专题12 勾股定理（题型归纳）-备战 中考数学一轮复习精品课件与题型归纳专练（全国通用）

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专题12 勾股定理
题型分析


题型演练


题型一 用勾股定理解直角三角形

1．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点 的对应点恰好落在边上．若 ，，则的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，又因为中有，所以，
故由已知，算出，相减即可．
【详解】 ，，
为等边三角形，
，
又在中，，则，
，
已知，所以，，
，
故选：B．
2．如图，中，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，在射线上任取一点D，连接．若，则的长为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．6
【答案】A
【分析】连接、（图见详解），由可得为线段的垂直平分线，再利用勾股定理求出、，即可求得的长．
【详解】如图，连接、，设交于点O

由作图步骤可知：
E点在线段的垂直平分线上

A点在线段的垂直平分线上
垂直平分线段
，
在中，由勾股定理得

在中，，由勾股定理，得


故选：A
3．小明钉了一个长与宽分别为30厘米和20厘米的长方形木框，为了增加其稳定性，他准备沿长方形的对角线钉上一根木条，这根木条的长应为（    ）厘米．（结果用最简二次根式表示）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．
【详解】解：设这条木板的长度为厘米，
由勾股定理得：，
解得．
故选：C．
4．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，

，，
，
，
故选：A．
5．如图，在中，，，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过A作于G，过B作于H，依据等腰三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后依据面积法即可得出的长，进而得到点B到线段的距离．
【详解】解：如图，过A作于G，过B作于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，， 由折叠的性质得：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴中，，
∵，
∴
故选：B．

6．在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点．

(1)证明：；
(2)取中点，连接、，猜想线段、、的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证明即可证得结论；
（2）连接，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到，进而证明求得，，利用勾股定理和线段和与差计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：结论：．
证明：如图，连接，
∵，，是中点，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴．

7．如图：已知在中，，．

(1)尺规作图：
①作的高；
②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）①先以A为圆心，大于A到的距离为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于D，则可得答案；
②先以A为圆心，任意长为半径画弧，得与的两边相交的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于E，则可得答案；
（2）利用含的直角三角形的性质求解，再证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：①如图，则为所作；

②如图，则为所作．
（2）在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
8．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

(1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图①，求的长；
(2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
(3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．
【答案】(1)；
(2)点F所经过的路径长为3；
(3)点所经过的路径的长为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质即可求出的长；
（2）连接，易证，根据全等三角形的性质可得，当点在处时，，当点在处时，点与重合，进一步即可求出点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，，当点在处时，，当点在处时，点与重合，从而可求出点所经过的路径长．
【详解】（1）解：∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图所示：

∵、是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
当点在处时，，
当点在处时，点与重合，
∴点运动的路径的长；
（3）解：取中点，连接，如图所示：

∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
根据勾股定理，得，
当点在处时，，
当点在处时，点与重合，
∴点所经过的路径的长．
9．如图，和都是等腰直角三角形，，，连接并延长与交与点，连接.

(1)如图1，求证：
(2)如图2，绕着顶点旋转，当、、三点共线时，取的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若，，连接，当运动到使得时，求的面积.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）延长至点H使，连接，，根据全等三角形的性质得出，利用平行四边形的判定和性质得出，，最后利用全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明；
（3）作 平行于交于点J，连接，根据平行线的性质得出，，再由等腰三角形及等边三角形的判定得出是等腰三角形，即，是等边三角形，过J作的垂线交于点K，再利用含30度角的三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
，
即，
延长至点H使，连接，，

∵，
∴四边形是平行四边形，即，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即 ；
（3）作 平行于交于点J，连接，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
过J作的垂线交于点K，
∵，，
∴，
∴．
10．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接．
①求的大小；
②求证：．
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上．若，，求的长度．

【答案】（1）①，②见解析；（2）
【分析】（1）由条件易证，从而得到：．由点在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】（1）①解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵点在同一直线上，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
即；
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型二 勾股定理与网格问题

11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可得，的面积是：，
∵是的高，，
∴，
解得，，
故选：．
12．如图，矩形ABCD由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点E、C及D、F交于点O，则的值为(    )．

A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】以点F为原点，以FC所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系F(0,0)，E(﹣1,1)，D(2,2)，C(2,0)，求出，再根据0＜∠DOC＜，求出的值．
【详解】
解：以点F为原点，以FC所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系，
则F(0,0)，E(﹣1,1)，D(2,2)，C(2,0)
，，
，
∴cos∠DOC=，
∵0＜∠DOC＜，∴sin∠DOC=，
∴tan∠DOC=．
故选：B．
13．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（    ）

A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理解得AB，AO，BO的长，再由即可解答．
【详解】解：由图可知，AB=2，AO=，



故选：A．
14．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案．
【详解】解： 在的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ，
任意两个格点间的距离为 ， ， ， 1，2，3， ，， ．
任意两个格点间的距离不可能是 ，
故选：A．
15．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，的长，再利即可求解．
【详解】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，

由网格特征和勾股定理可得，，




S△ABC＝BC•AD，
，
∴AD＝，
故选：C
16．图①、图②分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1， 两点在小正方形的格点上，请在图①、图②中各取一点（点必须在小正方形的格点上），使以为顶点的三角形分别满足下列要求．

(1)在图①中画一个，使，面积为5；
(2)在图②中画一个，使，为钝角，并求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据题意可知，要使面积为5，则只需要过点作垂直的直线且长度为2即可；
（2）要使为钝角等腰三角形，则必须找到和相等的边且点必须在小正方形的顶点上．
【详解】（1）如图①中，即为所求；

（2）如图②中，即为所求．
，
，
的周长为．

17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并保留必要的作图痕迹．

(1)在图1中，在直线的下方作格点D使，连接，垂足为H．
(2)在图2中找出所有可能的格点F，使是以为直角边的等腰直角三角形，并画出．
(3)在图3中的线段上画出点G，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
（3）构造等腰直角，交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，线段，点H即为所求；

（2）解：如图2中，点，点即为所求；

（3）解：如图3中，点即为所求．

18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，

(1)在格点上取一点C，画一个，使∠BAC＝45°，且．
(2)在格点上取一点D，画一个，且AD＝5，，并利用网格画出∠DAB的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，使得∠BAC＝45°，到的距离为，的长为4，则；
（2）根据网格的特点，根据勾股定理求得，确定点的位置，然后根据网格的特点作出∠DAB的平分线即可求解．
【详解】（1）如图所示；取格点，使得∠BAC＝45°，到的距离为，的长为4，则

理由：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求；
（2）如图所示；根据勾股定理求得，确定点的位置，然后根据网格的特点作出∠DAB的平分线

理由：取格点，则
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴是的角平分线．
19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：

（1）三角形的顶点在格点上；
（2）三角形是腰长为无理数的等腰三角形；
（3）三角形的面积为6．
【答案】见解析
【分析】结合网格特点利用勾股定理构造腰为无理数的等腰三角形，画图即可．
【详解】如图所示：

由图可知三角形的三个顶点均在格点上，根据勾股定理有：
图①三角形的两条腰长为：，
图②三角形的两条腰长为：，
图③三角形的两条腰长为：，
根据网格图形可知图①三角形的底为4，高为3，故面积为4×3×=6，
图②三角形的底为6，高为2，故面积为6×2×=6，
图③三角形的底为2，高为6，故面积为2×6×=6，
故所画三角形即为所求；
题型三 勾股定理与折叠问题

20．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．
【详解】解：由翻折变换的性质可知：，
∴，，，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：B．
21．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=AE+DE=AE+BE=9cm，
∴BE=9-AE，根据勾股定理可知：．
即
解得：AE=4，
∴△ABE的面积为．
故选C．
22．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（      ）

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
23．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
24．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝16，
∴•（6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝4×2，
∴h＝，
∴点F到BC的距离为．
故选：C
题型四 勾股定理的证明方法

25．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（    ）

A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
【答案】B
【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．
【详解】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故选：B．
26．如图，将正方形 ABCD 剪去 4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为 c的四边形 EFGH．下列等式成立的是（    ）

A．a + b = c B．c2= (a + b )2 - 4ab
C．c2= (a + b )(a - b ) D．a2+ b2= c2
【答案】D
【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．
【详解】解：由图可得剩下的正方形的面积为：，
根据正方形面积公式，剩下的正方形面积也可以表示为：，
∴，化简得，
故选：D．
27．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，
利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，
利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，
利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
28．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
29．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（   ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．
【详解】标记如下：

∵，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
题型五 勾股定理的实际应用

30．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）

A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
【答案】C
【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC=8米，
△A1BC1中，∠C=90°，A1B1=10米，A1C=5米，由勾股定理得B1C=5米，
∴BB1=B1C-BC=5-8≈0.66（米），
故选C．
31．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（      ）
A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺
【答案】D
【分析】设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解．
【详解】解：设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，
根据题意可得：x2+82=（x+3）2，
解得：x=．
∴x+3=12，
故绳索长度为12尺．
故选：D．
32．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（    ）

A．x2＋62＝102 B．（10－x）2＋62＝x2
C．x2＋（10－x）2＝62 D．x2＋62＝（10－x）2
【答案】D
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2．
故选D
33．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（    ）cm．

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图：连接AC

故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度
由题意可知：BC=6cm，AB=9cm
在中，


要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要11cm
故选：C
34．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）

A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
【答案】B
【分析】过点P作PC⊥AB，则在中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．
【详解】解：作PC⊥AB于C点，

∵A在P的北偏东30°方向，
∴，
∴，
又∵B在P的南偏东45°方向上，
∴，
∴，
∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）
∴在中，，
∴（海里）
∵在中，∠BPC＝45°，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴，
∴（海里）．
故选：B．
35．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上

(1)画出一个以AB为底的等腰，点E在小正方形的顶点上，且的面积为；
(2)画出以CD为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；
(3)在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）画出等腰直角三角形ABE即可；
（2）根据要求利用数形结合的思想作出图形即可；
（3）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，△ABE即为所求；

（2）如图，△CDF即为所求；

（3）
36．如图，将一架梯子斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离．

(1)求梯子的长度；
(2)如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动1m，那么此时梯子顶端下滑了多少米．
【答案】(1)10m
(2)
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程，即可得到答案．
【详解】(1)在Rt△ABC中，，，
∴．
∴这把梯子的长度为10m．
(2)设梯子向下滑动后，梯子顶端距地面的高度为xm，则
，
解得：，（舍去）．
∴此时梯子向下滑动．
37．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．

【答案】12米.
【分析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.
【详解】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：
，
解得x=12，
答：旗杆的高度为12米.
38．如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度．

【答案】13.5米
【分析】用比例式求得AB的长度，然后在中求出BC的长，两者相加即可求出未折断前大树的高度．
【详解】解：依题意得,
则BC＝4.5（米）．
在Rt△ACB中，AB＝2BC＝9（米）
所以 4.5+9＝13.5（米）
答：大树未折断前的高度约为13.5米．
39．如图，某海岸线的方向为北偏东，从港口A处测得海岛C在北偏东方向，从港口B处测得海岛C在北偏东方向，已知港口A与海岛C的距离为36海里，求港口B与海岛C的距离．

【答案】港口B与海岛C的距离为海里．
【分析】过点C作，构造直角三角形，可得，，根据港口A到海岛C的距离为36海里求出的值，进而求解．
【详解】解：过点C作，垂足为D，

由题意得，，，
∵港口A与海岛C的距离为36海里，即(海里)，
∴(海里)，
∵，
∴(海里)，
∴(海里)，
答：港口B与海岛C的距离为海里．
40．如图，台风中心位于点处，并沿东北方向（北偏东），以千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，在点的北偏东方向，距离千米的地方有一城市，问：市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

【答案】会受到影响，受到影响时间约为小时
【分析】过点作于点，可求得的长，由离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
【详解】解：会受到影响，影响时间约为小时．
理由如下：
由题意得，，，
∴，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴会受到影响，
如图，，由题意知，台风从点开始影响城市到点影响结束，
∵，
∴，
∴，
∵风速为，
∴（小时），
∴影响时间约为小时．

题型六 判断直角三角形

41．下列各线段中， 能构成直角三角形的是（   ）
A．1、 B．1、1、1 C． D．6、
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理来进行判断即可．
【详解】解：A．，能构成直角三角形，选项正确，符合题意；
B．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
C．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
D．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意；
故选A．
42．三角形的三边，，满足，则此三角形是（    ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】将所给出的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解．
【详解】解：三角形的三边，，满足，
，
，
三角形为直角三角形．
故选：B．
43．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：A.

不能构成直角三角形
故A不符合题意；
B.

能构成直角三角形
故B符合题意；
C.

不能构成直角三角形
故C不符合题意；
D.

不能构成直角三角形
故D不符合题意；
故选：B．
44．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．6，8，10
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理可进行求解．
【详解】解：A、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；
B、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；
C、，不符合勾股定理逆定理，故不符合题意；
D、，符合勾股定理逆定理，故符合题意；
故选D．
45．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误．
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故本题选择D．
题型七 利用勾股定理逆定理求解

46．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ）

A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
【答案】D
【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．
【详解】解：如图，连接BD，

∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故选：D．
47．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（   ）
A．9，40，41 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【详解】A、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
48．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（　）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，作出每一个三角形长度为8的边上的高，根据垂线段最短可得选项A、B、D中，长度为8的边上的高都小于6；
选项C中，因，这个三角形为直角三角形，所以长度为8的边上的高为6，
因此在这4个选项中，底都为8时，选项C的高最大，所以选项C的面积最大，
故选：C．

49．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
50．如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（    ）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由三角形中位线的性质易得△DEF的三边长，再由勾股定理的逆定理证出△DEF是直角三角形，然后由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点
∴EF，DE，DF都是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，
∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），
∵1.52+22=2.52，
∴DE2+DF2=EF2，
∴△EDF为直角三角形，
∴S△EDF=DE•DF=×1.5×2=1.5（cm2），