2022-2023学年广西百色民族高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西百色民族高级中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．集合，集合，则

A． B． C． D．∅

【答案】B

【详解】分析：由对数函数的性质求出集合A、B中的元素，然后由交集的定义得出结论.

详解：由题意，，

∴.

故选B.

点睛：本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素.要注意集合A、B中代表元具有的性质，一个是，一个是.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解.

【详解】函数在上单调递增，则，解得，

若成立，必有，而成立，不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.

【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；

C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

D是函数图象，值域为，故不符合题意.

故选：B

4．已知函数的零点在区间上，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先判断函数在为增函数，再结合，即可得解.

【详解】由题意，都在为增函数

故函数在为增函数，

又，，

即，

则函数的零点在区间上，

即2

故选：B

5．设，若的反函数的图像经过点，则（    ）

A．7 B．3 C．1 D．

【答案】A

【解析】由题可得的图像经过点，代入即可求出.

【详解】的反函数的图像经过点，

的图像经过点，

，解得.

故选：A.

6．已知，，，则 、、三者的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定三个数得范围,即得大小关系.

【详解】因为，，,所以,选C.

【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析求解能力，属于基础题.

7．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.

【详解】函数，

若在上为单调递增函数，

则，解得；

若在上为单调递减函数，

则，无解．

综上所述，实数的取值范围为．

故选：C

8．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（    ）

A．的图象关于原点对称 B．的值域为

C．在上单调递减 D．

【答案】D

【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据奇偶性的判断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.

【详解】因为是幂函数,所以,解得或,

又是偶函数,所以,故,

故;

对于A;,故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，

对于B；，由于，所以，故，故值域为，故B错误,

对于C;,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C错误，

对于D；从而，故D正确，

故选：D

二、多选题

9．下列叙述正确的是（    ）

A．已知函数 ，则

B．命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”

C．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是2

D．已知的解集为或，则

【答案】ACD

【分析】由分段函数可判断A；由全称命题的否定可判断B；由扇形面积公式结合二次函数可判断C；由“三个二次”结合韦达定理可判断D.

【详解】对于选项A：，故A正确；

对于选项B：命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故B错误；

对于选项C：设扇形半径为，弧长为，则扇形周长，从而扇形面积，所以当时，最大，此时，扇形中心角的弧度数是，故C正确；

对于选项D：由选项可知和是方程的两实根，所以，解得，，所以，故D正确.

故选：ACD.

10．下列结论中错误的命题是（    ）

A．函数是幂函数

B．函数是偶函数不是奇函数

C．函数的单调递减区间是

D．有的单调函数没有最值

【答案】BC

【解析】根据幂函数的定义即可得A选项正确；化简函数得，，进而得函数是偶函数也是奇函数，即B选项错误；根据单调区间不能用符号“”连接即可得C选项错误；举反例即可说明D选项不正确.

【详解】解：对于A选项，根据幂函数的定义容易得命题正确；

对于B选项，函数的定义域为，所以函数，，所以函数是偶函数也是奇函数，故B选项错误；

对于C选项，函数的单调递减区间是和，不能用符号“”连接，故C选项错误；

对于D选项，例如在上单调递减，但没有最值，故D选项正确；

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题B选项解题的关键在于求得函数定义域为，进而得函数为，，得函数既是奇函数又是偶函数.

11．下列表示中正确的是（    ）

A．终边在轴上的角的集合是

B．终边在第二象限的角的集合为

C．终边在坐标轴上的角的集合是

D．终边在直线上的角的集合是

【答案】ABC

【分析】利用终边相同的角的概念和象限角的概念进行判断即可.

【详解】A，B中表示显然正确；

对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确；

对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确．

故选：ABC

12．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.

【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；

对，，，故B项符合；

对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；

对，定义域关于原点对称，

当时，，；

当时，，，故D项符合，

故选：BD

三、填空题

13．已知集合，，且，则实数的值是______．

【答案】或

【分析】由题意可得或，解之即可，注意检验.

【详解】解：因为，

所以或，解得或或，

当时，， 符合题意，

当时，，不符题意，

当时，，舍去，

当时，，符合题意，

所以或.

14．已知函数的定义域为，则的定义域是______；

【答案】

【分析】利用抽象函数的定义域求解方法求解即可.

【详解】因为，所以，

再由，解得．

所以的定义域为．

故答案为: ．

15．求函数在区间上的最大值与最小值之和是______；

【答案】

【分析】利用换元法求得函数的最大值与最小值即可.

【详解】∵，设，

又，∴，

即，∴，

，二次函数的对称轴方程是，

∴当时，函数单调递增，

当时，，

当时，，

所以最大值与最小值之和是．

故答案为：

16．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，作出其图象，利用函数与方程的思想将函数恰有两个零点转化成函数和有两个交点，利用图象即可得出实数的取值范围.

【详解】函数恰有两个零点，即为有两个不等实根，

即函数和有两个交点，作出的图象如下图所示，

由时，，时，可知，

若函数和有两个交点，根据图象可得．

故答案为：

四、解答题

17．计算：（1）；

（2）.

【答案】（1）－3；（2）．

【详解】试题分析：

试题解析：

（1）原式；

(2)

18．已知集合，．

(1)当时，求、；

(2)若，求实数的范围．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）解对数不等式得集合B，后由并集及补集定义可得答案；

（2）由，得，据此可得答案.

【详解】（1）当时，.

，

得.则，又或，

则；

（2）根据题意，若，则，

分2种情况讨论：①当时，有，解得，

②当时，因，必有，解得，

综上可得：当时，的范围是：．

19．已知，并且是第二象限的角.

（1）求和的值；

（2）求.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式，求解；

（2）上下同时除以，化简求值.

【详解】（1）是第二象限角，，

可得，

，

，.

（2）原式上、下同时除以得，

.

20．已知是奇函数，且.

(1)求实数的值．

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．

(3)求的最大值．

【答案】(1)，；

(2)在上为减函数，证明见解析；

(3)．

【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解；

（2）利用单调性的定义即可证明；

（3）根据奇偶性与单调性即可求解.

【详解】（1）是奇函数，．

，，，

又，

解得：.

所以.

（2）在上为减函数，

证明如下：由（1）知，

令，则的单调性和的单调性相反，

设，

则，

，，，

，即，

在上为增函数，

则在上为减函数；

（3）由（1）（2）结合计算可知：

在上递减，在上递增，

在上递增，在上递减．

又当时，，且，

．

21．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.

（参考数据：，，，，，，）

(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）

【答案】(1)应选模型为，理由见解析；

(2)

【分析】（1）根据增长速度可知应选，根据已知数据可构造方程组求得，进而得到函数模型；

（2）根据函数模型可直接构造不等式，结合参考数据计算可得，由此可得结论.

【详解】（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，

应选模型为；

则，解得：，，又，

函数模型为；

（2）由题意得：，即，，

，，

至少经过培养基中菌落面积能超过.

22．已知．

(1)解不等式；

(2)若存在实数，使得不等式对一切恒成立，求实数的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)．

【分析】（1）对的值分类讨论解不等式即可.

（2）分离参数利用恒成立问题即可求得最值.

【详解】（1）即为，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

（2）即，

由可得，

故存在实数，使得对恒成立，

故存在实数，使得不等式成立，

∴，∴的最小值为．