2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷

1.  小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.

2.  从中随机取两个元素可相同，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.

3.  若等比数列的前n项和，则______.

4.  若数列满足，若，则______.

5.  为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下按从小到大的顺序排列，单位：
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______

6.  已知为等差数列，，，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是______.

7.  已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元．

8.  第14届国际数学教育大会于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.

9.  ，，，使，，成等差数列的自然数n的所有可能的值为______.

10.  已知，则数列前2m项之和为______.

11.  已知数列满足，，若对任意的正整数n均有，则实数m的最大值是______.

12.  设数列满足，，记，则使得成立的最小正整数n是______.

13.  某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是(    )

A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法 B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法 D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法

14.  已知数据，，⋯，是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是(    )

A. 年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变
B. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大
C. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变
D. 年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变

15.  对任意等比数列，下列说法一定正确的是(    )

A. ，，成等比数列 B. ，，成等比数列
C. ，，成等比数列 D. ，，成等比数列

16.  已知数列，满足，，，，则下列选项错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

17.  某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量单位：如下：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、；
求：20罐茶叶的平均质量x和标准差精确到

18.  俞女士每次投篮的命中率只有，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．

19.  设等差数列的前n项和为，且
若，求的公差；
若，且是数列中最大的项，求所有可能的值．

20.  已知等差数列的公差为d，且关于x的不等式的解集为
求数列的通项公式；
若，求数列前n项和

21.  已知数列满足，，
写出数列的前四项；
判断数列的单调性；
求证：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第一次不出现6的概率为，第二次不出现6的概率也为，
则掷两次骰子都不出现6的概率为，
故掷两次骰子都出现6的概率为，
故答案为：
根据古典概型求解即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：从中随机取两个元素，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
则两个元素的积不是6的倍数有，，，，，，，，，，，，，共13种，
则这两个元素的积不是6的倍数的概率为
根据古典概型定义可解．
本题考查古典概型概率计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：等比数列的前n项和，
因为，
所以
故答案为：
由已知结合等比数列的求和公式的特点即可直接求解
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：数列满足，，
，，，
……，
，
则，
故答案为：
由数列满足，，经过计算，，，即可得出数列的周期性，即可得出结论．
本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

5.【答案】69 

【解析】解：，
数据从小到大第13个数是69，
所以第75百分位数为
故答案为：
根据百分位数的求法求得正确答案．
本题考查百分位数的计算，是基础题．
 

6.【答案】20 

【解析】解：设等差数列公差为d，则有解得，
，
数列的前20项为正，
使得达到最大值的是20
故答案为20
利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得和d，进而求得，，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．
本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：
万元
故答案为：
由题中给出的数据，利用平均数的计算公式求解即可．
本题考查了平均数的求解，解题的关键是确定区间中点以及对应的频率，考查了化简运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，
则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，
所以张老师与李老师随机选择的总数为种情况，
两人选择的日期恰好都不相同的分别为，，，，，共6种情况，
所以所求事件的概率为，
故答案为：
设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，分别求出两人总的选择的个数以及所求事件的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】1 

【解析】解：因为，
，
，
若，，成等差数列，可得，
即为，
化为，即，
解得舍去，
故答案为：
由连续自然数的前n项的和、平方的和与立方的和的公式，结合等差数列的中项性质，解方程可得所求值．
本题考查连续自然数的前n项的和、平方的和与立方的和，以及等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，
可得数列前2m项之和


故答案为：
由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】2 

【解析】解：因为，
累加可得，
若，注意到当时，，不满足对任意的正整数n均有，
所以；
当时，证明对任意的正整数n都有，
当时，成立，
假设当，时结论成立，即，
则，即结论对也成立，
由数学归纳法可知，对任意的正整数n都有，
综上可知，所求实数m的最大值是
故答案为：
根据递推公式可考虑分析，再累加求出关于关于参数m，n的关系，根据表达式的取值分析出，再用数学归纳法证明满足条件即可．
本题主要考査了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析，属于难题．
 

12.【答案】2025 

【解析】解：因为，所以，
所以，即，
所以，
又，所以数列为递增数列，
所以，所以，所以，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
故使成立的最小正整数n是2025，
故答案为：
由数列的递推式推得，由数列的裂项相消求和可得，利用数列为递增数列，可得，，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．
 

13.【答案】B 

【解析】解：对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，
所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；
对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本．
故选：
调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．
本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．
 

14.【答案】B 

【解析】解：因为数据，，⋯，是上海普通职工n个人的年收入，
而是世界首富的年收入，则会远大于，，⋯，，
故这个数据的平均值增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大．
但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．
故选：
根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果．
本题主要考査平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型．
 

15.【答案】D 

【解析】解：A项中，，，故A项说法错误，
B项中，故B项说法错误，
C项中，故C项说法错误，
D项中，故D项说法正确，
故选：
利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．
 

16.【答案】D 

【解析】解：，，，…，故A正确；
B.由题意可得，当且仅当取等号，，，……，又，，，因此B正确；
C.，，…，，因此C正确；
D.，，…，
而……，，因此D不正确．
故选：
A.由，，相除可得，进而得出，即可判断出正误；
B.由题意可得，，利用递推关系可得……，即可判断出正误；
C.，可得，即可得出…，即可判断出正误；
D.，平方可得…，由B可得，即可判断出正误．
本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

17.【答案】解：罐茶叶的平均质量；
罐茶叶的方差，
罐茶叶的标准差 

【解析】根据平均数与标准差的概念，计算即可得解．
本题考查平均数与标准差的概念，属基础题．
 

18.【答案】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有，
记俞女士每次投篮命中为事件，，2，3，4，则，
只要连续两次命中就结束投篮练习，
投篮2次结束的概率为，
投篮3次结束的概率为，
投篮4次结束的概率为，
她至多四次投篮就能结束的概率 

【解析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件，则，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为d，
则，解得
由得，，
由于是数列中最大的项，，，
所以，即，
即，
解得，由于是整数，所以的可能取值是18，19， 

【解析】根据已知条件列方程，化简求得的公差；
根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值．
本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：关于x的不等式的解集为，
可得，3是方程的两根，
则，，
解得，，
则；
，
数列前n项和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得 

【解析】由题意可得，3是方程的两根，运用韦达定理可得数列的首项和公差，进而得到所求通项公式；
求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，，可得，，；
由，，可得，
，
即有，
所以为递增数列；
证明：因为，
所以，
即为，所以；
再运用数学归纳法证明：，等价为
当时，；
假设时，
当时，只需证明，，即证
因为，随着k的增大而增大，所以，
只需证明，即为，
即为，
即，
上式两边平方可得左边，右边，
显然右边大于左边，
则原命题成立，即 

【解析】由数列的递推式直接写出前四项；
将数列的递推式两边平方，移项判断，可得单调性；
先证明不等式的左边，由，累加可得证明；再运用数学归纳法证明不等式的右边．
本题考查数列的递推式，以及不等式的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．