2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点21与圆有关的计算

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考点21与圆有关的计算 【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝或S＝lr.【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．真题演练一、单选题1．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．【详解】解：树叶形图案的面积为： ．故选：B．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．3π【答案】D【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵△ABC中,∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°−(∠BDO+∠CEO)−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°−120°=120°，∵BC=6，∴OB=OC=3，∴S阴影= 故选D．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO∽△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角∠FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图∵BP=2PD，BE=2OE∴∵∠DBE=∠PBE∴△DBO∽△PBE∴   即 ∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝∴∴ 同理：EF=， ∴PE=EF=EG∵当点D与点A重合时，点P与点F重合；当点D与点C重合时，点P与点G重合∴点P在以点E为圆心，为半径的圆弧FG上运动∵∠AOC=60°∴∠COB=∠AOC+∠AOB=90°∵△FBE∽△ABO，△BEG∽△BOC∴∠FEB=∠AOB=30°，∠GEB=∠COB=90°∴∠FEG=90°－∠FEB=60°的长为 故选：A．4．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．【详解】解：当在上时，即点在上时，有，此时阴影部分为等腰直角三角形，，该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，设，则，，，当时，，，，当时，，，，在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．故选：D．5．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，∴，故选D．6．（2021·浙江义乌·九年级期中）用一张半径为的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应该配一个面积为多少的圆做它的底面（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长，从而得到底面圆的半径，即可求出面积．【详解】半径为的半圆形纸片的弧长为：，即：底面圆的周长应为，∴底面圆的半径为：，∴底面圆的面积为：，故选：B．7．（2021·四川广元·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（    ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵是以为直径的半圆的切线，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可证△OCE≌△OFE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．8．（2021·湖北江夏·模拟预测）如图，在扇形中，，半径交弦于点，且．若，则阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．【详解】解：过作于，，，，，，，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，阴影部分的面积，故选：B．9．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．【详解】解：．故选：D10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（    ）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为【答案】C【分析】圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．【详解】圆心运动的路径即为圆滚动的距离．当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．故选：C． 二、填空题11．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．【答案】108【分析】根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．【详解】解得．故答案为：．12．（2021·江苏灌云·九年级期中）一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_______度．【答案】80【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=，求出这个扇形的圆心角为多少即可．【详解】设这个扇形的圆心角为n°，则＝8π，解得，n＝80，故答案为：80．13．（2021·江苏南京·九年级阶段练习）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．【答案】18π【分析】根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，∴底面周长，又∵母线长为6cm，∴；故答案是18π．14．（2021·江苏连云港·二模）如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为____________．【答案】【分析】求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长．【详解】解：∵切于点∴又∵∴∴∵∴∴弧的长故答案为．15．（2021·江苏江都·二模）一个圆锥的侧面展开图是半径为16cm，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径为________．【答案】【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】解：设此圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，，故答案为． 三、解答题16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图①，是某小轿车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图②所示．已知，，．（1）求点到的距离；（2）求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）【答案】（1）点D′到BC的距离为（40+50）厘米；（2）点E扫过的路径为厘米．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=80cm，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，利用扇形弧长公式求出．【详解】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′=AD=80厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=80×sin60°=40厘米．
又∵CE=30厘米，DE=20厘米，
∴FH=DC=DE+CE=50厘米，
∴D′H=D′F+FH=（40+50）厘米．
答：点D′到BC的距离为（40+50）厘米．
（2）连接AE，AE′，，如图4所示．
由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=80厘米，DE=20厘米，
∴厘米，
∴点E扫过的路径为
答：点E扫过的路径为厘米．17．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B = 24°，求的度数；（2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积；（3）若AD·AB= 12，求AC的值．【答案】（1）48°；（2）；（3）【分析】（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC=66°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到的度数；（2）利用斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=AB=，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD=60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积=S扇形ACD-S△ACD进行计算；（3）根据垂径定理得到AH=DH=AD，再根据相似三角形的性质得到AC2=AH•AB，即可求解.【详解】解：（1）连接CD，如图，∵∠ACB＝90°，∠B＝24°，∴∠BAC＝90°﹣24°＝66°，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝66°，∴∠ACD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴的度数为48°；（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB＝，∵CD＝CA，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，过点C作CH⊥AD于H，∴∠ACH=∠DCH=30°，∠CHA=90°，∴，∴∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD＝；（3）过点C作CH⊥AD于H，∴AH＝DH＝AD，∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC，又∠A＝∠A，∴ ∴ ∴AC2＝AH•AB，即AC2＝AD•AB＝6，∴．18．（2021·贵州遵义·中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据作法可得AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB=2，∠BAD=30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．【详解】解：（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠BCO，在△ADO和△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD=OC，∵OA=OB，MN⊥AB，∴四边形ADBC是菱形；（2）∵四边形ADBC是菱形，∴，∵∠BAD=30°，设圆O切AD于点H，连接OH，则OH⊥AD，∴，∴S圆O=，在Rt△AOD中，∠DOA=30°，OA=，∴，∴CD=2OD=2，∴S菱形ADBC=，∴图中阴影部分的面积=S菱形ADBC-S圆O=．