微专题 利用导数证明不等式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：利用导数证明不等式
【考点梳理】
（1）①证明f(x)>g(x)，可以构造函数h(x)＝ f(x)－g(x), 然后利用h(x)的最值证明不等式；
②若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量， 达到证明的目的.
(2)利用“隐零点”证明不等式的关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.


【题型归纳】
题型一：利用导数证明不等式
1．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：在上，.
2．设函数，其中．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若．
（ⅰ）证明：恰有两个零点；
（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
3．已知函数（a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．




【双基达标】
4．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
5．设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
6．已知函数．
(1)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
7．已知函数，.
（1）求函数的增区间；
（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.
8．已知函数f（x）＝（x+1）ex+（a﹣1）x，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若g（x）＝f（x）﹣ex在R上单调递增，则当x＞0时，求证：
9．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
10．已知函数.
(1)若曲线上任意一点处的切线斜率不小于3，求a的最小值.
(2)当，时，若有两个极值点，，且，求证：.
11．已知函数．
(1)求在R上的极值；
(2)求证：．
12．已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
13．（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.
14．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求的值．
15．已知函数．
(1)若函数在定义域内是单调增函数，求实数的取值范围；
(2)求证：，．
16．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
18．已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
19．已知函数（a为常数）在处的切线方程为.
（1）求a的值，并讨论的单调性；
（2）若，求证.
20．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.

【高分突破】
21．已知且，函数.
(1)当时，设的导函数，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个互异的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
22．已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
23．已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
24．已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）当时，讨论函数的单调性．
25．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明：