2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】集合的交集运算，因为集合是有限集，则也是有限集.

【详解】因为，，.

故选：A

2．已知角α的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数值求得再根据正弦值的定义求解即可

【详解】由题意可知，则．

故选：A

3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】只要确定 的起点，然后再进行比较就可以确定如何平移.

【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.

故选：D

4．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.

【详解】，，，

，

故选：A．

5．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.

【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；

反过来，因为，所以当时，有，即.

综上可知，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

6．已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数是定义在上的偶函数，利用定义域关于原点对称和，求得解析式，再利用二次函数的性质求解.

【详解】因为是定义在上的偶函数，

则有，则，

同时，即，

则有，必有.

所以，其定义域为，

则的最大值为，

故选：D

7．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】由，利用求出，再分别求出时的和时的，从而求出的值．

【详解】当时，若，则，所以，所以，

若，则，所以，，

所以，，，

故选：B

8．已知函数的定义域为,图象恒过点,对任意,都有则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】判断出是增函数，又

，求得，从而求得的范围。

【详解】因为对任意,都有，即

即函数在R上是增函数.

若，即

即，，

故选：D

【点睛】此题考查函数单调性，关键点是通过已知构造出新的的单调函数，属于一般性题目。

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简变形可判断AB，利用同角三角函数的关系将式子中的三角函数转化为只含正切的式子，再代值计算即可判断CD

【详解】由题意可得，则，故A错误，B正确，

所以，则C错误，D正确.

故选：BD

10．下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则的最大值是

C．若，，，则的最小值是9

D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集

【答案】BD

【分析】根据作差法即可判断A，根据基本不等式即可求解B,C，根据一元二次方程的根与一元二次不等式解之间的关系即可求解D.

【详解】对于A，，因为，，所以，

，即，故，所以A错误；

对于B，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故B正确；

对于C，由于，，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故C错误.

对于D：关于的不等式的解集为，

，即不等式可转化为，即，解得，

所以不等式的解集为，故D正确；

故选：BD

11．函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．是的最小值

C．在区间上的值域为

D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】ABD

【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.

【详解】函数的图像过点，可得，

即，则，即，

所以函数解析式为

对于A，函数的周期，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误；

对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确；

故选：ABD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的单调减区间为

B．若有三个不同实数根，则

C．若恒成立，则实数a的取值范围是

D．对任意的，不等式恒成立

【答案】BCD

【分析】对A：利用分段函数图象判断单调性；对B：根据题意结合图象、对称性分析运算；对C：根据图象结合图象平移分析运算；对D：先证，再根据题意分析证明.

【详解】对A：作出的图象，如图1所示，

则的单调递减区间为，A错误；

对B：不妨设，则关于直线对称，

∴，则，B正确；

对C： 当时，显然不成立，不合题意，舍去；

当时，可以通过向左平移个单位得到，如图2，显然不成立，舍去；

当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，以射线与相切为临界，

即，则，

∴，解得，则；

综上所述：实数a的取值范围是，C正确；

对D：对任意的，则

，当且仅当时等号成立，

即，则，

∴，

又∵，则，

∴，D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知函数，则函数的定义域为_______．

【答案】

【分析】根据具体函数的定义域求法考虑限制条件即可求解.

【详解】函数，

要使解析式有意义需满足：，

解得，

，

即函数的定义域为，

故答案：.

14．已知方程的根在区间，上，则_______．

【答案】

【分析】移项作差构造函数后，根据零点定理即可求解.

【详解】原问题转化为的零点所在区间问题，

函数是增函数，

所以，

，

所以，

函数的零点在之间，

函数的零点在区间，上，

，

故答案：．

15．若，则_______

【答案】

【分析】令，则，，而，再利用余弦的二倍角公式可得结果.

【详解】解：令，则由，可得

故答案为：，

【点睛】此题考查了三角函数的二倍角公式和诱导公式，考查了角的变换，属于中档题.

四、双空题

16．一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，（1）若为的跟随区间，则______；（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是______.

【答案】     2    

【解析】空1：根据所给的定义，给合二次函数的性质进行求解即可；

空2：根据所给的定义，结合函数的单调性，通过构造新函数，利用新构成函数的性质进行求解即可.

【详解】空1：因为为的跟随区间，

所以函数的值域为，

因为，所以二次函数的对称轴为：，

因此函数在上单调递增，

因此根据题中所给的定义有；

空2：函数的定义域为：，

因为函数存在跟随区间，所以设跟随区间为：，

所以的值域为，而函数是定义域内的递减函数，因此有：

，

因为，所以，

因此由，

所以，令，

所以，，

因此有，同理，

设函数

因为，，

所以，因为，

所以方程在时，有两个不相等的实数根.

因此直线与函数的图象有两个交点，

因此有.

故答案为：2；

【点睛】关键点睛：本题的关键：

一是利用因式分解法由得到；

二是由得到方程在时，有两个不相等的实数根.

五、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若          ，求实数的取值范围．

请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．

【答案】(1) ;

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据集合的并运算，直接求解即可；

（2）选择不同的条件，根据集合之间的关系，分别讨论参数的范围即可.

【详解】（1）∵当时，集合，

∴．

（2）选择①若，∴，

∴当时，，解得；

当时，，解得，满足题意；

综上所述：实数的取值范围是．

选择②若，∵或，

∴时，，解得；

当时，，解得满足题意；

综上所述：实数的取值范围是．

18．已知函数且

(1)若，求的值；

(2)若，求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解对数方程可得；

（2）根据对数函数的单调性求解．

【详解】（1）因为，，解得；

（2）

恒成立，从而只要解得

不等式的解集为

19．已知函数在区间上的最小值为1，

(1)求常数的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式结合正弦函数的单调性即可求解；

（2）根据同角的三角函数基本关系式和两角和的余弦公式即可求解.

【详解】（1），

由，

得，

故的最小值为，

所以．

（2）由，

得，

故得，

得，

所以

.

20．已知函数．

(1)用定义法证明在上单调递增；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）任取实数，且，结合指数函数性质证明即可；

（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.

【详解】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增.

（2），为上的奇函数，

由得：，

由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；

当时，，在上恒成立；令，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.

21．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中.

（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；

（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.

【答案】（1）4分钟；（2）发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）.

【解析】（1）根据分段函数的表达式进行判断，然后求解不等式即可得到发车时间间隔t的值；

（2）求出的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可.

【详解】（1）当时，，不满足题意，舍去.

当时，，即.

解得（舍）或.

∵且，∴.

所以发车时间间隔为4分钟.

（2）由题意可得

当，时，（元）

当，时，（元）

所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数型应用题，解题方法如下：

（1）对题中所给的函数解析式进行分析，解对应不等式求得结果；

（2）对分段函数的最值分段处理，再比较大小，得到函数的最值，求得结果.

22．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．

(1)已知函数，试判断是否为“伪奇函数”，并说明理由；

(2)若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；

(3)是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据“伪奇函数”的概念，可以求出满足，得到是“伪奇函数”；

（2）由幂函数的概念求出的值，把结论转化为对勾函数在的值域问题，进而解不等式得答案；

（3）由题意把结论化为关于的二次方程有解的问题，通过换元引入二次函数，进而转化二次函数为在给定的区间有零点问题，列不等式解得答案.

【详解】（1）若函数为“伪奇函数”，则方程有实数解，

即有解，整理得解得，所以为“伪奇函数”；

（2）因为为幂函数，所以即，所以，

则由为定义在上的“伪奇函数”，

所以在有解，

整理得，

令，则，对于函数，

设，则

当时，有，所以是减函数，

当时，有，所以是增函数，

又，，所以，

所以解得，

所以实数的取值范围是；

（3）若是定义在上的“伪奇函数”，

则在上有实数解，即，

整理得，

，

令，当且仅当取到等号，

则在上有解，

令在上有零点，

所以，即，解得，

或者，即，解得，

综上可得的取值范围是

【点睛】关键点点睛；本题为新概念题，第一问判断函数是否为“伪奇函数”，第二问已知函数为“伪奇函数”求参数的范围，第三问是否存在参数使函数为“伪奇函数”，解题关键是正确理解“伪奇函数”的概念，把问题转化为方程有解的问题，理解了概念就会发现三者本质上是一个问题.