析】
【分析】
根据孪生函数的定义，求出和的值，再根据定义域和值域的关系一一列举出可能的定义域.
【详解】
当时，，解得，当时，，解得，
当定义域有两个元素时有，当定义域有3个元素时有，当定义域有4个元素时有，所以共有9个，
故选D.
【点睛】
本题考查新定义，对新定义的理解，以及理解定义域和值域的关系，属于中档题型.
28．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；
【详解】
解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则


，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
29．D
【解析】
根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
故选：D.
30．D
【解析】
【分析】
根据给定函数有意义列出不等式组解之即得.
【详解】
依题意，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
31．C
【解析】
根据函数的定义域以及单调性可得，解不等式组即可．
【详解】
因为函数是定义在的单调递增函数，且，
所以，
解得或．
故选：C．
32．B
【解析】
【分析】
解不等式组即得解.
【详解】
解：由题意得，
解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，
故选：B．
33．C
【解析】
由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.
【详解】
对于函数，，可得，
因此，函数的定义域是.
故选：C.
34．C
【解析】
【分析】
利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】
对于函数，，
故对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为，
故选：C.
35．A
【解析】
【分析】
利用排除法求解，对于B选项，函数有意义，则且且，排除；对于C选项，函数有意义，则，排除；对于D选项，根据时函数值得符号判断即可.
【详解】
解： 对于B选项，函数有意义，则，解得且且，故不满足，错误；
对于C选项，函数有意义，则，解得，故不满足，错误；
对于D选项，当时，，故图像不满足，错误.
故根据排除法得与此图像最为符合.
故选：A
36．C
【解析】
【分析】
解不等式组得出定义域.
【详解】
，解得
即函数的定义域
故选：C
37．A
【解析】
【分析】
利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】
由题设有，
由得，故选A.
【点睛】
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
38．AC
【解析】
【分析】
由抽象函数的定义域的求法，可判定A正确；举反例结合充分、必要条件的判定方法，可判定B不正确；化简等式为，结合基本不等式求得最小值，可判定C正确；根据复合函数的单调性的判定方法，可判定D不正确.
【详解】
对于A中，由函数定义域为，即，
令，解得，即函数的定义域为，所以A正确；
对于B中，利用满足，但函数不是奇函数，所以充分性不成立；
反之：例如函数是奇函数，但无意义，所以必要性也不成立，所以B错误；
对于C中，由正实数x，y满足，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，令，即，解得，
由函数表示开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数单调递减，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，
因为函数在区间内单调递增，
则满足，解得，所以D不正确.
故选：AC.
39．BD
【解析】
【分析】
根据函数的定义域，值域和此函数的特点进行分析判断即可
【详解】
由狄利克雷函数可知，的定义域为，值域为，所以AC错误，B正确，
当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，所以，所以D正确，
故选：BD
40．ABD
【解析】
由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】
对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上是增函数，故C       错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
41．BCD
【解析】
【分析】
根据函数的性质，以及集合的性质，逐项判断，即可得出结果；
【详解】
由与的值域相同知，A错误；
设，且，是关于原点对称的区间，则既是奇函数又是偶函数，由于有无数个，故有无数个，即B正确；
由得，，从而，即C正确；
由得，即函数的定义域为，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题主要考查函数概念及性质的应用，以及集合交集与并集的性质，属于基础题型.
42．
【解析】
【分析】
根据题意可知，由此即可求出结果.
【详解】
由题意可知，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
43．
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零，偶次方根被开方数为非负数以及分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】
依题意得，即，解得.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
44．
【解析】
【分析】
根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
45．
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．
【详解】
由题意知，，
即，
所以的定义域为：
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
46．
【解析】
【分析】
令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域.
【详解】
令，
则，
在上单调递增，，，，
的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：已知的定义域，求解定义域的基本思路为：的值域即为的定义域.
47．.
【解析】
【分析】
函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】
由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
48．（1）.（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1) 函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为f(x)＝和 g(x)＝定义域的交集，列出方程组求解即可. (2) f(x)≤g(x)，即为，对，两种情况分类讨论，即可求出x的取值范围.
【详解】
解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.
(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
综上可得：当时，x的取值范围为.
当时，x的取值范围为.
【点睛】
本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，考查分类讨论的思想，属于基础题.
49．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
50．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数是非负数，结合的范围，即可容易求得结果；
（2）利用复合函数单调性的判断原则，列出不等式，即可容易求得参数范围.
【详解】
（1）时，由得，
即函数的定义域是.
（2）当即时，令
要使在上是减函数，则函数在上为减函数，
即，并且，解得；
当即时 ，令
要使在上是减函数，则函数在为增函数，
即，并且，解得
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，以及根据函数单调性求参数范围，属综合基础题.
51．（1）且；（2）且.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解；
（2）根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数有意义，则满足，即，
解得且，所以函数的定义域为且.
（2）由题意，函数有意义，则满足，即，
所以函数的定义域为且.
52．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）令，代入计算；（2）设，则，利用可得，从而得出单调性；（3）由单调性以及定义域列不等式组求解可求出的范围.
【详解】
（1）令，
，则．
（2）设，则，
当时，恒成立，则，
，

函数是上的减函数；
（3）∵在定义域上单调递减
∴，解得，
∴，
解得:，故的取值范围．