2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点04一次函数与反比例函数

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核心考点04 一次函数与反比例函数考向分析1.从考查的题型来看，主要以选择题或填空题的形式进行考查,属于中、低档题，较简单；解答题主要考查反比例函数与一次函数的综合或与几何图形的综合，属于中档题。2.从考查的内容来看,考查的重点有：函数的概念与平面直角坐标系的建立；函数的三种表示方法；各象限内坐标的特点；函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题；一次（反比例）函数的概念、性质及图象；一次函数与一次方程(不等式)相结合的综合应用.；一次（反比例）函数解析式的确定；反比例函数的应用。3.从考查的热点来看,主要涉及的有:象限内坐标的特点与有序实数对；函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题；函数在实际问题中的应用；一次函数的性质与图象及其与其他方程或不等式的实际问题的综合应用；反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。考点详解1.正比例函数和一次函数的概念判断一个函数是否为一次函数关键是看它的k值是否不为0和自变量指数是否为1；而要判断一个函数是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件．当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k≠0及指数为1．2.一次函数的图象(1)所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的直线．(2)k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小．(3)一次函数y=kx+b是由正比例函数y=kx上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过第一、三象限还是过第二、四象限，再由b的正负判断是向上平移还是向下平移，从而得出所过象限.而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关．准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键．3.正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数解析式y=kx(k0)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k0)中的常数k和B．解这类问题的一般方法是待定系数法．4.一次函数的应用主要涉及经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．解决这类问题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案． 注意：读图时首先要弄清横、纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．5.反比例函数的概念一般地，形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数．方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数的关键是看它的横、纵坐标的乘积是否为一个非零常数.当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑及指数为．6.反比例函数的性质当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．方法归纳：熟练掌握反比例函数的性质，准确抓住“在每个象限内”是解答的关键．反比例函数的图象位置和函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的.反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号，如已知双曲线在第二、四象限，则可知.7.反比例函数的图象与画法反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三或第二、四象限，它们关于原点对称.由于反比例函数中自变量，函数值，所以反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.画反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线.需要注意的是：（1）画反比例函数的图象应多取一些点，这样画出的图象才能标准、对称、美观；（2）随着的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远达不能与坐标轴相交.8.反比例函数与一次函数的综合运用一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标为对应方程组的解.方法归纳：列方程组是关键.坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑．9.反比例函数的图象和k的几何意义 主要涉及与三角形、四边形相关的面积问题，线段长度问题和坐标问题．如图，过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积.因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点P(x,y)分别作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为.如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 真题再现一、单选题1．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3C．y（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）2．（2021·贵州遵义·中考真题）已知反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限3．（2021·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（   ）A． B．C． D．4．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（     ）A．（1，1）B．（1，1）或（1，2）C．（1，1）或（1，2）或（2，1）D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）5．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（       ）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4 B．3 C．2 D．16．（2021·辽宁营口·中考真题）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（       ）A．y随x增大而增大 B．C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为27．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）点在函数的图象上，则代数式的值等于（       ）A．5 B．-5 C．7 D．-68．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（       ）A．4 B．8 C．12 D．169．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（       ）A．（-2019，674） B．（-2020，675）C．（2021，-669） D．（2022，-670）10．（2021·西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（       ）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．11．（2021·辽宁阜新·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（       ）A． B． C． D．12．（2021·广西桂林·中考真题）若点A（1，3）在反比例函数y的图象上，则k的值是（　　）A．1 B．2 C．3 D．413．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（       ）A． B． C． D．14．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（       ）A．2 B．4 C．6 D．815．（2021·湖南湘西·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（       ）A．图象与轴没有交点B．当时C．图象与轴的交点是D．随的增大而减小二、填空题16．（2021·山东济南·中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．…1235……2.42.83.44…17．（2021·广西梧州·中考真题）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝___．18．（2021·贵州毕节·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________．19．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．20．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．21．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________．三、解答题22．（2021·甘肃兰州·中考真题）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发______分钟追上小军；（2）求所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．23．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当时，的面积是__________．②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．24．（2021·广西河池·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？25．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2021·四川巴中·中考真题）如图，双曲线y与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE．（1）求m，k，b的值；（2）求ABE的面积；（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值．27．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线交轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数的图象经过点A，EA的延长线交直线于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．28．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．（1）k＝　　；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　．