2022-2023学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷

1.  已知复数是虚数单位，则z的虚部为______.

2.  直线与直线的夹角大小等于______.

3.  函数的定义域为______.

4.  函数的最大值为______.

5.  已知集合，，若，则实数a的值为______.

6.  已知函数的图像关于原点对称，且时，，则______.

7.  直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为______.

8.  已知空间中三点，，，则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为______.

9.  已知椭圆C：的面积公式为，若抛物线上到焦点的距离为2的一点P在椭圆C：上，则该椭圆面积的最小值为______.

10.  已知矩形ABCD，P是矩形内一点，且P到AB的距离为若将矩形ABCD绕AD顺时针旋转，则线段AP扫过的区域面积为______.

11.  已知圆M：，圆N：直线、分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______.

12.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线PA与平面ABCD成角．设四面体PBCD外接球的圆心为O，则球的体积为______.

13.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

14.  已知直线l：过双曲线C：的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法是屋顶面积分别为、、，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

16.  已知平面直角坐标系中的直线：、：设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中，则、公共点的个数不可能为(    )

A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 12个

17.  已知数列为等比数列，且为严格增数列，，，
求数列的通项公式及前n项和；
求数列的前n项和的最小值．

18.  如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，
求三棱锥的体积．
求异面直线与OP所成角的大小；结果用反三角函数值表示

19.  椭圆的左、右焦点分别为，，其中，O为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为
求椭圆的标准方程及离心率；
过点的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点．求的面积．

20.  如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，
证明：；
线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

21.  已知，函数的图象为曲线、B是上的两点，A在第一象限，B在第二象限．设点、
若B到和到直线的距离相等，求p的值；
已知，证明：为定值，并求出此定值用p表示；
设，且直线OA、OB的斜率之和为求原点O到直线AB距离的取值范围．

答案和解析

1.【答案】2 

【解析】解：复数，
则，即其虚部为
故答案为：
根据共轭复数的定义，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】arctan2 

【解析】解：的斜率为2，倾斜角为，
的斜率为0，倾斜角为，
故两直线的夹角为
故答案为：
求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，还考查了两直线的夹角的求解，属于基础题．
 

3.【答案】且 

【解析】解：要使原函数有意义，则，解得且
函数的定义域为且
故答案为：且
由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
 

4.【答案】2 

【解析】解：，
所以函数的最大值为
故答案为：
利用辅助角公式化简函数解析式，由正弦函数的的性质即可求解最值．
本题主要考查三角函数的最值，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：集合，，，
则，解得，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与不重合，符合题意，
故实数a的值为
故答案为：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，时，，则，
又由函数的图像关于原点对称，即函数为奇函数，
则，
故答案为：
根据题意，由函数的解析式求出的值，又由奇函数的定义可得函数为奇函数，则有，由此可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

7.【答案】， 

【解析】解：直线l过点且与圆相切，
圆的圆心，半径，
当直线的斜率k不存在时，
直线l的方程为，与圆相切，成立；
当直线的斜率k存在时，
设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，，即
综上，直线l的方程为，
故答案为：，
当直线的斜率k不存在时，直线l的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率k存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离，求出斜率k，由此能出直线l的方程．
本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，，
，
，

故答案为：
求出向量的坐标，进而可得模长即向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积．
本题考查向量背景下平行四边形的面积的计算，关键是求向量的坐标及模长．
 

9.【答案】 

【解析】解：设P的坐标为，
又P到抛物线的交点的距离为2，
，又，
，将其代入，可得，
，又点P在椭圆C：上，
，当且仅当时，等号成立，
，
椭圆C的面积公式为，
故答案为：
根据抛物线的性质，基本不等式，即可求解．
本题考查抛物线的性质，基本不等式的应用，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：线段AP扫过的区域面积即为以为半径，
母线长为的圆锥的侧面积的，故；
故答案为：
由题可得线段AP扫过的区域为圆锥的侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可．
本题考查圆锥的侧面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】8 

【解析】解：由题意可得，，，，
，
，
为椭圆上的点，

由题意可知，，
，
故答案为：
由题意可知，，，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解
本题主要考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：在底面ABCD上，，，，，
所以，所以，
在上，，
由余弦定理可得：，
所以，所以
所以
又因为平面ABCD，所以
又，面PBD，面PBD
所以面PBD，所以
则和均为直角三角形，当O点为PC中点时，，
此时O为四面体PBCD的外接球的球心．

直线PA与平面ABCD成角，平面ABCD，
则，，
又，
四面体PBCD外接球的半径为，
所以四面体PBCD外接球的体积为
故答案为：
先证明出和均为直角三角形，得到O点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．
本题考查四面体外接球体积的求法，线面角的定义，线面垂直的判定及其性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】C 

【解析】解：集合，
则，
，
则
故选：
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集、补集的运算，属于基础题．
 

14.【答案】D 

【解析】解：设l的倾斜角为，
由题意可得，，，a，，
解得，
，
，
故选：
设l的倾斜角为，由题意可得，，，a，，解得a，b，即可得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

15.【答案】A 

【解析】解：因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为，
由面积射影公式得：，，，
所以
故选：
根据三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角相等，且屋顶在水平面上的射影面积相等，由面积射影公式即可求得屋顶面积相等．
本题考查了二面角知识在实际生活中的应用问题，由面积射影公式即可得出结论，是基础题．
 

16.【答案】D 

【解析】解：由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，
即，
则当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
所以曲线是以，，，为顶点的矩形，
设曲线上的点为，满足，即，
所以是椭圆，
所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，
故选：
由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果．
本题考查直线与曲线交点个数的求法，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得，设的公比为q，，
由，，可得，，
则，解得，，
；
，
则前n项和，
所以当或4时，取得最小值 

【解析】由等比数列的通项公式、求和公式可得所求；
由对数的运算性质可得，再由等差数列的求和公式和二次函数的最值可得所求．
本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式的运用，以及前n项和的最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意，
解得分
在中，，，
所以分
在中，，，
所以分
分
分
取中点Q，连接OQ，PQ，则，
得或它的补角为异面直线与OP所成的角．分
又，，得，，分
由余弦定理得，分
得异面直线与OP所成的角为分 

【解析】由题意圆柱的表面积为，，建立关于圆柱高的方程求出，即得棱锥的高，再由，解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；
取中点Q，连接OQ，PQ，可证得或它的补角为异面直线与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．
本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．
 

19.【答案】由题意可得，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为
直线l的方程为，代入椭圆方程得，设，，
则，
，
又点O到直线AB的距离，
，
即的面积为 

【解析】根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程和离心率；
求出直线l的方程，将其与椭圆方程联立，设，，求出，，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果．
本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，椭圆中的面积问题，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：证明：在四棱锥中，
面ABCD，面ABCD，面ABCD，
，，在直角梯形ABCD中，，，
又面ADP，面ADP，
面ADP，又面ADP，
；
由题意及得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，
在四棱锥中，，，
建系如图所示，根据题意可得：
，，，，，
，，，
设，，
又点M在线段CP上，，
，
，，
若面PCD，
则，
解得，
，
；
由题意及可得：，，，
设，
，
，
设，则，
又，，
，
当时，，此时取得最大为，
又在上单调递减，
当最大时，直线CQ与DP所成的角取得最小，
又，，
故所求线段BQ长为 

【解析】通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直；
通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长；
通过向量关系表达出，再表达出，列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长．
本题考查线面垂直的判定定理及性质，向量法求解距离，向量法求解线线角，函数思想，属中档题．
 

21.【答案】解：设，
由题意，，
而，
由知，，
故
证明：设，，
则，，
故由，得，即，
由于，故，
所以为定值．
由题，设直线OA、OB的斜率分别为k、，
则，，
故直线AB的方程为，
设，则，
所以O到直线AB距离为，
当时，，故，
故原点O到直线AB距离的取值范围为 

【解析】根据函数表达式可设，结合两点间距离公式可得，整理即可求解；
设，，则可得到，，由平行关系可得，整理即可证明；
设直线OA、OB的斜率分别为k、，代入函数表达式可得A，B的坐标，即可得到直线AB的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于难题．