安徽省六校教育研究会2023届高三下学期入学素质测试数学试题

安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试

数学试题卷

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）

1.设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.已知集合，，则有（    ）个真子集.

A.3    B.16    C.15    D.4

3.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265.若此时远火点距离约为11945，火星半径约为3395，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（    ）

A.11680    B.5840    C.19000    D.9500

5.如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上､下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.在中，，，，则直线通过的（    ）

A.垂心    B.外心    C.重心    D.内心

7.已知向量的夹角为60°的单位向量，若对任意的､，且，，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知直线与曲线相切，切点为P，直线与x轴､y轴分别交于点A，B，O为坐标原点.若的面积为，则点P的个数是（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上）

9.以下四个命题中，真命题的有（    ）

A.在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；

B.回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；

C.对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大.

D.已知随机变量服从二项分布，若，则.

10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一

股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像.已知当

时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则（    ）

A.    B.

C.的图像关于原点对称    D.在区间上单调

11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）

A.异面直线与所成角的余弦值为

B.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为

C.过点的平面截正方体所得的截面周长为

D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为

12.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（    ）

A.    B.数列不是单调递增数列

C.若p为质数，则数列为等比数列    D.数列的前4项和等于

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______.

14.曲线在点处的切线平分圆，则函数的零点为____.

15.已知函数，若，，则_________.

16.设抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为N，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，与相交于点，且，则点的纵坐标为______.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）等差数列（n∈N*）中，，，分别是下表第一､二､三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.

（1）请选择一个可能的{，，}组合，并求数列的通项公式；

（2）记（1）中您选择的的前n项和为，判断是否存在正整数k，使得，，成等比数列.若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

18.（本题满分12分）某游乐园内有一个池塘，其形状为直角，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

（1）若在内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长；

（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造连廊供游客观赏，如图②，使得为正三角形，求连廊长的最小值.

19.（本题满分12分）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现､早诊断､早隔离､早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：

方案一：将位居民分成组，每组人；

方案二：将位居民分成组，每组人；

试分析哪一个方案的工作量更少？

（参考数据：，）

20.（本题满分12分）图1是直角梯形ABCD，，∠D=90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且.

（1）求证：平面平面ABED.

（2）在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.

21.（本题满分12分）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.

（1）求的方程；

（2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.

（i）求证：直线过定点；

（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.

22.（本题满分12分）已知函数.

（1）当时，证明：在上为减函数.

（2）当时，，求实数的取值范围.

安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试数学

参考答案

1.【答案】D

【解析】，则其在复平面对应的点为，即在第四象限，故选：D

2.【答案】A

【解析】，则，

真子集个数为，故选：

3.【答案】C

【解析】函数为增函数，则，此时，故函数在上单调递增；当在上单调递增时，，，所以，故为增函数，故选：C

4.【答案】A

【解析】设椭圆的方程为，由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足①，远火点满足②，由②-①得，故选：A

5.【答案】C

【解析】由题意得该容器模型为正四棱台，上､下底面的边长分别为.

设该棱台的高为，则由棱台体积公式，得：得，所以侧面等腰梯形的高，所以故选：C

6.【答案】D

【解析】因为，

设，则，

又在的角平分线上，

由于三角形中，故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，

故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.

7.【答案】A

【解析】已知向量的夹角为的单位向量，则

所以

所以对任意的，且，则

所以，即，设，即在上单调递减

又时，，解得，所以在上单调递增；

在上单调递减，所以，故选：A.

8.【答案】C

【解析】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，方程为，

令；令，即.

所以.

设，则.

由，解得或；由，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减.

，且恒有成立，

如图，

函数与直线有3个交点.所以点的个数为3，故选：.

9.【答案】AB

【解析】对于，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，正确；

对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；

对于，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，错误.

对于D，，又，

，解得：错误.故选：.

10.【答案】BC

【解析】，则，由题意得，即，故，因为，所以，由则，，故选项错误；

因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；

因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误，故选：

11.【答案】BCD

【解析】对于项，

在Rt中即为异面直线与所成的角，

，

异面直线与所成的角的余弦值为.故项错误；

对于项，取的中点的中点，连接，

则，

又面面面面，

面面，

又面面面，

又面面轨迹为线段，

在中，过作，此时DP取得最小值，

在Rt中，，

在Rt中，，

在Rt中，，

如图，在Rt中，.故B项正确；

对于项，过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形

则，如图，以为原点，分别以为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

设，则，

，

，

在Rt中，，同理：，

在Rt中，，同理：

在Rt中，，

，

即：过点的平面截正方体所得的截面周长为.故项正确；

对于项，如图所示，取的中点，则，过作，

且使得，则为三棱锥的外接球的球心，

所以为外接球的半径，

在Rt中，

.故D项正确，故选：.

12.【答案】ABC

【解析】根据题意可知，12与互质，29与共28个数都互质，

即，所以正确；

由题意知，可知数列不是单调递增的，B正确；

若为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，

即每个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个，

故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确；

根据选项C即可知，数列的前4项和为，故D错误，故选：ABC

13.【答案】15

【解析】由题知，则，

令，得，所以展开式中的系数为.

故答案为：15.

14.【答案】1

【解析】因为，所以，

曲线在点处的切线斜率，又，

则切线方程为：，即，

若该切线平分圆，则切线过圆心，则，解得，

所以，即，所以，

则有一个零点，

故答案为：1

15.【答案】

【解析】因为，所以为偶函数，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：

16.【答案】

【解析】作图如下，

由得，，即，

又因为为的中点，所以，所以，

所以为的三等分点，且，又因为，所以，且，所以，不妨设，且在第一象限，，所以，

因为点在抛物线上，所以，

所以根据相似关系可得，

故答案为：.

17.【答案】（1）或（2）见解析.

【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件：①，此时等差数列中，，所以其通项公式为；②，此时等差数列中，，所以其通项公式为

（2）若选择①，，则.若成等比数列，则，即，整理得，此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.

若选择②，，则，若成等比数列，则，即，整理得，因为为正整数，所以.故存在正整数，使成等比数列.

18.【答案】（1）百米；（2）百米.

【解析】（1）因为是等腰三角形的顶点，且，又，

所以，又因为，所以，

则在三角形PAC中，由余弦定理可得：

，解得，

所以连廊百米；

（2）设正三角形的边长为，

则，且，所以，

在三角形中，由正弦定理可得：

，即，

即，化简可得，

所以（其中为锐角，且），

即边长的最小值为百米，

所以三角形连廊长的最小值为百米.

19.【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”

由题意可得

由条件概率公式得：

即

故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为

（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为1，6

所以的分布列为

所以

即方案一检测的总次数的期望为

设方案二中每组的检测次数为，则的取值为1，12

所以的分布列为

所以

即方案二检测的总次数的期望为

由，则方案二的工作量更少

20.【答案】（1）证明见解析存在，

【解析】（1）如图所示：

在图1中，连接，交V于，因为四边形是边长为2的菱形，

并且，所以，且.

在图2中，相交直线均与垂直，

所以是二面角的平面角，因为，

所以，所以平面平面；

（2）由（1）知，分别以为轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，设，

则.

设平面的法向量为，则，即，取，因为点到平面的距离为，所以，解得，

则，所以，设直线与平面所成的角为，所以直线与平面所成角的正弦值为

21.【答案】（1）；（2）（i）答案见解析；（ii）答案见解析.

【解析】（1）因为，渐近线经过点，

所以，解得：，所以

抛物线经过点，

所以，所以

（2）（i）因为在不同支，所以直线的斜率存在，设方程为.

令，联立得，，则.

联立可得，解得：，因为，

所以，代入直线方程及韦达结构整理可得：，整理化简得：.因为不在直线上，所以.

直线的方程为，过定点.

（ii）因为为定点，且为直角，

所以在以为直径的圆上，的中点即为圆心，半径为定值.

故存在点，使得为定值.

22.【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）当时，，则，

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴，当时，当时，

∴是上以为拐点的减函数.·

（2）由题意，对于恒成立.

设，则，

易知在上为增函数，

∴，故在上为增函数，

又，，

∴存在唯一的，使得：当时，，此时，由得，

令，则，

∴在上为减函数，则，故.

当时，，对于，恒成立.

当时，，由得，

由上知，

令，则，易知在上为增函数，

∵，而，，

∴，又，

∴存在唯一，使得：当时，，递减；当时，，递增；

∵，，

∴，即，∴在为减函数，，故.

综上可知，实数的取值范围为.