初中数学中考复习 天津市河北区2019年中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份初中数学中考复习 天津市河北区2019年中考数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年天津市河北区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）二次函数y＝x2+4x﹣3的对称轴为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝7
5．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（　　）

A．18° B．30° C．36° D．72°
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨
C．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．﹣1
8．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG＝（　　）

A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
9．（3分）如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（3分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小断，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan30°＝　 　．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．（3分）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为　 　．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是　 　．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，BC与网格交于点P．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　 　；
（Ⅱ）在AC边上有一点Q，当PQ平分△ABC的面积时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PQ，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三、解答题（本大题共6小愿，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（10分）如图，一座大桥的两端位于河的A、B两点，某同学为了测量A、B两点之间的河宽，在垂直于大桥AB的直线型道路l上测得了如下的数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝42.8米．求大桥AB的长（精确到1米）参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y＝的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标．

21．（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　 　度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A．
（Ⅰ）求∠D的度数；
（Ⅱ）若⊙O的半径为m，求BD的长．

23．（12分）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）
（Ⅰ）如图1，若EF∥BC，求证：；
（Ⅱ）如图2，若EF不与BC平行，（I）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知C（﹣3，0）
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．


2019年天津市河北区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不相同．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．（3分）二次函数y＝x2+4x﹣3的对称轴为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝7
【分析】把二次函数化成顶点式 即可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x﹣3，
∴y＝（x+2）2﹣7，
∴二次函数y＝x2+4x﹣3的图象的对称轴为：x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h．
5．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（　　）

A．18° B．30° C．36° D．72°
【分析】根据圆周角定理，由∠AOB＝72°，即可推出结果．
【解答】解：∵∠AOB＝72°，
∴∠ACB＝36°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨
C．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
【分析】根据必然事件的概念、可能性的意义、众数和中位数及方差的定义逐一判断即可得．
【解答】解：A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此选项错误；
B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的可能性会下雨，此选项错误；
C．数据6，6，7，7，8的中位数是7，众数是6和7，此选项错误；
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，由甲的方差小值甲的成绩更稳定，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握必然事件的概念、可能性的意义、众数和中位数及方差的定义与意义．
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．﹣1
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝2是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，
∴6+m＝0，
解得m＝﹣6，
则2a＝﹣6，
解得a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG＝（　　）

A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵DE＝EF＝FC，
∴EF：AB＝1：3，
∴△EFG∽△BAG，
∴＝（）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（﹣a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴＝1，
解得，k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m﹣5≠0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，
∴△＝22﹣4（m﹣5）×2≥0且m﹣5≠0，
解得：m≤5.5且m≠5，
m的最大整数解为4，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
11．（3分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积＝三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y＝a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x＝4时，y＝a•5•1＝5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，则方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x＝4时，y＝a•5•1＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共6小断，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan30°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：tan30°＝．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确对特殊值的记忆是解题的关键．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜3　．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：∴a＝1，b＝﹣2，c＝k，方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
故填：k＜3．
【点评】本题考查了根的判别式．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15．（3分）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为　6　．
【分析】根据弧长公式直接解答即可．
【解答】解：设半径为r，
2，
解得：r＝6，
故答案为：6
【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是　（1，﹣2）　．
【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了抛物线的顶点式性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　15°　．

【分析】先判断出∠BAD＝150°，AD＝AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
故答案为：15°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，BC与网格交于点P．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　9　；
（Ⅱ）在AC边上有一点Q，当PQ平分△ABC的面积时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PQ，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）　选取BC中点D，选取点E使AE∥BC，连接AE，再取AE中点F，连接DF，交AC于点Q，连接PQ即为所求　．

【分析】（Ⅰ）利用割补法求解可得；
（Ⅱ）选取BC中点D，选取点E使AE∥BC，连接AE，再取AE中点F，连接DF，交AC于点Q，连接PQ，即可得．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积等于5×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×5＝9，
故答案为：9；

（Ⅱ）如图，选取BC中点D，选取点E使AE∥BC，连接AE，再取AE中点F，连接DF，交AC于点Q，连接PQ即为所求．

理由：连接AD交PQ于O．
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵PA∥DF，
∴S△APQ＝S△APD，
∴S△AOQ＝S△POD，
∴S四边形ABPQ＝S△PCQ，
∴PQ即为所求．
故答案为：选取BC中点D，选取点E使AE∥BC，连接AE，再取AE中点F，连接DF，交AC于点Q，连接PQ即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是学会利用平行线的性质，利用等高模型解决面积问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共6小愿，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（10分）如图，一座大桥的两端位于河的A、B两点，某同学为了测量A、B两点之间的河宽，在垂直于大桥AB的直线型道路l上测得了如下的数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝42.8米．求大桥AB的长（精确到1米）参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5

【分析】设AD＝x米，则AC＝（x+42.8）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5（x+42.8），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．
【解答】解：设AD＝x米，则AC＝（x+42.8）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，
∴AB＝AC•tan∠BCA＝2.5（x+42.8）．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，
∴AB＝AD•tan∠BDA＝4x．∴2.5（x+42.8）＝4x，解得x≈71.33，
∴AB＝4x＝4×71.33≈285，
答：AB的长约为285米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y＝的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标．

【分析】（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，
∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．
∵反比例函数y＝的图象过点B，
∴，m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵y＝kx+b的图象过B、D点，
∴，解得．
直线BD的解析式y＝﹣x﹣1；

（2）∵直线BD与反比例函数y＝的图象交于点E，
∴，解得
∵B（1，﹣2），
∴E（﹣2，1）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标．
21．（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a＝　2　，b＝　45　，c＝　20　；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　72　度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；
（2）用360°乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%＝40人，
∴a＝40×5%＝2，b＝×100＝45，c＝×100＝20，
故答案为：2、45、20；

（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；

（3）画树状图，如图所示：

共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）＝＝．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A．
（Ⅰ）求∠D的度数；
（Ⅱ）若⊙O的半径为m，求BD的长．

【分析】（Ⅰ）由OA＝OC，得∠A＝∠ACO，所以∠COD＝2∠A＝∠D，因为PD切⊙O于点C，所以∠OCD＝90°，可得∠D＝∠COD＝45°；
（Ⅱ）在等腰直角三角形OCD中，OC＝OB＝m，可求得OD＝m，根据BD＝OD﹣OB可得出BD的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COD，
∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝∠COD＝45°．
（Ⅱ）∵∠D＝∠COD，OC＝OB＝m，
∴CD＝OC＝m，
∴OD＝m，
∴BD＝OD﹣OB＝（﹣1）m．

【点评】本题考查圆的切线的性质，勾股定理等知识．掌握切线的性质是解题的关键．
23．（12分）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）
（Ⅰ）如图1，若EF∥BC，求证：；
（Ⅱ）如图2，若EF不与BC平行，（I）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【分析】（Ⅰ）证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方证明结论；
（Ⅱ）作CM⊥AB于M，FN⊥AB于N，证明△ANF∽△AEC，得到＝，根据三角形的面积公式计算，证明结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝（）2＝•；
（Ⅱ）EF不与BC平行时，（I）中的结论仍然成立，
理由如下：作CM⊥AB于M，FN⊥AB于N，
则CM∥FN，
∴△ANF∽△AMC，
∴＝，
∴＝＝•．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知C（﹣3，0）
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．

【分析】（Ⅰ）先利用一次函数解析式确定A（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（Ⅱ）先确定抛物线的对称轴为直线x＝﹣，再利用抛物线对称性得到MC＝MD，接着利用|MB﹣MC|≤BC（当B、C、M共线时，取等号），|MB﹣MC|的最大值为BC的长，通过解方程组得B（﹣4，1），利用两点间的距离公式计算出BC＝，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，从而可确定此时M点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝x+3＝3，则A（0，3），
把A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵C点和D点关于直线x＝﹣对称，
∴MC＝MD，
∵|MB﹣MC|≤BC（当B、C、M共线时，取等号），
∴|MB﹣MC|的最大值为BC的长，
解方程组得或，则B（﹣4，1），
∴BC＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
把B（﹣4，1），C（﹣3，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣时，y＝﹣x﹣3＝﹣，则此时M点的坐标为（﹣，﹣），
∴点M的坐标为（﹣，﹣）时，|MB﹣MD|的值最大，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了一次函数和二次函数的性质．