新高考数学二轮复习专题29 单变量恒成立之参变分离后导函数零点不可求型 (2份打包，教师版+原卷版)

专题29　单变量恒成立之参变分离后导函数零点不可求型

【方法总结】

单变量恒成立之参变分离法

参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．

利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范围．

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝axex－lnx＋b在x＝1处的切线方程为y＝(2e－1)x－e．

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围．

[例2]　已知函数f(x)＝xlnx＋ax(a∈R)．

(1)若函数f(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；

(2)若对任意x∈(1，＋∞)，f(x)>k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值．

[例3]　已知函数f(x)＝aex－xex＋x－a(a∈R)．

(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若对任意x>0都有f(x)<x＋1恒成立，求a的最大整数值．

[例4]　已知函数f(x)＝(x＋a)lnx－x2－ax＋a－1．

(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)>alnx－x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值．

【对点精练】

1．已知函数f(x)＝．

(1)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f(x)的极值；

(2)若f(x)≤ex＋－1恒成立，求实数a的取值范围．

2．已知函数f(x)＝xex＋(e为自然对数的底数)．

(1)求证：函数f(x)有唯一零点；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，xex－lnx≥1＋kx恒成立，求实数k的取值范围．

3．已知函数f(x)＝5＋lnx，g(x)＝(k∈R)．

(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数y＝g(x)的图象相切，求k的值；

(2)若k∈N*，且x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>g(x)，求k的最大值．

(参考数据：ln 5≈1．61，ln 6≈1．791 8，ln(＋1)≈0．881 4)

4．设函数f(x)＝ex－ax－2．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．

5．设函数f(x)＝xlnx－＋a－x(a∈R)．

(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；

(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．