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初中数学中考复习 天津市西青区2019年中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 天津市西青区2019年中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2019年天津市西青区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．计算5+（﹣22）的结果是（ ）
A．27 B．17 C．﹣17 D．﹣27
2．sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．0.65×108 B．6.5×107 C．6.5×108 D．65×106
5．如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．估算的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝AC
B．∠EAC＝∠BAD
C．BC∥AD
D．若连接BD，则△ABD为等腰三角形
10．若点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
11．如图，菱形ABCD的边长为1，点M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．计算（﹣5b）3的结果等于 ．
14．计算（2+）（2﹣）结果等于 ．
15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
16．若一次函数y＝3x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是 （写出一个即可）
17．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝ ．
18．如图，将∠BOA放在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、A均落在格点上，角的一边OA与水平方向的网格线重合，另一边OB经过格点B．
（Ⅰ）tan∠BOA等于 ；（Ⅱ）如图∠BOC为∠BOA内部的个锐角，且tan∠BOC＝，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出∠COA，使得∠COA＝∠BOA﹣∠BOC，请简要说明∠COA是如何找到的（不要求证明）
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ；
20．（8分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次参加跳绳测试的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BCD＝28°．
（I）如图①，求∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.33，≈1.41）
23．（10分）某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式
收费方式
月使用费/元
月包时上网时间/h
月超时费/（元/h）
A
7
25
0.6
B
10
50
3
设每月的上网时间为xh
（Ι）根据题意，填写下表：
收费方式
月使用费/元
月上网时间/h
月超时费/元
月总费用/元
A
7
45
B
10
45
（Ⅱ）设A，B两种方式的收费金额分别为y1元和y2元，分别写出y1，y2与x的函数解析式；
（Ⅲ）当x＞60时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由．
24．（10分）如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），点O的坐标是（0，0），点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（Ⅰ）求点E、F的坐标；
（Ⅱ）如图2，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过P作PH⊥DB于H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；
（Ⅲ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，请直接写出四边形MNFE的周长最小值．
25．（10分）抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，其顶点为D，直线BD与y轴交于点 E．
（1）求顶点D的坐标；
（2）如图，设点P为线段BD上一动点（点P不与点B、D重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF的面积最大值；
（3）点Q在线段BD上，当∠BDC＝∠QCE时，求点Q的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
2019年天津市西青区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【分析】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：5+（﹣22）＝﹣（22﹣5）＝﹣17．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2．【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin45°＝．
故选：B．
【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
3．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：65 000 000＝6.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．【分析】先估计的近似值，然后即可判断的近似值．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴5＜＜6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．【分析】先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．
8．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．【分析】由旋转可知△ABC≌△ADE，从而得到边或角相等，逐一排除法即可判断．
【解答】解：根据旋转的性质可知△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，A选项内容正确，不符合题意；
∵∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠EAB＝∠EAD﹣∠EAB，即∠EAC＝∠BAD，
B选项内容正确，不符合题意；
C选项内容错误，BC不一定与AD平行；
连接BD，∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解决旋转问题就是利用全等知识求解边或角的问题．
10．【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数的增减性，结合各个点的横坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，
∴x＞0时，y＞0，y随着x的增大而减小，
x＜0时，y＜0，y随着x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y2＜y1＜0，
∵2＞0
∴y3＞0
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键．
11．【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP＝M′N＝AB＝1．
【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N＝AB＝1，
∴MP+NP＝M′N＝1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
12．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣5b）3＝﹣125b3．
故答案为：﹣125b3．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．【分析】先利用平方差公式计算，再计算乘方，最后计算减法即可得．
【解答】解：原式＝（2）2﹣（）2
＝12﹣6
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
15．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
16．【分析】根据题中k＞0，可知图形经过一、三象限，又由图象还要经过四象限，判断b＜0．
【解答】解：一次函数y＝3x+b，其中k＝3，
∴图象经过一、三象限；
又∵图象经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
故答案﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的图象．掌握一次函数解析式中k，b对图象的影响是解题的关键．
17．【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝AH，AE＝AH，则CH＝AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝，BF＝，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到＝2，从而利用比例性质可得到DH的长．
【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH•sin60°＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
18．【分析】（1）借助于直角三角形解决问题即可．
（2）取格点C，作射线OC即可．
【解答】解：（Ⅰ）tan∠BOA＝＝5，
故答案为5；
（Ⅱ）取格点C，作射线OC即可．
理由：连接BC，易证BC⊥OC，BC＝2，OC＝3，
可得tan∠BOC＝＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x≥﹣4，
解不等式②，得x＜2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
所以，原不等式组的解集为﹣4≤x＜2，
故答案为：x≥﹣4，x＜2，﹣4≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
20．【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得跳绳的学生人数，利用百分比的意义求得m；
（Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解；
（Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10＝50（人），
m＝100×＝10．
故答案是：50，10；
（Ⅱ）平均数是：（10×2+5×3+25×4+10×5）＝3.7（分），
众数是：4分；中位数是：4分；
（Ⅲ）该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200×10%＝120（人）．
答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理可求∠ACB＝90°，即可求∠ABD的度数；
（Ⅱ）根据切线的性质可得∠ODP＝90°，且∠POD＝2∠BCD＝56°，即可求∠P＝34°，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求∠OCD的度数．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，且∠BCD＝28°，
∴∠ACD＝62°，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝62°
（Ⅱ）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴∠ODP＝90°，
∵∠DOB＝2∠DCB，
∴∠DOB＝2×28°＝56°，
∴∠P＝34°，
∵AC∥DP，
∴∠P＝∠OAC＝34°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝34°，
∴∠COB＝∠OAC+∠OCA＝68°，
∴∠COD＝∠COB+∠DOB＝124°
∵CO＝DO
∴∠OCD＝∠ODC＝28°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
22．【分析】在Rt△APC中，求出PC的长，再在Rt△PBC中，求出BP．
【解答】解：∵∠APC＝90°﹣53°＝37°，AP＝100nmile，
∴PC＝AP•cos37°＝100×sin53°≈80（nmile），
又∵∠BPC＝45°，
∴BP＝PC≈1.41×80≈113（nmile）．
答：B处距离灯塔P有113nmile．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23．【分析】（Ι）根据表格中的数据可以计算出两种方式下超时费和总费用；
（Ⅱ）根据题意，可以分别写出y1，y2与x的函数解析式；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的函数关系式，令它们相等，求出x的值，再根据题意即可解答本题．
【解答】解：（Ⅰ）当上网时间为45h时，
A方式月超时费为：（45﹣25）×0.6＝12（元），总费用为：7+12＝19（元），
B方式月超时费为0元，总费用为10元，
故答案为：12，19；0，10；
（Ⅱ）由题意可得，
当0≤x≤25时，y1＝7，
当x＞25时，y1＝7+0.6（x﹣25）＝0.6x﹣8，
即y1与x的函数关系式为y1＝，
当0≤x≤50时，y2＝10，
当x＞50时，y2＝10+3（x﹣50）＝3x﹣140，
即y2与x的函数关系式为y2＝；
（Ⅲ）当x＞60时，A种收费方式省钱，
令0.6x﹣8＝3x﹣140，得x＝55，
∴当x＞60时，A种收费方式省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24．【分析】（Ⅰ）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（Ⅱ）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（Ⅲ）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），
∴OA＝3，OC＝2，
根据矩形OABC知AB＝OC＝2，BC＝OA＝3，
由折叠知DA＝DF＝OC＝2，
∴OD＝OA﹣DA＝1，
∴点F坐标为（1，2），
∵点E是AB的中点，
∴EA＝1，
∴点E的坐标是（3，1）；
（Ⅱ）如图2
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF＝AB＝2，
∴OD＝CF＝3﹣2＝1，
若设OP的长为x，
则，PD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△PDH中，PH＝DH＝DP×＝（x﹣1），
∴S＝×DH×PH＝×（x﹣1）×（x﹣1）＝﹣+（1＜x＜3）；
（Ⅲ）如图3
作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（﹣1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，﹣1），
用两点法可求直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝，
∴N（0，），M（，0），
此时，四边形MNFE的周长＝E′F′+EF＝+＝5+；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+．
【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
25．【分析】（1）利用待定系数法将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入解析式求得b，c的值，进而化为顶点式即可求得顶点D点坐标．
（2）根据解析式设出点P，点F的坐标，表示出线段PF的长度，将△BDF分割为△PFD和△PFB，利用三角形面积公式表示并相加即可．
（3）分析如图，设出Q点坐标，利用解直角三角形的方法求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为，y＝x2﹣2x﹣3．
将其化为顶点式为，y＝（x﹣1）2﹣4．
故顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（2）如图，
设直线BD解析式为，y＝kx+b．
∵点B，D的坐标分别为（3，0），（1，﹣4）
∴
解得，
∴直线BD的解析式为，y＝2x﹣6．
设点P的坐标（m，n）．
∵P为线段BD上一动点（点P不与B，D重合），
∴点P坐标为（m，2m﹣6）（1＜m＜3）．
又∵点F是过点P作x轴的垂线与抛物线的交点，
∴点F坐标为（m，m2﹣2m﹣3）．
又∵点P在点F上方，
∴PF＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3．
设PF交x轴于点G，过点D作DH⊥PF于点H．
∵S△BDF＝S△PDF+S△PBF
∴S△BDF＝PF•（DH+DG）＝﹣m2+4m﹣3．
化为顶点式为，S△BDF＝﹣（m﹣2）2+1．
又∵二次项系数，a＝﹣1，即a＜0，
∴抛物线开口向下，S△BDF有最大值．
∴当m＝2时，△BDF面积最大，最大值为1．
（3）点Q坐标为（，﹣）．
如图，
连接BC，CD，由点B（3，0），点C（0，﹣3），点D（1，﹣4），
由勾股定理得，CB2＝18，CD2＝2，BD2＝20．
∴BD2＝CB2+CD2．
∴∠BCD＝90°．
∴在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝3．
又∵∠BDC＝∠QCE，
∴tan∠QCE＝3．
设点Q坐标为（n，2n﹣6），过点Q作QM⊥CE于点M．
在Rt△CMQ中，tan∠MCQ＝＝＝3，
解得，n＝．
∴点Q的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了利用待定系数法求解抛物线解析式以及将一般式化为顶点式并且读取顶点坐标的能力，另一方面考察了利用数形结合的思想设出坐标系内图象上的点，解决数学问题的一般思路．
2019年天津市西青区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．计算5+（﹣22）的结果是（ ）
A．27 B．17 C．﹣17 D．﹣27
2．sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．0.65×108 B．6.5×107 C．6.5×108 D．65×106
5．如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．估算的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝AC
B．∠EAC＝∠BAD
C．BC∥AD
D．若连接BD，则△ABD为等腰三角形
10．若点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
11．如图，菱形ABCD的边长为1，点M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列结论：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．计算（﹣5b）3的结果等于 ．
14．计算（2+）（2﹣）结果等于 ．
15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
16．若一次函数y＝3x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是 （写出一个即可）
17．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝ ．
18．如图，将∠BOA放在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、A均落在格点上，角的一边OA与水平方向的网格线重合，另一边OB经过格点B．
（Ⅰ）tan∠BOA等于 ；（Ⅱ）如图∠BOC为∠BOA内部的个锐角，且tan∠BOC＝，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出∠COA，使得∠COA＝∠BOA﹣∠BOC，请简要说明∠COA是如何找到的（不要求证明）
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ；
20．（8分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次参加跳绳测试的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BCD＝28°．
（I）如图①，求∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.33，≈1.41）
23．（10分）某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式
收费方式
月使用费/元
月包时上网时间/h
月超时费/（元/h）
A
7
25
0.6
B
10
50
3
设每月的上网时间为xh
（Ι）根据题意，填写下表：
收费方式
月使用费/元
月上网时间/h
月超时费/元
月总费用/元
A
7
45
B
10
45
（Ⅱ）设A，B两种方式的收费金额分别为y1元和y2元，分别写出y1，y2与x的函数解析式；
（Ⅲ）当x＞60时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由．
24．（10分）如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），点O的坐标是（0，0），点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（Ⅰ）求点E、F的坐标；
（Ⅱ）如图2，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过P作PH⊥DB于H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；
（Ⅲ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，请直接写出四边形MNFE的周长最小值．
25．（10分）抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，其顶点为D，直线BD与y轴交于点 E．
（1）求顶点D的坐标；
（2）如图，设点P为线段BD上一动点（点P不与点B、D重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF的面积最大值；
（3）点Q在线段BD上，当∠BDC＝∠QCE时，求点Q的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【分析】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：5+（﹣22）＝﹣（22﹣5）＝﹣17．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2．【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin45°＝．
故选：B．
【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
3．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：65 000 000＝6.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．【分析】先估计的近似值，然后即可判断的近似值．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴5＜＜6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．【分析】先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．
8．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．【分析】由旋转可知△ABC≌△ADE，从而得到边或角相等，逐一排除法即可判断．
【解答】解：根据旋转的性质可知△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，A选项内容正确，不符合题意；
∵∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠EAB＝∠EAD﹣∠EAB，即∠EAC＝∠BAD，
B选项内容正确，不符合题意；
C选项内容错误，BC不一定与AD平行；
连接BD，∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解决旋转问题就是利用全等知识求解边或角的问题．
10．【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数的增减性，结合各个点的横坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝，k＞0，
∴x＞0时，y＞0，y随着x的增大而减小，
x＜0时，y＜0，y随着x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y2＜y1＜0，
∵2＞0
∴y3＞0
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键．
11．【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP＝M′N＝AB＝1．
【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N＝AB＝1，
∴MP+NP＝M′N＝1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
12．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣5b）3＝﹣125b3．
故答案为：﹣125b3．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．【分析】先利用平方差公式计算，再计算乘方，最后计算减法即可得．
【解答】解：原式＝（2）2﹣（）2
＝12﹣6
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
15．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
16．【分析】根据题中k＞0，可知图形经过一、三象限，又由图象还要经过四象限，判断b＜0．
【解答】解：一次函数y＝3x+b，其中k＝3，
∴图象经过一、三象限；
又∵图象经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
故答案﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的图象．掌握一次函数解析式中k，b对图象的影响是解题的关键．
17．【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝AH，AE＝AH，则CH＝AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝，BF＝，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到＝2，从而利用比例性质可得到DH的长．
【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH•sin60°＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
18．【分析】（1）借助于直角三角形解决问题即可．
（2）取格点C，作射线OC即可．
【解答】解：（Ⅰ）tan∠BOA＝＝5，
故答案为5；
（Ⅱ）取格点C，作射线OC即可．
理由：连接BC，易证BC⊥OC，BC＝2，OC＝3，
可得tan∠BOC＝＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x≥﹣4，
解不等式②，得x＜2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
所以，原不等式组的解集为﹣4≤x＜2，
故答案为：x≥﹣4，x＜2，﹣4≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
20．【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得跳绳的学生人数，利用百分比的意义求得m；
（Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解；
（Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10＝50（人），
m＝100×＝10．
故答案是：50，10；
（Ⅱ）平均数是：（10×2+5×3+25×4+10×5）＝3.7（分），
众数是：4分；中位数是：4分；
（Ⅲ）该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200×10%＝120（人）．
答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理可求∠ACB＝90°，即可求∠ABD的度数；
（Ⅱ）根据切线的性质可得∠ODP＝90°，且∠POD＝2∠BCD＝56°，即可求∠P＝34°，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求∠OCD的度数．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，且∠BCD＝28°，
∴∠ACD＝62°，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝62°
（Ⅱ）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴∠ODP＝90°，
∵∠DOB＝2∠DCB，
∴∠DOB＝2×28°＝56°，
∴∠P＝34°，
∵AC∥DP，
∴∠P＝∠OAC＝34°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝34°，
∴∠COB＝∠OAC+∠OCA＝68°，
∴∠COD＝∠COB+∠DOB＝124°
∵CO＝DO
∴∠OCD＝∠ODC＝28°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
22．【分析】在Rt△APC中，求出PC的长，再在Rt△PBC中，求出BP．
【解答】解：∵∠APC＝90°﹣53°＝37°，AP＝100nmile，
∴PC＝AP•cos37°＝100×sin53°≈80（nmile），
又∵∠BPC＝45°，
∴BP＝PC≈1.41×80≈113（nmile）．
答：B处距离灯塔P有113nmile．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23．【分析】（Ι）根据表格中的数据可以计算出两种方式下超时费和总费用；
（Ⅱ）根据题意，可以分别写出y1，y2与x的函数解析式；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的函数关系式，令它们相等，求出x的值，再根据题意即可解答本题．
【解答】解：（Ⅰ）当上网时间为45h时，
A方式月超时费为：（45﹣25）×0.6＝12（元），总费用为：7+12＝19（元），
B方式月超时费为0元，总费用为10元，
故答案为：12，19；0，10；
（Ⅱ）由题意可得，
当0≤x≤25时，y1＝7，
当x＞25时，y1＝7+0.6（x﹣25）＝0.6x﹣8，
即y1与x的函数关系式为y1＝，
当0≤x≤50时，y2＝10，
当x＞50时，y2＝10+3（x﹣50）＝3x﹣140，
即y2与x的函数关系式为y2＝；
（Ⅲ）当x＞60时，A种收费方式省钱，
令0.6x﹣8＝3x﹣140，得x＝55，
∴当x＞60时，A种收费方式省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24．【分析】（Ⅰ）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（Ⅱ）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（Ⅲ）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），
∴OA＝3，OC＝2，
根据矩形OABC知AB＝OC＝2，BC＝OA＝3，
由折叠知DA＝DF＝OC＝2，
∴OD＝OA﹣DA＝1，
∴点F坐标为（1，2），
∵点E是AB的中点，
∴EA＝1，
∴点E的坐标是（3，1）；
（Ⅱ）如图2
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF＝AB＝2，
∴OD＝CF＝3﹣2＝1，
若设OP的长为x，
则，PD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△PDH中，PH＝DH＝DP×＝（x﹣1），
∴S＝×DH×PH＝×（x﹣1）×（x﹣1）＝﹣+（1＜x＜3）；
（Ⅲ）如图3
作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（﹣1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，﹣1），
用两点法可求直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝，
∴N（0，），M（，0），
此时，四边形MNFE的周长＝E′F′+EF＝+＝5+；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+．
【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
25．【分析】（1）利用待定系数法将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入解析式求得b，c的值，进而化为顶点式即可求得顶点D点坐标．
（2）根据解析式设出点P，点F的坐标，表示出线段PF的长度，将△BDF分割为△PFD和△PFB，利用三角形面积公式表示并相加即可．
（3）分析如图，设出Q点坐标，利用解直角三角形的方法求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为，y＝x2﹣2x﹣3．
将其化为顶点式为，y＝（x﹣1）2﹣4．
故顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（2）如图，
设直线BD解析式为，y＝kx+b．
∵点B，D的坐标分别为（3，0），（1，﹣4）
∴
解得，
∴直线BD的解析式为，y＝2x﹣6．
设点P的坐标（m，n）．
∵P为线段BD上一动点（点P不与B，D重合），
∴点P坐标为（m，2m﹣6）（1＜m＜3）．
又∵点F是过点P作x轴的垂线与抛物线的交点，
∴点F坐标为（m，m2﹣2m﹣3）．
又∵点P在点F上方，
∴PF＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3．
设PF交x轴于点G，过点D作DH⊥PF于点H．
∵S△BDF＝S△PDF+S△PBF
∴S△BDF＝PF•（DH+DG）＝﹣m2+4m﹣3．
化为顶点式为，S△BDF＝﹣（m﹣2）2+1．
又∵二次项系数，a＝﹣1，即a＜0，
∴抛物线开口向下，S△BDF有最大值．
∴当m＝2时，△BDF面积最大，最大值为1．
（3）点Q坐标为（，﹣）．
如图，
连接BC，CD，由点B（3，0），点C（0，﹣3），点D（1，﹣4），
由勾股定理得，CB2＝18，CD2＝2，BD2＝20．
∴BD2＝CB2+CD2．
∴∠BCD＝90°．
∴在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝3．
又∵∠BDC＝∠QCE，
∴tan∠QCE＝3．
设点Q坐标为（n，2n﹣6），过点Q作QM⊥CE于点M．
在Rt△CMQ中，tan∠MCQ＝＝＝3，
解得，n＝．
∴点Q的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了利用待定系数法求解抛物线解析式以及将一般式化为顶点式并且读取顶点坐标的能力，另一方面考察了利用数形结合的思想设出坐标系内图象上的点，解决数学问题的一般思路．
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