新高考数学二轮复习专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析 (2份打包，教师版+原卷版)

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专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析
考点一　单函数双任意型
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝＋ax＋b的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线l：2x－4y＋3＝0平行．
(1)求证：函数y＝f(x)在区间(1，e)上存在最大值；
(2)记函数g(x)＝xf(x)＋c，若g(x)≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈恒成立，求实数c的取值范围．











[例2]　已知函数f(x)＝(logax)2＋x－lnx(a>1)．
(1)求证：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
(2)若关于x的方程|f(x)－t|＝1在(0，＋∞)上有三个零点，求实数t的值；
(3)若对任意的x1，x2∈[a－1，a]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．









[例3]　已知函数f(x)＝x2－ax＋2lnx．
(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1∈，且f(x1)≥t＋f(x2)恒成立，求实数t的取值范围．














[例4]　已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax．+X+K]
(1)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；












[例5]　已知函数f(x)＝lnx＋ax2－3x．
(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，求函数f(x)的极小值；
(2)若a＝1，对于任意x1，x2∈[1，10]，当x1恒成立，求实数m的取值范围．








【对点训练】
1．已知函数f(x)＝alnx＋x－，其中a为实常数．
(1)若x＝是f(x)的极大值点，求f(x)的极小值；
(2)若不等式alnx－≤b－x对任意－≤a≤0，≤x≤2恒成立，求b的最小值．
2．设函数f(x)＝emx＋x2－mx．
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．















3．设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若对任意a∈(4，5)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m＋ln2>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
















4．已知函数f(x)＝lnx(其中e为自然对数的底数)．
(1)证明：f(x)≤f(e)；
(2)对任意正实数x、y，不等式a(lny－lnx)－2x≤0恒成立，求正实数a的最大值．















5．设函数f(x)＝lnx＋，k∈R．
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)














6．已知函数f(x)＝x－1－alnx(a<0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4，求实数a的取值范围．














7．设f(x)＝ex－a(x＋1)．
(1)若∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求正实数a的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y＝g(x)上任意两点，若对任意的a≤－1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．













考点二　双函数双任意型
【例题选讲】
[例6]　已知函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ax2＋1，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的单调性；
(2)已知a∉(0，e)，若对任意x1，x2∈[1，e]，有f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．











[例7]　已知函数f(x)＝＋x－1，g(x)＝ln x＋(e为自然对数的底数)．
(1)证明：f(x)≥g(x)；
(2)若对于任意的x1，x2∈[1，a](a>1)，总有|f(x1)－g(x2)|≤－＋1，求a的最大值．














[例8]　已知函数f(x)＝x2－2alnx(a∈R)，g(x)＝2ax.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|成立，求实数a的取值范围.












【对点训练】
8．已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x．若对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)
成立，求实数c的取值范围．

















9．已知函数f(x)＝x－1－aln x(a∈R)，g(x)＝．
(1)当a＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，求实数a的取值范围．











10．设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x．
(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；
(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．













考点三　任意存在型
【例题选讲】
[例9]　设函数f(x)＝lnx＋x2－ax(a∈R)．
(1)已知函数在定义域内为增函数，求a的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋2ln，对于任意a∈(2，4)，总存在x∈，使g(x)＞k(4－a2)成立，求实数k的取值范围．










[例10]　已知函数f(x)＝2ln－．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝lnx－ax，若对任意x1∈(1，＋∞)，存在x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．












[例11]　已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．
(1)当0＜a＜时，讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝x2－2bx＋4．当a＝时，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．












[例12]　已知x＝为函数f(x)＝xalnx的极值点．
(1)求a的值；
(2)设函数g(x)＝，若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范围．
















[例13]　已知函数f(x)＝exsinx－cosx，g(x)＝xcosx－ex，其中e是自然对数的底数．
(1)判断函数y＝f(x)在内零点的个数，并说明理由；
(2)∀x1∈，∃x2∈，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围．










[例14]　已知函数f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)，g(x)＝ex－1－x．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)∀a∈(0，1)，是否存在实数λ，∀m∈[a－1，a]，∃n∈[a－1，a]，使f[(n)]2－λg(m)<0成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．













【对点训练】
11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1的单调递减区间是(1，2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[2，＋∞)，使不等式x－x1lnx1－x1t＋3＞f(x2)成立，求实数t的取值范围．










12．已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0，1]使得f(x1)
















13．已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝1时，证明：f(x)≤－2；
(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝时，若∀x1∈(0，2)，∃x2∈[1，2]，f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．











14．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．


















15．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)









16．函数f(x)＝exsinx，g(x)＝(x＋1)cosx－ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)对∀x1∈，∃x2∈，使f(x1)＋g(x2)≥m成立，求实数m的取值范围．












考点四　存在任意型
【例题选讲】
[例15]　已知函数f(x)＝，a∈R．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝(x－k)ex＋k，k∈Z，e＝2.718 28…为自然对数的底数．当a＝1时，若∃x1∈(0，＋∞)，∀x2∈(0，＋∞)，不等式5f(x1)＋g(x2)＞0成立，求k的最大值．












[例16]　已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex．
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．












[例17]已知a＞0，函数f(x)＝ax－xex．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明函数y＝f(x)存在唯一的极值点；
(3)若存在实数a，使得f(x)≤a＋b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．









【对点训练】
17．已知f(x)＝＋lnx，(a∈R，且a≠0)．
(1)试讨论函数y＝f(x)的单调性；
(2)若∃x0∈(0，＋∞)使得∀x∈(0，＋∞)都有f(x)≥f(x0)恒成立，且f(x0)≥0，求满足条件的实数a的取值集合．











18．已知函数f(x)＝x－mlnx－(m∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex．
(1)若m (2)当m≤2时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围．










19．已知函数f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈，都有函数y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，≈1.648 7 ，≈1.395 6．



















20．已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)










考点五　双存在型
【例题选讲】
[例18]　已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函数f(x)的极小值；
(2)若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．













[例19]　已知函数f(x)＝x－alnx＋在x＝1处取得极值.
(1)若a>1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若a>3，函数g(x)＝a2x2＋3，若存在m1，m2∈，使得|f(m1)－g(m2)|<9成立，求a的取值范围．










【对点训练】
21．已知函数f (x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1)当a＝e(e是自然对数的底数)时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，求实数a的取值范围．















22．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋1＋mx2，当0＜m≤6时，g(x)＝x3－－mx，x∈(0，2]，若存在x1∈R，x2∈(0，
2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围．









23．设x＝3是函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．
(1)求a与b之间的关系式，并求当a＝2时，函数f(x)的单调区间；
(2)设a>0，g(x)＝ex．若存在x1，x2∈[0，4]使得|f(x1)－g(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．