初中数学中考复习 专题17 勾股定理(解析版)
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这是一份初中数学中考复习 专题17 勾股定理(解析版),共19页。试卷主要包含了直角三角形的性质,勾股定理,勾股定理的作用,直角三角形的判定方法,3 cm,0等内容,欢迎下载使用。
专题17 勾股定理
知识点1:勾股定理
1.直角三角形的性质(重点记住并理解的知识):
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半;
(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
2.勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
3.勾股定理的作用
(1)已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;
(2)用于解决带有平方关系的证明问题;
(3)与勾股定理有关的面积计算;
(4)勾股定理在实际生活中的应用.
知识点2:勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2n,m,n是正整数),则△ABC是直角三角形吗?
【答案】见解析。
【解析】
先来判断a,b,c三边哪条最长,可以代m,n为满足条件的特殊值来试,m=5,n=4.
则a=9,b=40,c=41,c最大。
∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=(m2+n2)2,
∴a2+b2=c2,
∴能成为直角三角形的三边长.
20.(15分)在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.
【答案】见解析。
【解析】对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部,钝角三角形的高线在三角形的外部,而BC求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状.
(1)如图甲,如果该三角形是锐角三角形时当BC边上的高线在△ABC内部时,如图所示:
图甲
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ADB与△ADC为直角三角形.
在Rt△ADB中,AB=13,AD=12,根据勾股定理得
∴BD==5
在Rt△ADC中,AC=13,AD=12,根据勾股定理得
∴DC==9
∴BC=BD+DC=5+9=14.
△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42
(2)如图乙,如果该三角形是钝角三角形时,
图乙
BC边上的高线在△ABC外部时,同理可得:
BC=BD-DC=9-5=4
△ ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.
21.(10分)如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形.
【答案】见解析。
【解析】
本题需要将已知等式进行变形,配成完全平方式,求出a,b,c的值,然后再说明.
将式子变形,得
a2+b2+c2+338-10a-24b-26c=0,
即a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0.
整理,得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.
因此a-5=0,b-12=0,c-13=0,
∴a=5,b=12,c=13.
∵a2+b2=52+122=132=c2,
这个三角形是直角三角形.
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