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初中数学中考复习 四川省宜宾市叙州区2019年中考数学押题卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 四川省宜宾市叙州区2019年中考数学押题卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年四川省宜宾市叙州区中考数学押题卷
一、选择题：（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）1．在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0.01 C．﹣ D．﹣1
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年．“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．324×108
3．（3分）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
成绩（分）
80
82
84
86
87
90
人数
8
12
9
3
5
8
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．82分，82分 B．82分，83分 C．80分，82分 D．82分，84分
6．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．
8．（3分）如图，关于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1），（x2，y2），在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ．
10．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
11．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
12．（3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
13．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
16．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 ．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．（10分）（1）计算：22+﹣2sin60°+|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣），其中x＝
18．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
20．（8分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？
21．（8分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年四川省宜宾市叙州区中考数学押题卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0.01 C．﹣ D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣＜﹣1＜0.01，
∴在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年．“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．324×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3240万用科学记数法表示为：3.24×107．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
成绩（分）
80
82
84
86
87
90
人数
8
12
9
3
5
8
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．82分，82分 B．82分，83分 C．80分，82分 D．82分，84分
【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，则该班学生成绩的中位数是84；
82出现了12次，出现的次数最多，则众数是82；
故选：D．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣＝30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．
【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出CP＝7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ＝CP即可．
【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，
∵PB＝3，
∴HP＝1，
在Rt△CHP中，CP＝＝7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ＝∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ＝∠CQP，
∴∠CQP＝∠CPQ，
∴CQ＝CP＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．
8．（3分）如图，关于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1），（x2，y2），在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①抛物线过点（﹣1，0）与（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b+2a＝0，故①正确；
②由图象可知：当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；
③当1＜x1＜x2时，y1＜y2，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∵2a＝﹣b，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与的性质，本题属于基础题型．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a，
＝a（x2﹣2x+1），
＝a（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 x≥0且x≠ ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且2x﹣1≠0，
解得x≥0且x≠．
故答案为：x≥0且x≠．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 6 ．
【分析】直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
12．（3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
【分析】设反比例函数的表达式为y＝，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为．
【解答】解：设反比例函数的表达式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k＝m2＝﹣2m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
【分析】利用三角形中线定义得到BD＝2，AE＝，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO＝2OD，OB＝2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2＝4，OE2+AO2＝，等量代换得到BO2+AO2＝4， BO2+AO2＝，把两式相加得到BO2+AO2＝5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
【解答】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，
∴BO2+AO2＝4， BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° ．
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，
∴∠AEB＝∠CED＝15°，
则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠CED＝∠ECD，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 ＝ ．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出＝＝，＝＝，再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．
【解答】解：∵＝＝，＝＝，
∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC．
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，
∴＝＝．
即S1与S2之间的等量关系是＝．
故答案为＝．
【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出＝＝，＝＝是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．（10分）（1）计算：22+﹣2sin60°+|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣），其中x＝
【分析】（1）根据立方根、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）22+﹣2sin60°+|﹣|
＝4+2﹣2×+
＝4+2﹣+
＝6；
（2）（﹣）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 36° ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；
（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，
故答案为：100；
（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
20．（8分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+＝40，
解得：x＝7．
经检验，x＝7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（8分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，在Rt△ABC中，求出AB，在Rt△ADE中求出AE即可解决问题；
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，
在Rt△ABC中，tan53°＝，
∴＝，
∴AB＝80（m），
在Rt△ADE中，tan37°＝，
∴＝，
∴AE＝45（m），
∴BE＝CD＝AB﹣AE＝35（m），
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|＝1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2，
故反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B＝＝．
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
∴x＝0时，y＝，
∴P点坐标为（0，）．
【点评】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
【分析】（1）连接OE，由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE，据此得∠OEB＝∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得＝，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得＝，据此可得AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BC＝；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE＝DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴，
∴，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE＝DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）＝（﹣2x+2），
x＝1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，
BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，
AB2＝（1+2）2+62＝45，
分三种情况：
i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，
解得：y＝3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，
∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，
y＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，
∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，
y＝，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
2019年四川省宜宾市叙州区中考数学押题卷
一、选择题：（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）1．在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0.01 C．﹣ D．﹣1
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年．“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．324×108
3．（3分）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
成绩（分）
80
82
84
86
87
90
人数
8
12
9
3
5
8
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．82分，82分 B．82分，83分 C．80分，82分 D．82分，84分
6．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．
8．（3分）如图，关于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1），（x2，y2），在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ．
10．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
11．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
12．（3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
13．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
16．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 ．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．（10分）（1）计算：22+﹣2sin60°+|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣），其中x＝
18．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
20．（8分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？
21．（8分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年四川省宜宾市叙州区中考数学押题卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0.01 C．﹣ D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣＜﹣1＜0.01，
∴在﹣2，0.01，﹣，﹣1四个数中，最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年．“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．324×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3240万用科学记数法表示为：3.24×107．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
成绩（分）
80
82
84
86
87
90
人数
8
12
9
3
5
8
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．82分，82分 B．82分，83分 C．80分，82分 D．82分，84分
【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，则该班学生成绩的中位数是84；
82出现了12次，出现的次数最多，则众数是82；
故选：D．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣＝30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．
【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出CP＝7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ＝CP即可．
【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，
∵PB＝3，
∴HP＝1，
在Rt△CHP中，CP＝＝7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ＝∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ＝∠CQP，
∴∠CQP＝∠CPQ，
∴CQ＝CP＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．
8．（3分）如图，关于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1），（x2，y2），在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①抛物线过点（﹣1，0）与（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b+2a＝0，故①正确；
②由图象可知：当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；
③当1＜x1＜x2时，y1＜y2，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∵2a＝﹣b，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与的性质，本题属于基础题型．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ a（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a，
＝a（x2﹣2x+1），
＝a（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 x≥0且x≠ ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且2x﹣1≠0，
解得x≥0且x≠．
故答案为：x≥0且x≠．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 6 ．
【分析】直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
12．（3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
【分析】设反比例函数的表达式为y＝，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为．
【解答】解：设反比例函数的表达式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k＝m2＝﹣2m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
【分析】利用三角形中线定义得到BD＝2，AE＝，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO＝2OD，OB＝2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2＝4，OE2+AO2＝，等量代换得到BO2+AO2＝4， BO2+AO2＝，把两式相加得到BO2+AO2＝5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
【解答】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，
∴BO2+AO2＝4， BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° ．
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，
∴∠AEB＝∠CED＝15°，
则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠CED＝∠ECD，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 ＝ ．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出＝＝，＝＝，再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．
【解答】解：∵＝＝，＝＝，
∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC．
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，
∴＝＝．
即S1与S2之间的等量关系是＝．
故答案为＝．
【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出＝＝，＝＝是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．（10分）（1）计算：22+﹣2sin60°+|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣），其中x＝
【分析】（1）根据立方根、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）22+﹣2sin60°+|﹣|
＝4+2﹣2×+
＝4+2﹣+
＝6；
（2）（﹣）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．（6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 36° ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；
（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，
故答案为：100；
（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
20．（8分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+＝40，
解得：x＝7．
经检验，x＝7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（8分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，在Rt△ABC中，求出AB，在Rt△ADE中求出AE即可解决问题；
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝60m，
在Rt△ABC中，tan53°＝，
∴＝，
∴AB＝80（m），
在Rt△ADE中，tan37°＝，
∴＝，
∴AE＝45（m），
∴BE＝CD＝AB﹣AE＝35（m），
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|＝1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2，
故反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B＝＝．
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，
∴x＝0时，y＝，
∴P点坐标为（0，）．
【点评】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
【分析】（1）连接OE，由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE，据此得∠OEB＝∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得＝，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得＝，据此可得AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BC＝；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE＝DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴，
∴，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE＝DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）＝（﹣2x+2），
x＝1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，
BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，
AB2＝（1+2）2+62＝45，
分三种情况：
i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，
解得：y＝3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，
∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，
y＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，
∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，
y＝，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
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