初中数学中考复习 专练13（一次函数与反比例函数综合）（30题）2022中考数学考点必杀500题（通用版）（解析版）

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2022中考考点必杀500题
专练13（一次函数与反比例函数综合）（30道）
1．（2022·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴和y轴上，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点E，与矩形的边分别交于点F，G，设直线的函数表达式为．

(1)求k，a，b的值；
(2)利用图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)若点P在矩形的边上，且为等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或．
【解析】
(1)
解：过点E作于点M，

∴，．
∴．
∵点E为对角线的中点，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，即．
∴．
∵点F，G分别在矩形的边上，
∴设．
∵点F，G在上，
∴．
∴．
将分别代入得：
，
解得，
∴．
∴．
(2)
解：∵，
∴结合图象可知：当或时，有．
(3)
解：∵为等腰三角形，设，
∵，
∴．
当时，，
解得：．（负值舍去）
当时，同理可得：．
当时，同理可得．（舍去）
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析．
2．（2022·山东师范大学第二附属中学二模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．

(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)，或，
【解析】
(1)
是AB的中点，且



在反比例函数的图象上

反比例解析式：
在反比例函数的图象上

和在直线DE：上

解得：
的解析式为：
(2)
作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接PD．
点D与点关于y轴的对称

此时的周长最小为：


设直线的解析式：
和在直线上

解得：
直线的解析式：
当时，
的坐标为：


(3)
点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上
①设，
（1）当DN和ME为对角线，即
，

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
排除
（2）当DM和NE为对角线，即
，

解得：
此时：，，存在满足条件的平行四边形
②设，
（1）当DE为对角线，即

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
排除
（2）当DN和ME为对角线，即

解得：
此时：，，存在满足条件的平行四边形
（3）当DM和NE为对角线，即
，

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
综上，，或，
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，平行四边形的性质及判定，轴对称最短路线的问题，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022·江苏·常州市朝阳中学一模）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，．

(1)求k的值：
(2)点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长．
【答案】(1)8
(2)
【解析】
(1)
解：

根据k值的几何意义可知：


(2)
解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M．


四边形AMHB是矩形




设，则，


解得：（舍去）
则

【点睛】
本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．
4．（2022·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若x，y满足，且，则称点P为平衡点．例如，点是平衡点．

(1) P1(2，2)和P2(，-5)两点中，点_________是平衡点；
(2)若平衡点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；
(3)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OC=6．反比例函数y=(x>0)的图象交边BC于点D，交边AB于点E，若D，E两点均为平衡点．求∠ODE的正切值．
【答案】(1)P2
(2)点P的坐标为(-4，4)；
(3)∠ODE的正切值为．
【解析】
(1)
解：对于P1(2，2)，
∵，2+2=4+4=8，
∴2+2，故P1(2，2)不是平衡点；
对于P2(，-5)，
∵，2+2=2×+2×5=，
∴2+2，故P2(，-5)是平衡点；
故答案为：P2；
(2)
解：∵平衡点P在一次函数的图象上，
设点P的坐标为(，-)，(x0，
∴2+2，即k=+12，
解得k=18，
∴反比例函数的解析式为y=，点D的坐标为(3，6)，
∵点E在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴设点E的坐标为(a，)，
∵点E为平衡点，且a>0，
∴2+2，即18=+，
解得a=3或a=6，经检验，a=3或a=6都是原方程的解，
∴点E的坐标为(6，3)，
∴四边形OABC是正方形，且边长为6，
过点O作OF⊥DE于点F，

∵点D(3，6)，点E(6，3)，
∴CD=BD=BE=AE=3，
∴DE=3，OD=，
∵S△ODE=6×6-×6×3-×6×3-×3×3=，
S△ODE=×DE×OF=×3×OF=，
∴OF=3，
∴DF=3，
∴∠ODE的正切值=．
【点睛】
本题考查了反比例与几何的综合题，涉及待定系数法、解直角三角形、正方形性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标、相关线段的长度．
5．（2022·山东济南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．

(1)求b、k、m的值；
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)点P是线段AB上一点，过点P作轴于点D，连接OP，若的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)b＝5，k＝4，m＝1；
(2)0＜x＜1或x＞4；
(3)
【解析】
(1)
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，4）和B（4，1），
∴﹣4+b＝1，
解得b＝5，
∴k＝4×1＝4，
∴4m＝k，
解得m＝1，
∴b＝5，k＝4，m＝1；
(2)
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1），
∴的解集为0＜x＜1或x＞4；
(3)
依题意，设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），
则，
∵1≤n≤4，
∵， ，
∴当n时，．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质是解题的关键．
6．（2022·广东佛山·二模）已知一次函数y3x＋b的图象与反比例函数y(x＞0)的图象交于点A(m，3)，与x轴交于点B，△AOB的面积为3．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象直接回答，在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(3)点C为x轴上一点，若△COA与△AOB相似，求AC的长．
【答案】(1)y=3x-6；y=
(2)x＞3
(3)或；
(1)
解：对于一次函数y3x＋b来说，
当y＝0时，03x＋b
解得x＝
∵一次函数y3x＋b经过点A(m，3)，△AOB的面积为3
∴
解得
∴一次函数的表达式为y3x－6
把点A(m，3)代入y3x－6得
3＝3m－6
解得m＝3
∴点A的坐标是（3，3）
∵反比例函数y(x＞0)的图象经过点A（3，3）
∴3＝
解得k＝9
∴反比例函数的表达式是y
(2)
解：根据函数图像，在第一象限内，一次函数反比例函数图像上方时，x＞3，
∴当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)
解：设点C的坐标为（t，0），
由（1）得直线AB的表达式为y3x－6，
当y＝0时，03x－6，解得 x＝2，
∴点B的坐标是（2，0）
∴ 0B＝2，
由（1）知点A的坐标是（3，3）
∴OA＝，AB＝
当t＞0且△COA∽△AOB时，如图1所示，

∴
∴
解得AC＝3，t＝9，
即当点C的坐标是（9，0），AC＝3；
当t